第頁第01講勾股定理【題型1：已知直角三角形的兩邊，求第三邊長】【題型2：求直接三角形周長，面積、斜邊上的高等問題】【題型3：等面積法求直接斜邊上的高問題】【題型4：作無理數(shù)的線段】【題型5：勾股定理的證明】考點1：勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段【題型1：一直直角三角形的兩邊，求第三邊長】【典例1】直角三角形兩條直角邊分別為4和6，則斜邊長為（）A．6 B． C．10 D．6或【答案】B【解答】解：∵兩條直角邊的長分別為4和6，∴斜邊＝＝2．故選：B．【變式1-1】直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，若a＝5，c＝13，則b的值為（）A．4 B．8 C．12 D．144【答案】C【解答】解：由勾股定理得：b＝＝＝12故選：C．【變式1-2】如圖Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，則AB的長是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，則由勾股定理知：AB＝＝＝．故選：A．【變式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，則AC的長為（）A．8 B．或12 C． D．12【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC＝＝＝12．故選：D．【題型2：求直接三角形周長，面積、斜邊上的高等問題】【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則△ABC的面積為（）A．17.5 B．20 C． D．28【答案】C【解答】解；如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D．設(shè)BD＝x，則CD＝5﹣x，∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2+BD2＝AC2+CD2，∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，∴x＝4，∴AD＝＝＝4．∴S△ABC＝BC?AD＝×5×4＝10．故選：C．【變式2-1】如圖，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，則AB的長為（）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】A【解答】解：∵∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，∴AC＝＝＝5，∵∠B＝90°，BC＝3，∴AB＝＝＝4，故選：A．【變式2-2】如圖，直角三角形的三邊上分別有一個正方形，其中兩個正方形的面積分別是25和169，則字母B所代表的正方形的面積是（）A．144 B．194 C．12 D．13【答案】A【解答】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面積＝169﹣25＝144．故選：A．【變式2-3】已知直角三角形的周長為24，斜邊長為10，則三角形的面積為（）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解答】解：設(shè)直角三角形兩直角邊長為a，b，∵該直角三角形的周長為24，其斜邊長為10，∴24﹣（a+b）＝10，即a+b＝14，由勾股定理得：a2+b2＝102＝100，∵（a+b）2＝142，∴a2+b2+2ab＝196，即100+2ab＝196，∴ab＝48，∴直角三角形的面積＝ab＝24，故選：B．【題型3：等面積法求直接斜邊上的高問題】【典例3】如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4.8【答案】D【解答】解：如右圖所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，∴BC＝＝＝10，又∵S△ABC＝AC?AB＝BC?AD，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8．故選：D．【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點C到AB的距離是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：設(shè)點C到AB的距離為h，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則有AC2+BC2＝AB2，∵AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝15，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?h，∴h＝＝．故選：A．【變式3-2】如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝2，∵S△ABC＝3×4﹣×1×2﹣×3×2﹣×2×4＝4，∴AC?BD＝4，∴2BD＝4，∴BD＝，故選：C．【變式3-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，則AC邊上的高BD的長為（）A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【答案】C【解答】解：過A作AE⊥BC于點E，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AE⊥BC，∴EB＝EC＝CB＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，∴△ABC的面積為?BC?AE＝×6×4＝12，∴?AC?BD＝12，5×BD＝12，解得BD＝．故選：C．【題型4：作無理數(shù)的線段】【典例4】邊長為1的正方形OABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點B表示的數(shù)是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：∵正方形OABC的邊長為1，∴在等腰直角三角形AOB中，OB＝＝．故選：B．【變式4-1】如圖，數(shù)軸上的點A所表示的數(shù)為x，則點A坐標為﹣+1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，∵OB＝OC＝1，∴BC＝＝，∴AC＝BC＝，OA＝﹣1，∴點A表示的數(shù)為﹣+1，故答案為﹣+1．【變式4-2】（1）如圖4×4的方格，每個小格的頂點叫做格點，若每個小正方形邊長為1單位，請在方格中作一個正方形，同時滿足下列兩個條件：①所作的正方形的頂點，必須在方格上；②所作正方形的面積為8個平方單位（2）在數(shù)軸上表示實數(shù)（保留作圖痕跡）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，四邊形ABCD即為所求的正方形；（2）以A為圓心、AB為半徑做弧交數(shù)軸于點E，點E即為所求．考點2：勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.【題型5：勾股定理的證明】【典例5】如圖，直角三角形ACB，直角頂點C在直線l上，分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點D和點E．（1）求證：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求證：CD＝BE；②若設(shè)△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．【答案】（1）證明過程見解答；（2）①證明過程見解答；②證明過程見解答．【解答】證明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于點D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由圖可知：S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化簡，得：a2+b2＝c2．【變式5-1】（1）為了證明勾股定理，李明將兩個全等的直角三角形按如圖1所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上，如圖1，請利用此圖證明勾股定理；（2）如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿折線A﹣C﹣B運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0），若點P在∠BAC的平分線上，求此時t的值．【答案】（1）a2+b2＝c2；（2）t＝．【解答】解：（1）S梯形ADCB＝S△AEB+S△BEC+S△EDC，＝++，a2+2ab+b2＝c2+2ab，a2+b2＝c2；（2）過A作∠BAC的角平分線交BC于點P，過P作PD⊥AB交AB于點D，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝8cm，∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PC＝PD，∵S△ACP+S△ABP＝S△ABC，AC?CP+AB?PD＝AC?BC，×8×CP+×10×CP＝×8×6，∴CP＝，∴P點走過的路徑為AC+CP＝8+＝，∴t＝÷4＝．【變式5-2】我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積為25，每個直角三角形兩直角邊的和為7，求中間小正方形的邊長．【答案】1．【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊中較長邊為a，較短邊為b，∴大正方形的邊長為，面積為a2+b2，由題意得：，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝49﹣25＝24，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣24＝1，∴a﹣b＝1，∴小正方形的邊長為：4﹣3＝1．【變式5-3】如圖1，將長為2a+3，寬為3a﹣2的長方形ABCD分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個正方形．（1）求圖2中小正方形MNPQ的邊長（用含a的代數(shù)式表示）；（2）當a＝3時，請直接寫出小正方形MNPQ的面積．【答案】（1）+4；（2）．【解答】解：（1）∵直角三角形的較長直角邊長2a+3，較短直角邊長（3a﹣2），∴小正方形MNPQ的邊長＝2a+3﹣（3a﹣2）＝+4；（2）∵當a＝3時，+4＝，∴小正方形MNPQ的面積是×＝．一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?朝陽區(qū)校級期末）圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長為7cm，則圖中A、B兩個正方形的面積之和為（）A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2【答案】C【解答】解：由圖形可知2個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B的面積之和＝49cm2．故選：C．2．（2023秋?綏化期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，則c的長為（）A．26 B．18 C．20 D．21【答案】C【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，∴c＝＝＝20．故選：C．3．（2023秋?榆樹市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．若AC＝12，BC＝16，則AE的長為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，由勾股定理知：AB＝＝＝20．∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點E．∴AE＝BE＝AB＝10．故選：C．4．（2023秋?泉山區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠BAC，則AD的長為（）A．5 B．10 C．12 D．13【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于點D，∴BD＝BC＝5，∴AD＝，故選：C．5．（2022秋?盧龍縣期末）如圖，長方形OABC的OA長為2，AB長為1，OA在數(shù)軸上，點O與原點重合，以原點為圓心，對角線OB的長為半徑畫弧，交負半軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是（）A．2.5 B．﹣2 C． D．﹣【答案】D【解答】解：在Rt△OAB中，OB＝＝＝，則這個點表示的實數(shù)為﹣，故選：D．6．（2023秋?廣饒縣期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，則Rt△ABC的斜邊AB上的高CD的長是（）A． B． C．9 D．6【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，由勾股定理得，AB＝＝＝10，△ABC的面積＝×BC×AC＝×AB×CD，即＝×6×8＝×10×CD，解得，CD＝，故選：B．7．（2022秋?雙流區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交線段AB于點D；以點B為圓心，BD長為半徑畫弧，交線段BC于點E．若BD＝CE，則AC的長為（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【答案】A【解答】解：設(shè)AC＝AD＝xcm，∵BD＝CE，BD＝BE，∴，在△ABC中，∠ACB＝90°，∴△ABC為直角三角形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+162＝（x+8）2，解得：x＝12，即AC＝12cm，故選：A．8．（2022秋?高青縣期末）如圖，已知網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，以點A為圓心，AB為半徑畫弧交網(wǎng)格線于點D，則ED的長為（）A． B．3 C．2 D．【答案】A【解答】解：如圖，連接AD，則AD＝AB＝3，AE＝2，在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2，∴DE＝，故選A．9．（2023秋?蕉城區(qū)期中）如圖：4×1網(wǎng)格中每個正方形邊長為1，表示長的線段是（）A．OA B．OB C．OC D．OD【答案】C【解答】解：由網(wǎng)格的特點可知，，，，∴表示長的線段是OC，故選：C．10．（2023?阜寧縣二模）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】C【解答】解：由題意可得，，∴小正方形的面積＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，故選：C．二．填空題（共5小題）11．（2023秋?市北區(qū)期末）若實數(shù)a，b滿足|a﹣3|+＝0，且a，b恰是直角三角形的兩條邊長，則該直角三角形的斜邊長為4或5．【答案】4或5．【解答】解：∵實數(shù)a，b滿足|a﹣3|+＝0，∴|a﹣3|＝0，，∴a＝3，b＝4，∵a，b恰是直角三角形的兩條邊長，當b＝4為直角邊時，斜邊長＝，當b＝4為斜邊時，斜邊長＝4，∴該直角三角形的斜邊長為4或5，故答案為：4或5．12．（2023秋?北碚區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，CB＝12，BD平分∠ABC，則AD的長是5．【答案】5．【解答】解：由勾股定理得，AC＝，∵BD平分∠ABC，BC⊥CD，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵，∴，∴CD＝4，∴AD＝AC﹣CD＝9﹣4＝5，故答案為：5．13．（2023秋?二道區(qū)期末）如圖①，四個全等的直角三角形與一個小正方形，恰好拼成一個大正方形，這個圖形是由我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．如果圖①中的直角三角形的長直角邊為7cm，短直角邊為3cm，連結(jié)圖②中四條線段得到如圖③的新圖案，則圖③中陰影部分的周長為32cm．【答案】32．【解答】解：由題意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴陰影的周長＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案為：32．14．（2022秋?鯉城區(qū)校級期末）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為5．【答案】5．【解答】解：延長BD與AC交于點E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案為：5．15．（2023秋?泉山區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是邊AB的垂直平分線，則△ADC的周長為16．【答案】16．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，∴BC＝＝10，∵DE是邊AB的垂直平分線，∴BD＝AD，∴△ADC的周長＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．故答案為：16．三．解答題（共3小題）16．（2022秋?綠園區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．【答案】（1）12；（2）16．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝25，∵CD⊥AB，∴S，∴CD＝＝12；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD＝＝＝9，AD＝25﹣9＝16．17．（2023秋?金鳳區(qū)校級期末）如圖，圖1為4×4的方格，每個小格的頂點叫做格點，每個小正方形邊長為1．（1）圖1中正方形ABCD的面積為10，邊長為；（2）①依照圖1中的作法，在下面圖2的方格中作一個正方形，同時滿足下列兩個要求：