重慶市榮昌中學(xué)校20232024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某學(xué)校開設(shè)5門球類運動課程、6門田徑類運動課程和3門水上運動課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（）A.90種 B.30種 C.14種 D.11種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解即可.【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的選法共有種．故選：C．2.二項式各項系數(shù)之和為（）A.512 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】令進而求解即得.【詳解】令，則二項式的各項系數(shù)之和為，故選：B3.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，再令即可得解.【詳解】，所以.故選：A.4.從乒乓球運動員男5名、女6名中組織一場混合雙打比賽，不同的組合方法種數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分兩步進行：先選出兩名男選手，再從6名女生中選出2名且與已選好的男生配對.【詳解】分兩步進行：第一步，選出兩名男選手，有種方法；第二步，從6名女生中選出2名且與已選好男生配對，有種.故有種.故選：B.5.某位同學(xué)家中常備三種感冒藥，分別為金花清感顆粒3盒、蓮花清瘟膠囊2盒、清開靈顆粒5盒．若這三類藥物能治愈感冒的概率分別為，他感冒時，隨機從這幾盒藥物里選擇一盒服用（用藥請遵醫(yī)囑），則感冒被治愈的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全概率公式計算可得；【詳解】記服用金花清感顆粒為事件，服用蓮花清瘟膠囊為事件，服用清開靈顆粒為事件，感冒被治愈為事件，依題意可得，，，，，，所以.故選：C6.已知（為常數(shù)）在上有最大值3，則函數(shù)在上的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和最值，根據(jù)最大值為求出，進而根據(jù)單調(diào)性可得其最小值.【詳解】由得，故當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值，即，此時，當(dāng)，，當(dāng)時，故最小值為，故選：C7.質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”.如：3和5，5和7……，在1900年的國際數(shù)學(xué)大會上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個問題，其中第8個就是大名鼎鼎的孿生素數(shù)猜想：即存在無窮多對孿生素數(shù).我國著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素數(shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長達一個半世紀(jì)的難題，證明了孿生素數(shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們在不超過的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件，這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計算方法求得正確答案.【詳解】不超過的自然數(shù)有個，其中素數(shù)有共個，孿生素數(shù)有和，和，和，和，共組.所以，，所以.故選：D8.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，從而將不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，參變分離，再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得答案.【詳解】由于函數(shù)，定義域為R，滿足，得是奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù).在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立.令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，即a的取值范圍為，故選：D.【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，再分離參數(shù)法借助導(dǎo)數(shù)求范圍.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極小值 D.函數(shù)在處取得極大值【答案】BC【解析】【分析】借助圖象的正負即可得原函數(shù)的單調(diào)性及極值點，逐項判斷即可得.【詳解】由圖可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在、上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減，在、處取得極大值，在取得極小值故A錯誤，B正確，C正確，D錯誤.故選：BC.10.甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（）A.、為對立事件 B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】只需注意到事件B是在事件或發(fā)生之后可解.【詳解】因為甲罐中只有紅球和白球，所以A正確；當(dāng)發(fā)生時，乙罐中有4個紅球，7個白球，此時B發(fā)生的概率為，故B正確；當(dāng)發(fā)生時，乙罐中有3個紅球，8個白球，此時B發(fā)生的概率為，故D不正確；，故C不正確.故選：AB11.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，直線不是曲線的切線B.當(dāng)時，函數(shù)有三個零點C.若有三個不同的零點，，，則D.若曲線上有且僅有四點能構(gòu)成一個正方形，則【答案】BCD【解析】【分析】求導(dǎo)即可判斷A，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征即可判斷B，結(jié)合零點的定義代入計算，即可判斷C，由正方形的特點結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算即可判斷D【詳解】當(dāng)時，，則，則，則曲線在點處的切線方程為，故選項錯誤.當(dāng)時，，則，當(dāng)和時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減.又因為，，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，此時，有三個零點，故B選項正確.設(shè)的三個零點分別為，，，則有，展開后比對含項的系數(shù)，可得，故選項C正確.當(dāng)時，易知在上單調(diào)遞增，結(jié)合圖像知不符合題意，故.因為，因此函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形.則此正方形必以為中心，不妨設(shè)正方形的四個頂點分別為A，，，，其中一條對角線的方程為，則，即，解得，則，同理可得.由得，根據(jù)題意，方程只有一個正解，當(dāng)時，顯然不成立.故，則，因為，則，設(shè)，則.設(shè)，根據(jù)題意，只需要直線與函數(shù)的圖像只有唯一的公共點即可.結(jié)合雙勾函數(shù)的圖像可得，解得.所以選項D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：對于選項D：根據(jù)函數(shù)對稱性，結(jié)合正方體分析可知只有一個正解，進而可得結(jié)果.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)在點處的切線方程為，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，可得，因為函數(shù)在點處的切線方程為，可得，解得，所以.故答案為：.13.若，則______．【答案】2555【解析】【分析】分別賦值和即可求得答案.【詳解】因為，所以令時，，即，令時，，即，所以，故答案為：2555.14.已知分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】【分析】先求出到直線的距離，則，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】點到直線的距離，則，又，由知，和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，其值域為，又，令，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為對任意的，都有恒成立，所以，所以實數(shù)的最大值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】【分析】（1）由已知可得，根據(jù)已知求出，代入可得.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出斜率，代入點斜式方程，整理即可得出答案；（2）由（1）知，.解以及，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】由已知可得，所以，解得，所以，所以.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由（1）知，.令，得或.解可得，或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.16.在的展開式中，（1）求二項式系數(shù)最大的項；（2）若第項是有理項，求的取值集合.（3）系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項；【答案】（1）（2）（3）第項和第項【解析】【分析】（1）利用二項式定理求出通項，二項式系數(shù)最大的項為中間項，求解即可；（2）當(dāng)為整數(shù)時為有理項，即可求解；（3）設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大，列方程組即可求解.【小問1詳解】，，二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第項，所以；【小問2詳解】，，當(dāng)為整數(shù)時為有理項，即，則的取值集合為；【小問3詳解】設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大，則，所以，解得，故系數(shù)的絕對值最大的項為第項和第項.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，是等邊三角形，平面平面，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB的中點.（1）證明:平面.（2）求平面PBC與平面PDF夾角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合條件可得平面，然后利用坐標(biāo)法，可得平面的法向量，進而即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.【小問1詳解】因為是等邊三角形，F(xiàn)是AB的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，底面是正方形，如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，不妨令，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，即，又平面，所以平面；【小問2詳解】因為，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，又平面的一個法向量為，所以，所以平面PBC與平面PDF夾角的余弦值為.18.已知橢圓的上、下頂點分別為，點在上，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)坐標(biāo)原點為，若不經(jīng)過點直線與相交于兩點，直線與的斜率互為相反數(shù)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意在上，可得，利用，得出，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，和橢圓方程聯(lián)立，求出M點坐標(biāo)，以代換k,可得N點坐標(biāo)，從而確定直線的斜率，設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合點到直線的距離，表示出的面積，結(jié)合二次函數(shù)知識，即可求得答案.【小問1詳解】由題意橢圓的上、下頂點分別為，故，點在上，故，又，即，即，解得，結(jié)合可得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意知直線斜率存在，故設(shè)為k，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，由題意知該方程有一根為，設(shè)，則，則，因為直線與的斜率互為相反數(shù)，設(shè)，故以代換,可得，，由題意可得，故，所以直線的斜率為，即直線的斜率為，則設(shè)其方程為，聯(lián)立，可得，需滿足，則，故,原點O到直線的距離為，故的面積為，當(dāng)，即時，的面積取到最大值，此時直線的方程.【點睛】難點點睛：解答第二問時涉及到三角形面積取最大值，計算量較大，難度較高，解答時要利用直線方程和橢圓方程的聯(lián)立，確定直線的斜率，進而利用弦長公式和點到直線的距離表示出的面積，從而可解決問題.19.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對數(shù)底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如下問題.（1）證明：；（2）設(shè)，證明：；（3）設(shè)，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；（3）分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，則.當(dāng)時，：當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，，即.【小問2詳解】由泰勒公式