專題5.32相交線與平行線中的旋轉(zhuǎn)問題（分層練習(xí)）（綜合練）一、填空題1．（2023下·四川成都·七年級?？计谥校┤鐖D，點A、B分別在直線上，，，平分，將射線繞點B以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線繞點A以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，當(dāng)與平行時，旋轉(zhuǎn)時間t的值為．2．（2023下·上海松江·七年級統(tǒng)考期中）已知兩個形狀完全相同的直角三角形、，如圖放置，點、重合，點在上，與交于點，，，現(xiàn)將圖中的繞點按每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，恰有一邊與平行的時間為秒．3．（2023下·浙江金華·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）圖1是一盞可折疊臺燈．圖2，圖3是其平面示意圖，支架，為固定支撐桿，支架可繞點C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時（如圖2），恰好與平行，則支架與水平方向的夾角°；若將圖2中的繼續(xù)向上旋轉(zhuǎn)（如圖3），則此時與水平方向的夾角°.

4．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）已知直線，點P、Q分別在上，如圖所示，射線按順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線按順時針方向每秒旋轉(zhuǎn)至停止，此時射線也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線同時開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間30秒時，與的位置關(guān)系為；（2）若射線先轉(zhuǎn)45秒，射線才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)的時間為秒時，．二、解答題5．（2022下·吉林·七年級吉林省實驗?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．（1）∠CBE＝__________°；（2）過點D作DFBE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數(shù)．（3）若把直線FD繞點F旋轉(zhuǎn)，直線FD和直線BE相交于點M，當(dāng)直線FD和△ABC的一邊平行時，請直接寫出∠FME的度數(shù)．6．（2023下·四川南充·七年級統(tǒng)考期末）如圖，以直線上一點O為端點作射線，使，在同一個平面內(nèi)將一個直角三角板的直角頂點放在點O處．（注：）（1）如圖1，如果直角三角板的一邊放在射線上，那么的度數(shù)為______；（2）如圖2，將直角三角板繞點O按順時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，如果恰好平分，求的度數(shù)：（3）如圖3，將直角三角板繞點O任意轉(zhuǎn)動，如果始終在的內(nèi)部，請直接用等式表示和之間的數(shù)量關(guān)系．7．（2022下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）一帶一路”讓中國和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2°，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：__________．（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？8．（2023下·廣西桂林·七年級校聯(lián)考期末）實驗與探究小芳同學(xué)在用數(shù)學(xué)圖形軟件探究平行線的性質(zhì)時，進行如下實驗與探究：在直線上取一定點N，作一任意三角形，過點M作直線，并標(biāo)記為，為，請用平行線的相關(guān)知識解決下列問題．

（1）如圖1，小芳發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點P落在直線與之間時，總有的結(jié)論，請你幫小芳說明理由；（2）將三角形繞點N旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點P落在直線與之外時（如圖2），小芳發(fā)現(xiàn)，，，之間依然滿足某種數(shù)量關(guān)系，請你寫出這個數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點P落在直線與之間時，小芳用數(shù)學(xué)軟件作出與的角平分線和，交點為點Q，發(fā)現(xiàn)與之間也滿足某種數(shù)量關(guān)系，請你寫出這個數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．（2023下·福建三明·七年級三明市列東中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，把一塊含的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上．（1）填空：________，________．（2）如圖2，現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，且點C恰好落在邊上時，①請直接寫出________，________（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）；②若恰好是的倍，求n的值．（3）如圖1三角板的放置，現(xiàn)將射線繞點B以每秒的轉(zhuǎn)速逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線，同時射線繞點Q以每秒的轉(zhuǎn)速順時針旋轉(zhuǎn)得到射線，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)至與重合時，則射線、均停止轉(zhuǎn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在；若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．10．（2023下·廣東廣州·七年級中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，，點，分別在直線，上，，過點作的延長線交于點，交于點，平分，交于點，交于點．（1）直接寫出，，之間的關(guān)系：_____________．（2）若，求．（3）在（2）的條件下，將繞著點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為，當(dāng)邊與射線重合時停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時，求此時的值．11．（2023下·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）取一副三角板按圖①拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC′，如圖②所示．設(shè)∠CAC′＝α（0°＜α≤45°）．（1）當(dāng)α＝15°時，求證：AB∥CD；（2）連接BD，當(dāng)0°＜α≤45°時，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度數(shù)是否變化，若變化，求出變化范圍；若不變，求出其度數(shù)．12．（2023下·廣西南寧·七年級三美學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖1，把一塊含的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上．（1）如圖2，現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，且點C恰好落在邊上時，請直接寫出___________°，___________°（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）；（2）在（1）的條件下，若恰好是的倍，求n的值．（3）如圖1三角板的放置，現(xiàn)將射線繞點B以每秒的轉(zhuǎn)速逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線，同時射線繞點Q以每秒的轉(zhuǎn)速順時針旋轉(zhuǎn)得到射線，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)至與重合時，則射線均停止轉(zhuǎn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．13．（2023下·安徽淮南·七年級統(tǒng)考期中）在數(shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中，老師把我們常用的一副三角板和量角器帶進了課堂．同學(xué)們踴躍參與，設(shè)計出不同的題目，請你幫他們作答：

（1）小蕊將一副三角板按如圖1所示的方式放置，使點落在上，且，請你求出的度數(shù)．（2）如圖2，小旭將一副三角尺按如圖所示擺放在量角器上，邊與量角器的刻度線重合，邊與量角器的刻度線重合．將三角尺繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)三角尺的邊與刻度線重合時三角尺停止運動），當(dāng)運動時間是多少秒時，兩塊三角尺有一組邊?（3）如圖2，愛動腦筋的小瑤在小旭的基礎(chǔ)上，在三角尺旋轉(zhuǎn)的同時將三角尺也繞點以每秒的速度順時計旋轉(zhuǎn)（當(dāng)三角尺的邊與刻度線重合時兩塊三角尺都停止運動），當(dāng)運動時間______________________________________秒時，兩塊三角尺有一組邊平行．14．（2023上·廣西貴港·七年級校考期末）如圖，直線，分別交，于點、，射線、分別從、同時開始繞點順時針旋轉(zhuǎn)，分別與直線交于點、，射線每秒轉(zhuǎn)，射線每秒轉(zhuǎn)，，分別平分，，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒．

（1）用含的代數(shù)式表示：________，________；（2）當(dāng)時，________．（3）當(dāng)時，求出的值．15．（2023下·四川成都·七年級?？计谥校耙粠б宦贰弊屩袊褪澜绺o密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了A，D兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．假定主道路是平行的，即，，為上兩點，平分交于點，為上一點，連接，平分交于點．

（1）若，則；（2）作交于點，且滿足，當(dāng)時，試說明：；（3）在（1）問的條件下，探照燈A、D照出的光線在鐵路所在平面旋轉(zhuǎn)，探照燈射出的光線以每秒5度的速度逆時針轉(zhuǎn)動，探照燈射出的光線以每秒15度的速度逆時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)至射線后立即以相同速度回轉(zhuǎn)，若它們同時開始轉(zhuǎn)動，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為秒，當(dāng)回到出發(fā)時的位置時同時停止轉(zhuǎn)動，則在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)與互相平行或垂直時，請直接寫出此時t的值．16．（2022上·陜西延安·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，已知，點A，B分別在，上，且，射線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是/秒），射線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是/秒）、且a、b滿足．

（1）如圖2，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，兩條旋轉(zhuǎn)射線交于點C，過C作交于點D，求與的數(shù)量關(guān)系；（2）若射線先旋轉(zhuǎn)20秒，射線才開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線旋轉(zhuǎn)時間為t秒，若旋轉(zhuǎn)中，求t的值．17．（2023上·吉林長春·七年級?？计谀⒁桓敝苯侨前灏慈鐖D①方式擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，，），保持三角板不動，將三角板繞點C以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)與射線重合時停止旋轉(zhuǎn)．（1）如圖②，當(dāng)為的平分線時，____________；（2）當(dāng)時，求的度數(shù)；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板的邊平行于三角板的某一邊時（不包含重合的情形），直接寫出的值．18．（2023下·四川遂寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，點O為直線上一點，過點O作射線，使，的一邊在射線上，另一邊在直線的下方，且．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）將圖1中的繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，如圖2，若直線恰好平分銳角，求所運動的時間t值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)與互余時，求出與之間的數(shù)量關(guān)系．19．（2024上·湖南衡陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，直線，一副直角三角板，中，，，，．（1）若按如圖1擺放，當(dāng)平分時，則______；（2）若，按如圖2擺放，則______；（3）若圖2中固定．將沿著方向平行移動，邊與直線相交于點G，作和的角平分線相交于點H（如圖3），求的度數(shù)．（4）若圖2中固定，（如圖4）將繞點A以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，線段與直線首次重合時停止旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段與的一條邊平行時，請求出旋轉(zhuǎn)時間t的值．20．（2021下·重慶·七年級西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，點A在直線PQ上，點C在直線MN上，PQ∥MN，∠CAQ＝60°，CB平分∠ACM．（作答過程不需要寫依據(jù)）（1）∠MCB＝；（2）將∠ACB繞點C以每秒3°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，A的對應(yīng)點為A1，B的對應(yīng)點為B1，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t（t＜50），當(dāng)2∠ACB1+∠A1CN＝100°時，求旋轉(zhuǎn)時間t的值；（3）將射線CB繞點C以每秒2°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線AQ繞點A以每秒10°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為m（m＜40），當(dāng)BC與AQ平行或垂直時，直接寫出旋轉(zhuǎn)時間m的值．21．（2023下·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)校考期中）如圖，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，，，，此時點與點重合，點，，三點共線．（1）固定的位置不變，將繞點按順時針方向進行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與首次平行，如圖2所示，此時的度數(shù)是_________．（2）若直線，固定的位置不變，將圖1中的沿方向平移，使得點正好落在直線上，再將繞點按順時針方向進行旋轉(zhuǎn)，如圖3所示．①若邊與邊交于點，試判斷的值是否為定值，若是定值，則求出該定值；若不是定值，請說明理由．②固定的位置不變，將繞點按順時針方向以每秒的速度進行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與直線首次重合時停止運動，當(dāng)經(jīng)過秒時，線段與的一條邊平行，請直接寫出滿足條件的的值．22．（2023下·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，直線，一副三角板（，，，）按如圖①放置，其中點E在直線上，點B，C均在直線上，且平分．（1）求的度數(shù)；（2）如圖②，若將繞B點以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（A，C的對應(yīng)點分別為F，G）．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒；①在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，求t的值；②若在繞B點旋轉(zhuǎn)的同時，繞E點以每秒4°的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)．請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中有一邊與平行時t的值．23．（2023上·陜西西安·七年級交大附中分校?？茧A段練習(xí)）問題提出已知一副直角三角尺按如圖方式拼接在一起，其中與直線重合，，．（1）在圖中，的度數(shù)為______．問題探究（2）如圖，三角尺固定不動，將三角尺繞著點以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角尺均在直線的上方．設(shè)三角尺的旋轉(zhuǎn)時間為秒，當(dāng)平分時，請求出的值．問題解決（3）如圖，若三角尺繞著點以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)的同時，三角尺也繞著點以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角尺均在直線的上方，且當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)三角尺的旋轉(zhuǎn)時間為秒．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．24．（2023下·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，一副三角板，其中．（1）若這副三角板如圖擺放，，求的度數(shù)．（2）將一副三角板如圖1所示擺放，直線，保持三角板不動，現(xiàn)將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，且，若邊與三角板的一條直角邊（邊）平行時，求所有滿足條件的的值．（3）將一副三角板如圖3所示擺放，直線，現(xiàn)將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時何為秒，如圖4，，且，若邊與三角板的一條直角邊（邊）平行時，請直接寫出滿足條件的的值．參考答案：1．秒或秒【分析】旋轉(zhuǎn)沒過線段，過沒過，過，分三種情況畫圖分析，再利用平行線的性質(zhì)求解即可．解：∵，，∴，∵平分，∴，分三種情況討論：①當(dāng)時，，如圖所示，此時，，，∵，∴，即，解得：②當(dāng)時，，如圖所示，此時，，，∵，∴，即，解得：（舍去）③時，，如圖所示，此時，，，∵，∴，即，解得：綜上分析可得，旋轉(zhuǎn)時間t的值為秒或秒．故答案為：秒或秒．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)姆诸惒嫵鰣D形是解題的關(guān)鍵．2．1或2或5【分析】分三種情形討論：當(dāng)時．當(dāng)時．當(dāng)時，分別求出即可解決問題．解：，，．當(dāng)時，如圖中，∵，，旋轉(zhuǎn)時間．如圖中，當(dāng)時，∵當(dāng)與重合時，，此時，旋轉(zhuǎn)時間．當(dāng)時，如圖中，∵，，∴，旋轉(zhuǎn)時間．綜上所述，旋轉(zhuǎn)時間為或或時，恰有一邊與平行．故答案為：1或2或5．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．3．【分析】利用角平分線定義可得，由垂直定義可得，得出，再運用平行線性質(zhì)即可得出答案．解：如圖2，∵，平分，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即；如圖3，，，過點作，

則，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：；．【點撥】本題考查了平行線性質(zhì)，角平分線定義，垂直定義等，熟練掌握平行線性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．4．15或63或135【分析】（1）求出旋轉(zhuǎn)30秒時，，，過E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，，進而得結(jié)論；（2）分三種情況討論，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出t的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時間．解：（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間30秒時，由已知得：，，如圖所示，設(shè)射線交于E，過E作，則，∴，，∴，∴，故答案為：；（2）①第一次平行時，如圖21所示，則，，∵，，∴，即，解得：；②第二次平行時，如圖22所示，則，，∵，，∴，即，解得：；③第三次平行時，如圖23所示，則，，∵，，∴，即，解得：；綜上所述，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)的時間為15或63或135秒時，．故答案為：15或63或135．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，第（1）題關(guān)鍵是作平行線，第（2）題關(guān)鍵是分情況討論，運用方程思想解決幾何問題．5．（1）69；（2）21°；（3）69°或111°【分析】（1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC的度數(shù)，由鄰補角定義得出∠CBD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義即可求得∠CBE的度數(shù)；（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F的度數(shù)；（3）根據(jù)題意分別畫出圖形，再利用平行線的性質(zhì)解決．解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，∴∠ABC=90°∠A=42°，∴∠CBD=180°42°=138°，∵BE是∠CBD的角平分線，∴∠CBE=∠CBD=69°，故答案為：69；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE=69°，∴∠CEB=90°69°=21°，∵DFBE，∴∠F=∠CEB=21°；（3）當(dāng)FD與BC平行時，如圖，∴∠FME=∠CBE=69°；當(dāng)FM與AB平行時，如圖，∴∠FME=∠ABE=42°+69°=111°；∵F在AC上，∴FM與AC平行不存在，綜上所述：∠FME=69°或111°．【點撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、鄰補角的定義、角平分線的定義，正確畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．6．（1）22°；（2）22°；（3）【分析】（1）根據(jù)，即可求解；（2）由角平分線可得，再利用角的和差進行計算即可求解；（3）分別用∠COE及∠AOD的式子表達∠COD，然后進行列式即可求解．解：（1）∵，∴故答案為：；（2）∵平分，，∴，∵，∴．（3）∵，，∴，∴或．故答案為：或．【點撥】本題考查了角的和差關(guān)系，準(zhǔn)確表達出角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（1）60°；（2）或110【分析】（1）根據(jù)兩角之和為180°以及兩角之比為2:1即可求解；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，此時分兩種情況討論，第一種當(dāng)時，根據(jù)，即有，再結(jié)合，則有，進而有，據(jù)此即可得到關(guān)于t的方程，解方程即可求解；第二種情況，當(dāng)時，同理可得．解：（1）∵，，∴，故答案為：60°；（2）A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)時，如圖1，∵，∴，∵，∴，∴∴，解得；②當(dāng)時，如圖2，∵，∴，∵，∴∴∴，解得，綜上所述，當(dāng)或110時，兩燈的光束互相平行．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系的運用，解決問題的關(guān)鍵是運用分類討論的思想進行求解，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．8．（1）見分析；（2），理由見分析；（3）或，理由見分析【分析】（1）作，可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差可得結(jié)論；（2）作，可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差可得結(jié)論；（3）分兩種情況：當(dāng)點P在右側(cè)時，如圖3，由（1）的結(jié)論可得：，然后根據(jù)角平分線的定義和角的代換即可得出結(jié)論；當(dāng)點P在左側(cè)時，同理即可解答．（1）解：理由如下：作，如圖1，∵，∴，∴，∴；

（2）解：，理由如下：作，如圖2，∵，∴，∴，∴；

（3）解：當(dāng)點P在右側(cè)時，；理由如下：如圖3，由（1）的結(jié)論可得：，∵分別平分，∴，∴；

當(dāng)點P在左側(cè)時，；理由如下：如圖3，由（1）的結(jié)論可得：，∵分別平分，∴，∴；綜上，或

【點撥】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)以及角平分線的定義，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（1）120，90；（2）①，；②n的值是30；（3）t的值為12或48．【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義和平行線的性質(zhì)解答；（2）①根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出，再用三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和可得，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出，然后根據(jù)周角等于計算即可得到；②根據(jù)恰好是的倍列方程，計算可求解；（3）分兩種情況，根據(jù)畫出圖形，列方程可解得答案．（1）解：∵，∴，，∴；故答案為：120，90；（2）解：①如圖2，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∵，∴；故答案為：，；②∵恰好是的倍，∴，解得，∴n的值是30；（3）解：存在，理由如下：如圖：則，∵，∴，∴，解得；如圖：∵，∴，∴，解得，綜上所述，t的值為12或48．【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理并能熟練應(yīng)用．10．（1）；（2）；（3）10，40，50，20，35【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得答案；（2）根據(jù)，分別表示出、、，再由，可得的度數(shù)，從而可得、的度數(shù)，再由即可求解；（3）結(jié)合（2），分以下幾種情況求解：①當(dāng)時，延長交邊于P，②當(dāng)時，③當(dāng)時，即與在同一直線上時，④當(dāng)時，⑤當(dāng)時．（1）解：∵，∴，∵是的外角，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：①當(dāng)時，延長交邊于P，如圖，∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)繞E點旋轉(zhuǎn)時，，（秒）；②當(dāng)時，如圖，∴，，∴，當(dāng)繞點E旋轉(zhuǎn)時，，∴（秒）；③當(dāng)時，即與在同一直線上時，∴，當(dāng)繞點E旋轉(zhuǎn)時，，∴（秒）；④當(dāng)時，∵，∴，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，，∴（秒）⑤當(dāng)時，∵，，∴，∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，，∴（秒），綜上所述，當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時，t的值為10，40，50，20，35．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，一元一次方程在幾何問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并分類討論是解題的關(guān)鍵．11．（1）見分析；（2）∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度數(shù)不變，105°．【分析】（1）根據(jù)三角板的特殊角度值即可求解.（2）作出輔助線,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可解題.解：（1）證明：∵∠CAC′＝15°，∴∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°，又∴∠C＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴AB∥CD；（2）解：∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度數(shù)不變．如圖，連接CC′.∵∠DBC′＋∠BDC＝∠DCC′＋∠BC′C，∠CAC′＋∠ACC′＋∠AC′C＝180°，∴∠CAC′＋∠AC′B＋∠BC′C＋∠ACD＋∠DCC′＝180°，∵∠AC′B＝45°，∠ACD＝30°，∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC＝180°－45°－30°＝105°.【點撥】本題考查了特殊的直角三角形和三角形的內(nèi)角和性質(zhì),屬于簡單題,作出輔助線是解題關(guān)鍵.12．（1），；（2）；（3）t的值為12或48【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，再求出，最后根據(jù)鄰補角互補求出對應(yīng)角的度數(shù)即可；（2）根據(jù)恰好是的倍列方程，計算可求解；（3）分兩種情況，根據(jù)畫出圖形，列方程可解得答案．解：（1），，，，，，，故答案為：，；（2）恰好是的倍，，解得，的值是；（3）存在，理由如下：如圖：則，，，，，解得；如圖：，，，解得，綜上所述，的值為12或48．【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，三角板各個內(nèi)角的特點，掌握平行線的性質(zhì)并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．13．（1）；（2）當(dāng)運動時間是15秒時，兩塊三角尺有一組邊；（3）6或9或15或33【分析】（1）根據(jù)三角板的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求，進而可求；（2）當(dāng)時，，據(jù)此可求解；（3）分類討論、、、、即可求解．（1）解：由三角板的性質(zhì)可知：，，，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：如圖，設(shè)量角器刻度線為，根據(jù)題意，得，

當(dāng)三角尺的邊與180°刻度線重合時兩塊三角尺都停止運動，則運動時間最多為（秒）；當(dāng)時，，即，解得：（秒）；∵，∴滿足題意．∴當(dāng)運動時間是15秒時，兩塊三角尺有一組邊．（3）解：①當(dāng)時：如圖所示

∵∴∴解得：②當(dāng)時：如圖所示

∵∴∴解得：③當(dāng)時：如圖所示

∴∴解得：④當(dāng)時：如圖所示

∴∴解得：⑤當(dāng)時：如圖所示

∴∴∴解得：（舍去）故答案為：6或9或15或33【點撥】本題考查三角形板中的角度計算、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度的度數(shù)．根據(jù)題意畫出滿足條件的圖形是解決第三題的關(guān)鍵．14．（1），；（2）；（3）或.【分析】（1）由題意不難得出，，繼而得到；（2）由平行線的性質(zhì)可得，再結(jié)合是的平分線，即可求解；（3）由平行線的性質(zhì)可得，再由得到，從而求得，分兩種情況討論：當(dāng)點在左側(cè)時和當(dāng)點在右側(cè)時，結(jié)合已知條件，即可求解；（1）解：由題意得：，，，，；故答案為：，；（2），，是的平分線，，當(dāng)時，；故答案為：70；（3）①當(dāng)點在左側(cè)時，

，，，，，，，，解得：；②當(dāng)點在右側(cè)時，如圖，

，，，，，，，，，，解得：；【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對這些知識點的掌握和熟練應(yīng)用．15．（1）100°；（2）見分析；（3）的值為或或或或【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可解；（2）通過計算，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行進行判定即可；（3）分五種情況畫圖，列出關(guān)于t的式子即可解答．解：（1）∵，，．，．平分，．．故答案為：．（2）∵，．，．平分，．．．，．．，．，．∴．（3）．當(dāng)時，則，如圖，

∵，．．由題意，，．．當(dāng)時，則，如圖，

∵，．，．．．當(dāng)時，則，如圖，

∵，．，．．當(dāng)時，則，如圖，

由題意，，．．∵，．．．當(dāng)時，，如圖，

．．，．．綜上，的值為或或或或．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的判定定理有：①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，反之亦然．16．（1）；（2）若旋轉(zhuǎn)中，t的值為10或85．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到a，b的值，由題意可得，再根據(jù)即可得到，從而可得，再根據(jù)，可得，從而可得，即可得出結(jié)論；（2）分三種情況討論，列出方程即可得到射線、射線互相平行時的時間．（1）解：∵a、b滿足．∴，∴，由題意得，∵，∴，過點C作，

∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即；（2）解：∵，∴，即射線旋轉(zhuǎn)的角度小于，①當(dāng)，即時，，解得：；②當(dāng)且，即時，，解得：；③當(dāng)，即時，，解得：（不合題意，舍去）；∴若旋轉(zhuǎn)中，t的值為10或85．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運用，解決問題的關(guān)鍵是運用分類思想進行求解，解題時注意：若兩個非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個非負(fù)數(shù)均等于0．17．（1）3；（2）；（3）的值為15或27或35【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合，分類討論．（1）根據(jù)角平分線的定義求出，然后求出t的值即可；（2）當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)角為，可求出，即可求出；（3）分三種情況進行討論，分別畫出圖形，求出t的值即可．（1）解：如圖2，∵，，∴，∵平分，∴，∴，（2）當(dāng)秒時，的旋轉(zhuǎn)角度為，即，如圖，∴；（3）①當(dāng)時，如圖，此時與重合，旋轉(zhuǎn)角度為，∴；②當(dāng)時，如圖，∵，∴，∴，∴；③當(dāng)時，如圖，∵，∴，∴，∴．18．（1）150°；（2）∠MON所運動的時間t值為3s或12s；（3）∠BOC+∠MOC=180°或∠BOC＝∠MOC【分析】（1）由角的比值，求解∠AOC的度數(shù)，結(jié)合∠MON＝∠AON＝90°，利用∠CON＝∠AOC+∠AON可求∠CON的度數(shù)；（2）可分兩種情況：射線ON平分∠AOC；直線ON恰好平分銳角∠AOC，計算出ON沿逆時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，最后求出時間即可；（3）由∠AOC與∠NOC互余，結(jié)合圖形推∠BOC與∠MOC之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，∴∠AOC＝∵∠MON＝90°，∴∠AON＝180°－∠MON＝90°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150°；（2）解：當(dāng)直線ON平分∠AOC時，如圖3，平分∠AOC，直線ON逆時針旋轉(zhuǎn)60度至直線時，直線ON平分∠AOC，∵∠AOC＝60°，∴∠＝＝30°，∵∠BON＝∠＝30°，∴此時射線ON逆時針旋轉(zhuǎn)了60度，∴∠MON所運動的時間t＝60÷20＝3（s）；如圖4，∵直線ON恰好平分銳角∠AOC，∴ON沿逆時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為90°+150°＝240°，∴∠MON所運動的時間t＝（s）；綜上，∠MON所運動的時間t值為3s或12s；（3）解：如圖6所示：

∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM與OA重合∴∠BOC+∠MOC=180°．如圖5所示：當(dāng)ON平分∠AOC時，∠AOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝30°，∠MOC＝120°，∠BOC＝120°，∴∠BOC＝∠MOC．綜上所述：∠BOC+∠MOC=180°或∠BOC＝∠MOC．【點撥】本題考查了幾何中角度的計算，角互余的定義，掌握逆時針旋轉(zhuǎn)后的角度，畫出符合題意的圖形是解題關(guān)鍵．19．（1）；（2）；（3）的度數(shù)為；（4）繞點順時針旋轉(zhuǎn)的時間為或或時，線段與的一條邊平行．【分析】本題主要考查了平行線性質(zhì)及判定，角平分線定義，一元一次方程的應(yīng)用等，添加輔助線，利用平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）運用角平分線定義及平行線性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）如圖2，過點作，利用平行線性質(zhì)即可求得答案；（3）如圖3，分別過點、作，，運用平行線性質(zhì)和角平分線定義即可得出答案；（4）設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，分三種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別求出旋轉(zhuǎn)角度后，列方程求解即可．（1）解：在中，，，，平分，，∵，，；故答案為：；（2）解：如圖2，過點作，，，∵，，∴，，又．；∴故答案為：；（3）解：如圖3，分別過點、作，，，，∵，，，∴，，，和的角平分線、相交于點，，，，，，，，，；（4）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為每秒轉(zhuǎn)，分三種情況：①當(dāng)時，如圖5，此時，，，解得：；②當(dāng)時，如圖6，，，，解得：；③當(dāng)時，如圖7，延長交于，延長交于，，，，，，，解得：，綜上所述，繞點順時針旋轉(zhuǎn)的時間為或或時，線段與的一條邊平行．20．（1）30°；（2），；（3）3.75，26.25，5，15，20，35【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線有關(guān)計算可求解．（2）動點類問題，因為給定了時間t＜50，考慮射線CB在線段AC的左邊和右邊兩種情況，A1C在CN上方和下方兩種情況．綜上所述分三種情況討論．B1在A的左邊時，2（30﹣3t）+120﹣3t＝100；當(dāng)A1和B1在∠ACN之間時，2（3t﹣30）+120﹣3t＝100；當(dāng)A1和B1在∠ACN之間時，2（3t﹣30）+3t﹣120＝100．解出的t要滿足對應(yīng)的取值范圍即可．（3）以直線MN為基準(zhǔn)線，當(dāng)m＝0時，∠MCB＝30°．射線CB每秒2°，射線AQ每秒10°，m＜40，因此射線CB旋轉(zhuǎn)小于80°，射線AQ旋轉(zhuǎn)小于400°．BC∥AQ有兩種：30+2m＝10m或30+2m＝10m﹣180．BC⊥AQ有三種情況：30+2m+10m＝90，30+2m+10m＝270，30+2m+10m＝450，解出即可．解：（1）∵PQ∥MN，∠CAQ＝60°，∴∠ACM＝∠CAQ＝60°．又∵CB平分∠ACM，∴∠MCB＝30°．故答案為：30°．（2）∵t＜50，∴可旋轉(zhuǎn)的度數(shù)3×50＝150°＜180°，即B不會運動到直線CN上．①當(dāng)B1在A的左邊時，t＜30÷3＝10，∠ACN＝120°，∴∠ACB1＝30﹣3t，∠A1CN＝120﹣3t又∵2∠ACB1+∠A1CN＝100°，∴2（30﹣3t）+120﹣3t＝100，∴t＝．②當(dāng)A1和B1在∠ACN之間時，10≤t≤40，∴∠ACB1＝3t﹣30，∠A1CN＝120﹣3t．又∵2∠ACB1+∠A1CN＝100°，∴2（3t﹣30）+120﹣3t＝100，∴t＝．③當(dāng)B1在∠ACN之間，A1在直線CN下方時，40＜t＜50，∴∠ACB1＝3t﹣30，∠A1CN＝3t﹣120．又∵2∠ACB1+∠A1CN＝100°，∴2（3t﹣30）+3t﹣120＝100，∴t＝（舍去）．∴綜上所述，t的取值為或；（3）∵m＜40，∴當(dāng)BC∥AQ時有兩種：30+2m＝10m或30+2m＝10m﹣180，解得m＝3.75，26.25．∴當(dāng)BC⊥AQ時有三種情況：30+2m+10m＝90，30+2m+10m＝270，30+2m+10m＝450，解得m＝5，20，35．當(dāng)m=15時，CB與CA重合，此時∠CAQ=90°，符合條件．答：m的值為3.75，26.25，5，15，20，35．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的有關(guān)計算，垂直的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.21．（1）；（2）①是定值，；②或或