《函數(shù)的基本性質(zhì)》知識拓展

知識要點

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知識要點問題1增(減)函數(shù)定義中的x1,x2有什么特征?提示

(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字絕不能去掉,證明時不能以特殊代替一般,如函數(shù)f(x)=x2,雖然f(2)>f(?1),但函數(shù)f(x)=x2在定義域上不是增函數(shù);(2)有大小,通常規(guī)定x1<x2;(3)屬于同一個單調(diào)區(qū)間.問題探究

問題探究問題探究問題3如何理解函數(shù)的單調(diào)性？提示函數(shù)的單調(diào)性可以從三個方面理解1.圖形刻畫

對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x),函數(shù)圖象若從左向右連續(xù)上升,則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增,如圖①;

函數(shù)圖象若從左向右連續(xù)下降,則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減,如圖②.問題探究問題3如何理解函數(shù)的單調(diào)性？2.定性刻畫

對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x),如果函數(shù)值隨自變量的增大而增大,那么就稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增,如果函數(shù)值隨自變量的增大而減小,那么就稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.3.定量刻畫,即定義

上述三方面是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑.問題探究

問題探究問題6函數(shù)的最值和值域有什么聯(lián)系與區(qū)別？提示聯(lián)系:函數(shù)的最值和值域反映的都是函數(shù)的整體性質(zhì),針對的是整個定義域;區(qū)別:(1)函數(shù)的值域一定存在,而函數(shù)的最大(小)值不一定存在;(2)若函數(shù)的最值存在,則一定是值域中的元素,例如,函數(shù)f(x)=x2對任意的x∈R,都有f(x)≥?1,但是f(x)的最小值不是?1,因為?1不在f(x)的值域內(nèi);(3)若函數(shù)的值域是開區(qū)間,則函數(shù)無最值;若函數(shù)的值域是閉區(qū)間,則閉區(qū)間的端點值就是函數(shù)的最值.問題探究問題7函數(shù)f(x)≤1恒成立,則f(x)的最大值是1嗎？提示f(x)≤1恒成立,但如果不存在x0使f(x0)=1,則f(x)的最大值不是1,比如f(x)=?x2的最大值為0,但f(x)=?x2≤1恒成立.問題8對于定義在R上的函數(shù)f(x),若f(?3)=f(3),則函數(shù)f(x)一定是偶函數(shù)嗎？提示不一定,僅有f(?3)=f(3)不足以確定函數(shù)的奇偶性,不滿足定義中的“?x∈I”,故不一定是偶函數(shù).“?x∈I”實則強調(diào)的是函數(shù)的定義域要關(guān)于原點對稱.換言之,若所給函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則這個函數(shù)一定不具有奇偶性.例如,函數(shù)y=x2,要先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,再判斷奇偶性.若偶函數(shù)在原點處有定義,則f(0)=0不一定成立;若奇函數(shù)在原點處有定義,則必有f(0)=0.問題探究問題9函數(shù)f(x)的奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系是怎樣的？提示(1)若f(x)是奇函數(shù),且f(x)在[a,b]上單調(diào),則f(x)在[?b,?a]上有相同的單調(diào)性.(2)若f(x)是偶函數(shù),且f(x)在[a,b]上單調(diào),則f(x)在[?b,?a]上有相反的單調(diào)性.問題10函數(shù)f(x)的奇偶性與函數(shù)f(x)的最值的關(guān)系是怎樣的？提示偶