3.5探索與表達規(guī)律一、單選題1．給定一列按規(guī)律排列的數：，則這列數的第9個數是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把數列變，分別觀察分子和分母的規(guī)律即可解決問題．【解析】解：把數列變，可知分子是從2開始的連續(xù)偶數，分母是從2開始的連續(xù)自然數，則第n個數為所以這列數的第9個數是，故選：B．【點睛】本題考查了數字類規(guī)律探索，將原式整理為，分別得出分子分母的規(guī)律是解本題的關鍵．2．下列是一組按一定規(guī)律排列的數：，…，則第2019個數是（）A． B． C． D．4038【答案】B【分析】分別將每個數表示成以2為底的冪的形式，再尋找規(guī)律解題【解析】解：該組數是，…，所以第2019個數是，故選：B．【點睛】本題考查數的規(guī)律，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．3．如圖，填在下面各正方形中的四個數之間都有相同的規(guī)律，根據這種規(guī)律，m的值應是（）A．110 B．168 C．212 D．222【答案】C【分析】觀察不難發(fā)現，左上角、左下角、右上角為三個連續(xù)的偶數，右下角的數是左下角與右上角兩個數的乘積減去左上角的數的差，根據此規(guī)律先求出陰影部分的兩個數，再列式進行計算即可得解．【解析】解：根據排列規(guī)律，12下面的數是14，12右面的數是16，

∵8＝2×4?0，22＝4×6?2，44＝6×8?4，

∴m＝16×14?12＝212，

故選：C．【點睛】本題是對數字變化規(guī)律的考查，仔細觀察前三個圖形，找出四個數之間的變化規(guī)律是解題的關鍵．4．一種長方形餐桌的四周可坐6人用餐，現把若干張這樣的餐桌按如圖方式拼接．若有幾張這樣的餐桌，可坐的人數為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察圖形的變化即可得到規(guī)律求解．【解析】1張長方形餐桌的四周可坐（人），2張長方形餐桌的四周可坐（人），3張長方形餐桌的四周可坐（人），…，n張長方形餐桌的四周可坐人，故選：D．【點睛】本題考查圖形的變換類規(guī)律探索，列代數式，解題的關鍵是熟練掌握觀察圖形的變換尋找規(guī)律．5．觀察下列算式，用你所發(fā)現的規(guī)律得出的個位數字是（），，，，，，，……A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】通過觀察算式可以發(fā)現規(guī)律：左邊是指數從1開始以2為底數的乘方，右邊是個位數字，以2，4，8，6交替出現，也就是4個數為一個周期．……3，所以的個位數字應該與的個位數字相同，所以的個位數字是8．【解析】解：通過觀察算式可以發(fā)現規(guī)律：左邊是指數從1開始以2為底數的乘方，右邊是個位數字，以2，4，8，6交替出現，也就是4個數為一個周期．……3，所以的個位數字應該與的個位數字相同，所以的個位數字是8．故選D．【點睛】本題主要考查了數字類的規(guī)律問題，解題的關鍵在于能夠準確找到相關規(guī)律．6．如果把1、3、6、10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16…這樣的數稱為“正方形數”．從圖中可以發(fā)現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】題中明確指出：任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．由于“正方形數”為兩個“三角形數”之和，正方形數可以用代數式表示為：（n+1）2，兩個三角形數分別表示為n（n+1）和（n+1）（n+2），所以由正方形數可以推得n的值，然后求得三角形數的值【解析】解：根據規(guī)律：正方形數可以用代數式表示為：（n+1）2，兩個三角形數分別表示為n（n+1）和（n+1）（n+2），只有D、36＝15+21符合，故選：D．【點睛】本題考查探究、歸納的數學思想方法．本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經常出現．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．7．觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第個圖形共有★個（）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察圖形特點，從中找出規(guī)律，它們的★數分別是3，6，9，12，…，總結出其規(guī)律，根據規(guī)律求解．【解析】通過觀察，第一個圖形為：3×1=3，

第二個圖形為：3×2=6，

第三個圖形為：3×3=9，

第四個圖形為：3×4=12，

…，

所以第n個圖形為：，

當時，，

故選：D．【點睛】本題考查了規(guī)律型－圖形的變化類，解決此類探究性問題，關鍵在觀察、分析已知數據，尋找它們之間的相互聯系，探尋其規(guī)律．本題的關鍵規(guī)律為第n個圖形有3n個★．8．把有理數a代入|a+4|﹣10得到a1，稱為第一次操作，再將a1作為a的值代入得到a2，稱為第二次操作，…，若a＝23，經過第2020次操作后得到的是（）A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11【答案】A【分析】先確定第1次操作，a1=|23+4|10=17；第2次操作，a2=|17+4|10=11；第3次操作，a3=|11+4|10=5；第4次操作，a4=|5+4|10=1；第5次操作，a5=|1+4|10=7；第6次操作，a6=|7+4|10=7；…，后面的計算結果沒有變化，據此解答即可．【解析】解：第1次操作，a1=|23+4|10=17；

第2次操作，a2=|17+4|10=11；

第3次操作，a3=|11+4|10=5；

第4次操作，a4=|5+4|10=1；

第5次操作，a5=|1+4|10=7；

第6次操作，a6=|7+4|10=7；

第7次操作，a7=|7+4|10=7；

…

第2020次操作，a2020=|7+4|10=7．

故選：A．【點睛】本題考查了絕對值和探索規(guī)律．解題的關鍵是先計算，再觀察結果是按照什么規(guī)律變化的．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題．9．如圖，用若干大小相同的黑白兩種顏色的長方形瓷磚，按下列規(guī)律鋪成一列圖案，則第7個圖案中黑色瓷磚的個數是（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】D【分析】觀察圖形，發(fā)現：黑色紙片在4的基礎上，依次多3個；根據其中的規(guī)律，用字母表示即可．【解析】第個圖案中有黑色紙片3×1+1=4張第2個圖案中有黑色紙片3×2+1=7張，第3圖案中有黑色紙片3×3+1=10張，…第n個圖案中有黑色紙片=3n+1張.當n=7時，3n+1=3×7+1=22.故選D.【點睛】此題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解題關鍵在于觀察圖形找到規(guī)律.10．將正整數按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序數對(n，m)表示第n排，從左到右第m個數，如(4，3)表示8，已知1+2+3+…+n=，則表示2020的有序數對是()．A．(64，4) B．(65，4) C．(64，61) D．(65，61)【答案】C【分析】根據數字的排列規(guī)律，每一排的數字的個數與對應的排數相同，然后確定出2020所在的排數與這一排的序數，然后根據有序數對的表示寫出即可．【解析】解：根據圖形，第一排1個數，第二排2個數，數字從大到小排列，第三排3個數，數字從小到大排列，第四排4個數，數字從大到小排列，…，則前n排的數字共有個數，∵當n=63時，，則可知2020是第64排從右到左的第4個數，即從左到右的第61個數，可表示為（64，61）．故答案為：（64，61）．故選：C．【點睛】本題是數字變化規(guī)律的考查，根據圖形數字排列規(guī)律判斷出2020所在的排數與序數是解題的關鍵．二、填空題11．按規(guī)律填上第五個數：2，4，6，8，_______，……第n個數_______．【答案】10【分析】由已知4個數得出數列的規(guī)律為：每個數是2的倍數，據此可得答案．【解析】解：∵第1個數2＝2×1，第2個數4＝2×2，第3個數6＝2×3，第4個數8＝2×4，∴第5個數為2×5＝10，∴第n個數為2·n＝2n，故答案為：10，2n．【點睛】本題主要考查數字的變化規(guī)律，解題的關鍵是根據數列的前4個數得出每個數是2的倍數的規(guī)律．12．按某種規(guī)律在橫線上填上適當的數：，______，……第n個數_____．【答案】【分析】本題須先通過觀察已知條件，找出這列數字的規(guī)律即可求出結果．【解析】∵……根據觀察可得第六個數為，故第n個數為，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了數字的規(guī)律變化的有關知識，在解題時要能通過觀察得出規(guī)律是本題的關鍵．13．有一串單項式：a、、、、，……，第7個單項式為______，用字母a和n表示第n個單項式_______．【答案】【分析】本題須先通過觀察已知條件，找出這列單項式的規(guī)律即可求出結果．【解析】解：∵a、、、、，根據觀察可得第6個單項式為，第7個單項式為則第n個單項式為．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了單項式的有關知識，在解題時要能通過觀察得出規(guī)律是本題的關鍵．14．將同樣大小的正方形按下列規(guī)律擺放，把重疊部分涂上顏色，下面的圖案中，在第3個圖案中所有正方形的個數是________個；在第n個圖案中所有正方形的個數是___________個．【答案】11【分析】根據題意得：第1個圖案有2+1=3個正方形；第二個圖案有3+4=7=4×21個正方形；第三個圖案有7+4=11=4×31個正方形；由此發(fā)現規(guī)律，第個圖案有個正方形，即可求解．【解析】解：根據題意得：第1個圖案有2+1=3個正方形；第二個圖案有3+4=7=4×21個正方形；第三個圖案有7+4=11=4×31個正方形；第個圖案有個正方形；故答案為：11；．【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律題，根據題意準確的到規(guī)律是解題的關鍵．15．用黑白兩種顏色的正方形紙片拼成如下一列圖案，按這種規(guī)律排列，第10個圖案中有白色紙片_________張．【答案】31【分析】根據觀察圖形發(fā)現其中的規(guī)律，并應用規(guī)律解決問題．【解析】解：根據題意分析可得：第1個圖案中有白色紙片（張），第2個圖案中有白色紙片（張），第3個圖案中有白色紙片（張），此后，每個圖案都比前一個圖案多3張白色紙片；故按這種規(guī)律排列，第10個圖案中有白色紙片（張），故答案為：31．【點睛】本題考查了平面圖形的有規(guī)律變化，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和分析、歸納能力．16．如圖，在數軸上，、P兩點表示的數分別為到原點O的距離相等，到P點的距離相等，到原點O的距離相等，到P點的距離相等，…，依此規(guī)律，則點表示的數是______．【答案】29【分析】先逐個計算，總結出一般性規(guī)律，再進行求解即可．【解析】解：根據題意得：表示的數為表示的數為表示的數為5，表示的數為表示的數為表示的數為表示的數為表示的數為表示的數為表示的數為表示的數為表示的數為表示的數為表示的數為，……故的結果為：當n為奇數時：；當n為偶數時：；則表示的數是．故答案為：29．【點睛】本題考查了數字類規(guī)律探索問題，解題的關鍵是能通過特殊的結果總結出一般性的規(guī)律．17．一跳蚤在一直線上從O點開始，第一次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位，…，依此規(guī)律跳下去，當它跳第2019次落下時，落點處離O點的距離是_______個單位．【答案】1010【分析】設向右跳動為正，向左跳動為負，由題意可得，解出即可．【解析】設向右跳動為正，向左跳動為負，由題意可得．所以當它跳第2019次落下時，落點處離O點的距離是1010個單位．故答案為：1010．【點睛】本題主要考查了有理數的混合運算的實際應用，明確題意，得出規(guī)律是解題的關鍵．18．已知：，…．（1）請按以上規(guī)律接著寫出：_______；（2）計算：__________．【答案】【分析】（1）根據已知等式得出結果即可；（2）根據（1）得出的規(guī)律計算即可；【解析】解析：（1）已知，，，所以，；（2）根據（1）得出的規(guī)律：原式．【點睛】本題主要考查了數字規(guī)律題型，準確分析計算是解題的關鍵．19．如圖所示，第（1）個圖有2個相同的小正方形，第（2）個圖有6個相同的小正方形，第（3）個圖有12個相同的小正方形，第（4）個圖有20個相同的小正方形，……，按此規(guī)律，那么第（n）個圖有________個相同的小正方形．【答案】n(n＋1)【分析】通過觀察可以發(fā)現，每一個圖形中正方形的個數等于圖形序號乘以比序號大一的數，根據此規(guī)律解答即可.【解析】第(1)個圖有2個相同的小正方形，2＝1×2，第(2)個圖有6個相同的小正方形，6＝2×3，第(3)個圖有12個相同的小正方形，12＝3×4，第(4)個圖有20個相同的小正方形，20＝4×5，…，以此類推，第n個圖應有n(n＋1)個相同的小正方形.【點睛】本題是對圖形變化規(guī)律的考查，發(fā)現正方形的個數是兩個連續(xù)整數的乘積是解題的關鍵，此類題目對同學們的能力要求較高，在平時的學習中要不斷積累.20．觀察下面的等式：回答下列問題：（1）填空：（）；（2）已知，則的值是；（3）設滿足上面特征的等式最左邊的數為，則的最大值是，此時的等式為.【答案】（1）4；（2）0或4；（3）4，【分析】（1）根據即可求解；（2）由（1）的規(guī)律即可求解；（3）由（1）可得進行整理，根據絕對值意義求解即可.【解析】解：根據觀察可以知道，所有的式子符合的形式，所以（1）中此時2a=6，解得a=4，故答案為4；所以（2）中a=2，故22=0，所以x的值為0；根據絕對值的意義將原式化簡可得，求得x=0或x=4，所以x的值為0或4；（3）根據，可知，整理得，所以，所以y的最大值為4，此時的式子是.【點睛】本題考查的是規(guī)律探索和絕對值的意義，能夠找出規(guī)律是解題的關鍵.三、解答題21．觀察下面依次排列的一列數，請按照相同的規(guī)律寫出后面的三個數：（1）1，，3，，5，，7，，____，____，____…（2），，，，，，，，____，___，___，…【答案】（1）9，，11；（2）【分析】（1）根據連續(xù)整數，只有奇偶數的符號不同，找到規(guī)律寫出后面的三個數即可；（2）根據分子和分母相差1，且每兩個數的符號相同，據此規(guī)律寫出后面的三個數即可．【解析】（1）觀察數據發(fā)現：這組數的絕對值是連續(xù)的整數，只有奇偶數的符號不同，則后面三個數的符號為正，負，正，數據為9，10,11；即9，，11故答案為：9，，11；（2）觀察數據發(fā)現：分子和分母相差1，且每兩個數的符號相同，則后面三個數的符號為：負，負，正，數據為；即；故答案為：【點睛】本題考查了正負數的規(guī)律，找到符號規(guī)律是解題的關鍵．22．亮亮和同學觀察下面一列數，探求其規(guī)律：，并解決了下面的問題，相信你也能解決這些問題．（1）寫出這列數的第四個數；（2）第2020個數是什么？（3）如果這一列數無限排列下去，與哪一個數越來越近？【答案】（1）；（2）；（3）0【分析】（1）根據題目中的數字，可以發(fā)現奇數個數都是負數，偶數個數都是正數，第幾個數分母就是幾，從而可以寫出第7個，第8個，第9個，第10個數；

（2）根據題目中的數字的特點，可以寫出第2020個數；

（3）根據分子都是1，分母越來越大，即可得到這列數無限排列下去，越來越接近哪一個數．【解析】（1）一列數為：，第7、8、9、10四個數分別為：；（2）一列數為：，第2020個數是；（3）如果這一列數無限排列下去，越來越近0．【點睛】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現數字的變化特點，寫出相應的數字．23．搭建如圖①的單頂帳篷需要17根鋼管，這樣的帳篷按圖②，圖③的方式串起來搭建，則串5頂這樣的帳篷需要多少根鋼管？串n頂這樣的帳篷需要多少根鋼管？【答案】61，．【分析】根據題意可知搭一個帳篷需要17根鋼管，搭兩個帳篷需要根鋼管，搭三個帳篷需要根鋼管，搭四個帳篷需要根鋼管，可以得到搭n個帳篷需要根鋼管，即可求解．【解析】解：由題意可得：搭一個帳篷需要17根鋼管，搭兩個帳篷需要根鋼管，搭三個帳篷需要根鋼管，搭四個帳篷需要根鋼管，∴可以得到搭n個帳篷需要根鋼管，故時為17+11（51）=61根．答：串5頂這樣的帳篷需要61根鋼管；串n頂這樣的帳篷需要根鋼管．【點睛】本題主要考查了幾何圖形的規(guī)律問題，解題的關鍵在于能夠準確找到規(guī)律進行求解．24．（1）請你計算下列式子（可用計算器），完成后面的問題．計算：_________；________；_________；_________；…根據上述各式的規(guī)律，你認為_______；（2）利用計算器探索規(guī)律：任選中的一個數字，將這個數乘7，再將結果乘15873，你發(fā)現了什么規(guī)律？你能試著解釋一下理由嗎？【答案】（1）42，4422，444222，44442222，；（2）結果都是六位數且這六個數位上的數字都與所選的數字相同，見解析．【分析】(1)從因數7前面6的個數，另一個因數6的個數去尋找規(guī)律；（2）先計算15873×7，從這個積的特點上著手找規(guī)律．【解析】解：（1）因為，，，，所以，即；（2）結果都是六位數且這六個數位上的數字都與所選的數字相同．理由：因為，設中的任一數字為m，則根據題意得：，所以只要選中任一數字，結果都是六位數且這六個數位上的數字都與所選的數字相同．【點睛】本題考查了計算器的使用，熟練掌握計算器的使用，通過計算尋找規(guī)律是解題的關鍵．25．觀察下面的變形規(guī)律：；；；……解答下面的問題：（1）若n為正整數，請你猜想________________；（2）求和：．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根據題目中的式子，可以將所求式子拆項，然后計算即可；（2）根據題目中的式子，可以將所求式子拆項，找出規(guī)律即可得出結果．【解析】解：（2）根據題意可得：，故答案為：；（2）原式＝．【點睛】本題考查了規(guī)律型：數字的變化類，解題的關鍵是根據數字的變化尋找規(guī)律．26．觀察下列關于自然數的等式：①；②；③；…根據上述規(guī)律解決下列問題：（1）完成第四個等式：_______=________；（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示）．【答案】（1）10，；（2）【分析】由等式可以看出：第一個因數是從1開始連續(xù)的自然數，第二個因數比第一個因數大6，結果是第一個因數與3和的平方，減去3的平方，由此規(guī)律得出答案即可．【解析】解：（1）第四個等式：；（2）第個等式為：；證明：左邊，右邊，左邊右邊．【點睛】本題考查了數字的變化類，找出數字之間的運算規(guī)律，發(fā)現規(guī)律是解題關鍵．27．如圖，將一串數按下列規(guī)律排列，回答下列問題：（1）在A處的數是正數還是負數？（2）負數排在中的什么位置？（3）第2020個數是正數還是負數？排在對應于中的什么位置？【答案】（1）正數；（2）B和D的位置是負數；（3）正數，A【分析】（1）根據A是向上箭頭的上方對應的數解答；（2）根據箭頭的方向與所對應的數的正、負情況解答；（3）根據4個數為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2020除以4，根據余數的情況確定所對應的位置即可．【解析】解：（1）A是向上箭頭的上方對應的數，與4的符號相同，在A處的數是正數；（2）通過觀察不難發(fā)現，向下箭頭的上方的數是負數，下方是正數，向上箭頭的下方是負數，上方是正數，所以，B和D的位置是負數；（3）因為，所以第2020個數與4的符號相同，是正數，排在對應于A的位置．【點睛】本題是對數字變化規(guī)律的考查，仔細觀察圖形，從箭頭方向向下和向上兩種情況對應的數的正負情況考慮求解是解題的關鍵．28．學校餐廳中，一張桌子可坐6人，有以下兩種擺放方式：（1）當有5張桌子時，兩種擺放方式各能坐多少人？（2）當有n張桌子時，兩種擺放方式各能坐多少人？（3）新學期有200人在學校就餐，但餐廳只有60張這樣的餐桌，若你是老師，你打算選擇哪種方式來擺放餐桌？為什么？【答案】（1）22，14；（2）4n+2,2n+4；（3）第一種，見解析【分析】（1）旁邊2人除外，每張桌可以坐4人，由此即可解決問題；旁邊4人除外，每張桌可以坐2人，由此即可解決問題；

（2）根據（1）中所得規(guī)律列式可得；

（3）分別求出兩種情形坐的人