第二章整式的乘法（知識(shí)歸納+題型突破）1、了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)（包括在計(jì)算器上表示）．2、理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則；能進(jìn)行簡單的整式加減運(yùn)算，能進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算（多項(xiàng)式乘法僅限于一次式之間和一次式與二次式的乘法）．3、理解乘法公式a+ba?b=1、概念（1）單項(xiàng)式：像x、7、，這種數(shù)與字母的積叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式的次數(shù):多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。升（降）冪排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小（大）到大（小）的順序排列起來，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升（降）冪排列。（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。2、運(yùn)算（1）整式的加減：合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是“–”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“–”號(hào)去掉，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。添括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是“–”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào)，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。（2）整式的乘除：冪的運(yùn)算法則：其中m、n都是正整數(shù)同底數(shù)冪相乘：；同底數(shù)冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指數(shù)；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：，題型一同底數(shù)冪的乘法【例1】（2024上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【例2】（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)校考期中）在等式中，括號(hào)內(nèi)所填的代數(shù)式應(yīng)當(dāng)是（

）．A． B． C． D．【例3】（2024上·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┑挠?jì)算結(jié)果是（

）A． B． C． D．【例4】（2023上·河南周口·七年級(jí)周口市第四初級(jí)中學(xué)?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)第一章有理數(shù)時(shí)，類比小學(xué)兩個(gè)正數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加減法、有理數(shù)的乘除法，在第二章整式的加減時(shí)，類比第一章有理數(shù)的學(xué)習(xí)過程學(xué)習(xí)了整式的加減，那么整式的乘法是否可以類比有理數(shù)的乘法進(jìn)行學(xué)習(xí)呢?我們從特殊情況入手對(duì)兩個(gè)同底數(shù)冪相乘進(jìn)行探究．（1）探究根據(jù)乘方的意義填空，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?①，②，③，（2）規(guī)律（都是正整數(shù)）．即______．（文字表達(dá)）（3）應(yīng)用①計(jì)算；②把看成一個(gè)整體，計(jì)算．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·重慶江北·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：的結(jié)果是（

）A． B． C． D．a(chǎn)2．（2024上·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┮阎瑒t下列給出之間的數(shù)量關(guān)系式中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，m，n為正整數(shù)，則為（

）.A． B． C． D．4．（2023上·甘肅武威·八年級(jí)校考期末）已知，，求的值是（

）A．5 B．10 C．15 D．205．（2024上·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則．6．（2023上·上海浦東新·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知：，那么．7．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)呼市四中?？计谥校┤簦?，則；當(dāng)時(shí)，則．8．（2023上·吉林長春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高達(dá)米，底邊長米，用了約塊大石塊，每塊重約千克，請(qǐng)問：胡夫金字塔總重約為多少千克？9．（2023上·四川涼山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)閱讀以下材料解決相關(guān)問題：已知，，例如，．(1)①_____．②______________．③(2)，(3)若，求的值題型二冪的乘方與積的乘方【例1】（2024上·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，，為正整數(shù)，則（）A． B． C． D．【例2】（2023上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果等于（）A． B． C． D．【例3】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)?？计谥校┮阎瑒t的值為（

）A．16 B．25 C．32 D．64【例4】（2023上·河南洛陽·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級(jí)?？计谀?/p>

）A．1 B． C． D．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．3．（2024上·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，則，的大小關(guān)系是（請(qǐng)用字母表示，并用“＜”連接）．4．（2023上·河南南陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果，，則．5．（2024上·天津河西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則．6．（2024上·北京朝陽·八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校校考期中）比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）7．（2023上·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則之間的等量關(guān)系是．8．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“數(shù)與式大小的比較”一直是數(shù)學(xué)體系中的一個(gè)重要的研究課題．七年級(jí)的時(shí)候?qū)τ跀?shù)的大小比較，我們借助數(shù)軸獲取了“數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的大”進(jìn)而得出“正數(shù)大于零大于一切負(fù)數(shù)”．本學(xué)期我們研究了代數(shù)式大小比較，通?？梢钥紤]將兩個(gè)代數(shù)式作差和0比較或者作商和1比較．更是通過靈活運(yùn)用整式的乘除對(duì)于一些特殊的數(shù)與式進(jìn)行了大小比較，例如：比較和的大小．我們是這么做的“∵，∵∴∴”問題得以解決，請(qǐng)同學(xué)們完成下面3個(gè)小題：(1)試比較和的大?。?2)若，，試比較a，b的大小；(3)若，且，試比較與的大小．9．（2024上·北京朝陽·八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校校考期中）已知，求的值．10．（2023上·廣東惠州·八年級(jí)校考期中）（1）若，，求的值；（2）已知，求的值．題型三單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘法【例1】（2024上·天津西青·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【例2】（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【例3】（2023上·廣東廣州·八年級(jí)廣東廣雅中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南商丘·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：．2．（2023上·江西贛州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知與的積與是同類項(xiàng)，求m，n的值．3．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）已知單項(xiàng)式與的積與是同類項(xiàng)，求，的值．4．（2023上·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．5．（2023上·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．6．（2024上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．7．（2023上·四川瀘州·八年級(jí)四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：題型四不含某項(xiàng)求字母的值【例1】（2024上·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若的展開式中不含x的二次項(xiàng)，則（）A．0 B．2 C．2.5 D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若的結(jié)果不含x的一次項(xiàng)，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．2．（2023上·河南洛陽·八年級(jí)?？计谥校┑某朔e中不含和項(xiàng)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023上·江西南昌·八年級(jí)?？计谀┤舻某朔e中不含x二次項(xiàng)，則a的值為．4．（2024上·北京海淀·八年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于的多項(xiàng)式展開后不含有一次項(xiàng)，則實(shí)數(shù)的值為．5．（2023上·河南南陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若的展開式中不含和項(xiàng)，求m，n的值．題型五多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積【例1】（2023上·河南商丘·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形卡片A類，B類和長方形卡片C類若干張，如果要拼一個(gè)長為，寬為的大長方形，則需要B類卡片（

）A．2張 B．3張 C．5張 D．7張【例2】（2024上·黑龍江綏化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）千年古鎮(zhèn)趙化開發(fā)的鑫城小區(qū)的內(nèi)壩是一塊長為米，寬為米的長方形地，物業(yè)部門計(jì)劃將內(nèi)壩進(jìn)行綠化（如圖陰影部分），中間部分將修建一仿古小景點(diǎn)（如圖中間的長方形），則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)，時(shí)的綠化面積．

鞏固訓(xùn)練1．（2024上·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在邊長為的正方形場地上，修建兩條寬為的甬道，其余部分種草，則甬道所占的面積（單位：）是（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海青浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，現(xiàn)有邊長為a的正方形A、邊長為b的正方形B和長為2b寬為a的長方形C的三類紙片（其中）．用這三類紙片拼一個(gè)長為、寬為的長方形（不重疊且不留縫隙），那么需要C類紙片張．3．（2023上·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)有甲、乙、丙三種卡片各若干張，其中甲、丙為正方形卡片，乙為長方形卡片，卡片的邊長如圖1所示（）．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)長方形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為．(1)①請(qǐng)用含的式子分別表示，即______，______；②當(dāng)時(shí)，求的值；(2)比較與的大小，并說明理由．4．（2023上·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，某社區(qū)有兩塊相連的長方形空地，一塊長為，寬為；另一塊長為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進(jìn)行改造，計(jì)劃在中間邊長為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計(jì)劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價(jià)格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？題型六多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：化簡求值【例1】（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）化簡，其中【例2】（2023上·北京海淀·八年級(jí)北大附中?？计谥校┮阎?，求的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東德州·八年級(jí)校考期中）先化簡，再求值：，其中．2．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）先化簡，再求值：，其中．3．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┫然?，再求值：，其中．4．（2023上·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┗喦笾担?，其中，5．（2023上·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知，求的值．6．（2023上·北京海淀·八年級(jí)北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知，求的值．7．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥校┗喦笾担海渲校}型七多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題【例1】（2023上·廣東廣州·八年級(jí)廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項(xiàng)和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”，請(qǐng)你利用楊輝三角，計(jì)算的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（

）1…………1…………………1

1………1

2

1………………1

3

3

1……1

4

6

4

1A．15 B． C．6 D．【例2】（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列等式：，，，……，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：若，則的值是(

)A． B．0 C．1 D．【例3】（2023上·北京東城·八年級(jí)匯文中學(xué)?？计谥校┮阎?，，根據(jù)前面各式的規(guī)律，可得：的值是．【例4】（2023下·湖南張家界·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)，，，…的規(guī)律，則可以得出的末位數(shù)字是．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·甘肅定西·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”根據(jù)“楊輝三角”請(qǐng)計(jì)算的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．45 B．55 C．2017 D．20182．（2023上·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）觀察下列等式：，，，……，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：若，則的值是．3．（2023下·山東青島·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)：利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求：．4．（2023上·河南許昌·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚談到，我國古代數(shù)學(xué)的許多成就和發(fā)展都居世界前列，“楊輝三角”就是一例。如下圖所示的“楊輝三角”告訴了我們二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，如：第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1恰好對(duì)應(yīng)著的系數(shù)．根據(jù)數(shù)表中前四行的數(shù)字所反映的規(guī)律計(jì)算求值：．5．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，下面的圖表是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了為非負(fù)整數(shù)）、的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，由此規(guī)律可解決如下問題：(1)展開式共有_______項(xiàng)，第19項(xiàng)系數(shù)為_______；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式：_______；(3)利用上面的規(guī)律計(jì)算：；(4)假如今天是星期四，那么再過天是星期_______．6．（2023上·新疆喀什·八年級(jí)期末）（1）計(jì)算并觀察下列各式：；；；（2）從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格．；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：．7．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列解題過程：

．．．．．．(1)試求的值(2)判斷的值的個(gè)位數(shù)是幾？8．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)校考期中）閱讀下列材料，并解決有關(guān)問題．我們知道展開后等于，我們可以利用多項(xiàng)式乘法法則將展開．如果進(jìn)一步，要展開，，你一定發(fā)現(xiàn)解決上述問題需要大量的計(jì)算，是否有簡單的方法呢？我們不妨找找規(guī)律！如果將（n為非負(fù)整數(shù)）的每一項(xiàng)按字母a的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：計(jì)算

結(jié)果的項(xiàng)數(shù)

各項(xiàng)系數(shù)

1

1

2

1

1

3

1

2

1

4

1

3

3

1(1)你能根據(jù)上表的規(guī)律寫出，的結(jié)果嗎？=__________________；=_____________________；(2)請(qǐng)你利用上表的規(guī)律求出下式的計(jì)算結(jié)果：．9．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)校考階段練習(xí)）探索題：

……(1)當(dāng)時(shí)，＝．(2)試求：的值．(3)判斷的值個(gè)位數(shù)字是．題型八平方差公式【例1】（2024上·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【例2】（2024上·天津河西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【例3】（2023上·河北廊坊·八年級(jí)校考期末）認(rèn)真觀察下面這些等式，按其規(guī)律，完成下列各小題：①；②；③；④______；…(1)將橫線上的等式補(bǔ)充完整；(2)驗(yàn)證規(guī)律：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)為，（n為正整數(shù)），則它們的平方差是4的倍數(shù)；(3)拓展延伸：判斷兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)嗎？并說明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南商丘·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：．2．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）若，，則．3．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）用簡便方法計(jì)算：(1)；(2)．4．（2024上·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）求證：當(dāng)是整數(shù)時(shí)，兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是這兩個(gè)奇數(shù)的和的倍．5．（2023上·吉林·八年級(jí)?？计谥校倪呴L為a的正方形減掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．(1)上述過程所揭示的因式分解的等式是______；(2)若，，求的值；(3)．6．（2022上·湖南衡陽·八年級(jí)衡陽市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）實(shí)踐與探索：如圖1，在邊長為的大正方形里挖去一個(gè)邊長為的小正方形，再把圖1中的剩余部分（陰影部分）拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是：______（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．B．C．(2)請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)等式完成下列各題：①已知，則______．②計(jì)算：．題型九求完全平方公式中的字母系數(shù)【例1】（2019上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若是完全平方式，則m的值等于（

）A．8 B． C．16 D．8或鞏固訓(xùn)練1．（2024上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么m的值是（

）A．1 B．2 C． D．2．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果關(guān)于m的二次三項(xiàng)式是完全平方式，那么a的值為（

）A．1 B．4 C． D．3．（天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是完全平方式，則．4．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）已知代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，則有理數(shù)的值為．5．（2024上·北京豐臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果關(guān)于的多項(xiàng)式是完全平方式，那么的值是．6．（2024下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）已知關(guān)于的代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，則的值為7．（2021上·遼寧鞍山·八年級(jí)?？计谥校┤羰顷P(guān)于的完全平方式，則．8．（2012上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若多項(xiàng)式是完全平方式，請(qǐng)你寫出所有滿足條件的單項(xiàng)式Q是．題型十完全平方公式與對(duì)稱式【例1】（2024上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谀?）已知，，則的值為．（2）已知，，則的值為．（3）已知滿足，則的值為．【例2】（2023上·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）已知，求代數(shù)式的值．（2）若，求鞏固訓(xùn)練1．（天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，那么的值為（

）A． B． C． D．2．（2024上·吉林長春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則代數(shù)式的值是（

）A．12 B．16 C．24 D．363．（2023上·四川攀枝花·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，，求下列各式的值：(1)；(2)．4．（重慶市合川區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）解決下列問題：(1)已知，分別求和的值；(2)若，，求的值．5．（2024上·甘肅定西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，所以請(qǐng)仿照上例解決下面的問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足，求：的值．(2)若，求：的值．6．（2023上·湖北孝感·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)求的值．7．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)四川省宜賓市第二中學(xué)校?？计谥校┙鉀Q下面的問題：①，求和的值；②已知，求的值．題型十一完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【例1】（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）圖①是一個(gè)長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積．方法1：；方法2：；(2)觀察圖②請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式；之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，求：的值；②已知：，求：的值．【例2】（2023上·浙江臺(tái)州·八年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形．

(1)觀察圖，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系；(2)若要拼出一個(gè)面積為的矩形，則需要號(hào)卡片張，號(hào)卡片張，號(hào)卡片______張．(3)根據(jù)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖1是一個(gè)長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均裁成四塊小長方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個(gè)大正方形．

(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長是（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖1，圖2，能驗(yàn)證的等式是：（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）；A．B．C．(3)如圖3，C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向上分別作正方形和正方形，連接．若，求的面積．2．（2023下·陜西西安·七年級(jí)陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖②），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為．

(1)用含a、b的代數(shù)式分別表示、；(2)若，，求的值；(3)用a、b的代數(shù)式表示，并當(dāng)時(shí)，求出圖③中陰影部分的面積．3．（2023下·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期中）完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值．解：因?yàn)?，所以，即：，又因，所以根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若，，則的值為______；(2)拓展：若，則______．(3)應(yīng)用：如圖，在長方形中，，，點(diǎn)E、F是、上的點(diǎn)，且，分別以、為邊在長方形外側(cè)作正方形和正方形，若長方形的面積為160，求圖中陰影部分的面積和．4．（2023上·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）圖1是一個(gè)長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．

(1)圖2中陰影部分的正方形的周長為；(2)觀察圖2，請(qǐng)寫出下列三個(gè)代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系；(3)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．5．（2023下·廣東韶關(guān)·七年級(jí)?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)“整式的乘除”這一章時(shí)，我們經(jīng)常構(gòu)造幾何圖形來對(duì)代數(shù)式的變形加以說明，借助直觀，形象的幾何模型加深對(duì)乘法公式的認(rèn)識(shí)和理解．閱讀下列材料：材料1：如圖1，現(xiàn)有甲，乙，丙三種型號(hào)的卡片若干張，其中甲型號(hào)卡片是邊長為的正方形，乙型號(hào)卡片邊長為的正方形，丙型號(hào)卡片是長為寬為的長方形．

材料2：用張甲，張乙和張丙型號(hào)的卡片，拼成正方形，可以驗(yàn)證：，驗(yàn)證如下：從整體看是一個(gè)邊長為的正方形，所以．從正方形的分割情況看，它的面積是由張甲，張乙和張丙卡片的面積之和，所以，比較兩種不同的計(jì)算方法，可得．根據(jù)以上材料，解答以下問題(1)用圖中的卡片，拼成圖所示長方形，可以驗(yàn)證的等式為：；

(2)用張丙型號(hào)的卡片拼成圖所示正方形框，中間的陰影部分是邊長為的正方形，現(xiàn)用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式為：；(3)已知圖中的紙片(足夠多)，利用種卡片設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形來計(jì)算畫出圖形，寫出驗(yàn)過程．題型十二利用配方法求最值、解方程【例1】（2023下·湖南郴州·七年級(jí)校考期中）閱讀下列材料：，我們把形如“”或“”的多項(xiàng)式叫做完全平方式，因?yàn)槭且粋€(gè)數(shù)的平方，具有非負(fù)性，我們常利用這一性質(zhì)解決問題，這種解決問題的思路方法叫做配方法．例如．可知當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值是2，根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：(1)有最小值______．(2)當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，并求出這個(gè)最小值．(3)已知a，b，c為的三邊，且滿足，試判斷此三角形的形狀．【例2】（2019·吉林長春·八年級(jí)校聯(lián)考期末）閱讀下列解題過程，再解答后面的題目.例題：已知，求的值.解：由已知得即∵，∴有，解得∴.題目：已知，求的值.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）我們定義：如果兩個(gè)多項(xiàng)式與的和為常數(shù)，則稱與互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，這個(gè)常數(shù)稱為它們的“對(duì)消值”．如與互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，它們的“對(duì)消值”為．(1)下列各組多項(xiàng)式互為“對(duì)消多項(xiàng)式”的是（填序號(hào)）；與；與；與(2)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式（，為常數(shù)）互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，求它們的“對(duì)消值”；(3)關(guān)于的多項(xiàng)式與互為“對(duì)消多項(xiàng)式”，“對(duì)消值”為．若，，求代數(shù)式的最小值．2．（2023上·湖北荊州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項(xiàng)式變形為的形式，然后由就可求出多項(xiàng)式的最小值．

例：求多項(xiàng)式的最小值．解：．因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，因此有最小值，最小值為1，即的最小值為1．通過閱讀，理解材料的解題思路，請(qǐng)解決以下問題：(1)【理解探究】已知代數(shù)式，求A的最小值；(2)【類比應(yīng)用】張大爺家有甲、乙兩塊長方形菜地，已知甲菜地的兩邊長分別是米、米，乙菜地的兩邊長分別是米、米，試比較這兩塊菜地的面積和的大小，并說明理由；(3)【拓展升華】如圖，中，，cm，cm，點(diǎn)M，N分別是線段AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)以的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則當(dāng)t的值為多少時(shí)，的面積最大，最大值為多少？3．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（、是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所以是“完美?shù)”．【解決問題】(1)數(shù)61“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】(2)已知，則；(3)已知（、是整數(shù)，是常數(shù)），要使為“完美數(shù)”，試求出符合條件的值；【拓展結(jié)論】(4)已知、滿足，求的最小值．4．（2022上·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）圖1是一個(gè)長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于．(2)觀察圖2你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系．(3)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算若，求：①的值．②的值．(4)用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式的最小值．5．（2023下·遼寧沈陽·七年級(jí)沈陽