專題16.9二次根式的加減（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】同類二次根式1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.

特別提醒：

(1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；

(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無關(guān).

2.合并同類二次根式

合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似)

特別提醒：

(1)根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；

(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.【知識(shí)點(diǎn)二】二次根式的加減一般地，二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.特別提醒合并二次根式的方法與合并同類項(xiàng)類似，將根號(hào)外的因式或因式相加，將更好歪的因數(shù)或因式相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)是分配律和逆向運(yùn)用.【知識(shí)點(diǎn)三】二次根式加減運(yùn)算方法將各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式，將其合并.若有括號(hào)，則先去掉括號(hào)再運(yùn)算.另外，有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律都適用于二次根式的運(yùn)算.【知識(shí)點(diǎn)四】二次根式的混合運(yùn)算1.內(nèi)容： 二次根式的混合運(yùn)算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.2.運(yùn)算順序：二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序一樣，先乘方，在乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去掉括號(hào)）.特別提醒二次根式運(yùn)算時(shí)的注意事項(xiàng)：（1）結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式或整式.（2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.（3）若分子為多項(xiàng)式，則去分母線時(shí)要加括號(hào).【知識(shí)點(diǎn)五】與二次根式相關(guān)運(yùn)算方法二次根式的運(yùn)算順序同實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，都是從高級(jí)到低級(jí)進(jìn)行運(yùn)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里的.有時(shí)可用一些方法技巧簡(jiǎn)化運(yùn)算.【知識(shí)點(diǎn)六】二次根式大小比較方法1.平方法：若兩個(gè)二次根式同號(hào)，則可先將兩個(gè)二次根式分別平方，再根據(jù)比較實(shí)數(shù)的大小方法比較即可.如當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，若a2＞b2.比較被開方數(shù)法：先把根號(hào)外的正因數(shù)平方后移到根號(hào)內(nèi)，計(jì)算出被開方數(shù)，在比較被開方數(shù)的大小，被開方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大.3.作商法：同號(hào)兩數(shù)相除，比較商與1的大小，如當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)，①若aba＞b；若ab=1，則a=b；③若a4.倒數(shù)法：若（a+b）（a?b）=1則（a+b）與（a?b）為倒數(shù).因此比較大小時(shí)，可把（【考點(diǎn)目錄】【概念理解與鞏固】【考點(diǎn)1】同類二次根式；【考點(diǎn)2】分母有理化【運(yùn)算與化簡(jiǎn)】【考點(diǎn)3】二次根式的加減運(yùn)算；【考點(diǎn)4】二次根式的求值與化簡(jiǎn)；【考點(diǎn)5】二次根式的大小比較；【應(yīng)用】【考點(diǎn)6】二次根式的應(yīng)用【概念理解與鞏固】【考點(diǎn)1】同類二次根式；【例1】（2023下·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）是否存在實(shí)數(shù)，使最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式？若存在，求出的?；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】不存在．理由見分析．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式的定義列出方程求出的值，再把的值代入原式看是否符合題意即可．解：不存在．理由如下：若與是同類二次根式，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，與都不是最簡(jiǎn)二次根式．故不存在實(shí)數(shù)，使最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式．【點(diǎn)撥】此題主要考查了同類二次根式的定義，即化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．【變式1】（2023上·河南駐馬店·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列能與合并的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次根式的性質(zhì)將各項(xiàng)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義即可解答；解：A、∵是整數(shù)，∴不能與合并，故A項(xiàng)不符合題意；B、∵∴能與合并，故B項(xiàng)符合題意；C、∵∴不能與合并，故C項(xiàng)不符合題意；D、∵∴不能與合并，故D項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)，最簡(jiǎn)二次根式的定義，同類二次根式的定義，熟記二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·四川眉山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則．【答案】0【分析】根據(jù)二次根式的定義化簡(jiǎn)得，由此得到，求出a與b的值即可．解：∵是二次根式，∴∴，解得，∴故答案為0．【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，同類二次根式的定義，解二元一次方程組，已知字母的值求代數(shù)式的值，正確掌握同類二次根式的定義得到方程組是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2】分母有理化【例2】（2024上·遼寧遼陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“分母有理化”為主題開展探究活動(dòng)．【發(fā)現(xiàn)問題】在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，有時(shí)會(huì)碰上如這樣的式子，其分母中含有無理數(shù)．【提出問題】在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，分母中含有無理數(shù)如何化簡(jiǎn)．【分析問題】同學(xué)們認(rèn)為要想把分母中的無理數(shù)去掉，可根據(jù)所學(xué)公式和來解決．【解決問題】一部分同學(xué)認(rèn)為可以如下方法化簡(jiǎn)：．另一部分同學(xué)認(rèn)為還可以如下方法化簡(jiǎn)：．以上這兩種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．（1）選擇合適的方法化簡(jiǎn)：（n為正整數(shù)）；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（）利用第一種方法即可求解；（）把提出來，利用第一種方法分母有理化，再進(jìn)行運(yùn)算即可求解；本題考查了分母有理化，二次根式的加法運(yùn)算，掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．（1）解：原式；（2）解：原式，，，，．【變式1】（2023下·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)倒數(shù)的意義進(jìn)行判斷即可．解：∵，∴的倒數(shù)是．故選：B．【點(diǎn)撥】一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，就是1除以這個(gè)數(shù)，0沒有倒數(shù)．解題的關(guān)鍵是知曉倒數(shù)的定義．【變式2】（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎瑒t．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，先對(duì)分母有理化得到，再把即可求解，正確求出，再把所求式子變成是解題的關(guān)鍵．解：∵，∴．故答案為：．【運(yùn)算與化簡(jiǎn)】【考點(diǎn)3】二次根式的加減運(yùn)算；【例3】（2023上·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)二次根式性質(zhì)先化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式先化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【變式1】（2024上·甘肅蘭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二次根式的四則運(yùn)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．解：A、與不是同類二次根式，不能合并，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、，原式計(jì)算正確，符合題意；故選：D．【變式2】（2023上·內(nèi)蒙古包頭·八年級(jí)包頭市第二十九中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)、分母有理化、零指數(shù)冪、二次根式的減法，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)二次根式和計(jì)算零指數(shù)冪，再計(jì)算二次根式的減法即可得．解：原式，故答案為：．【考點(diǎn)4】二次根式的求值與化簡(jiǎn)；【例4】（2023上·湖北武漢·八年級(jí)期末）設(shè)，，求值.【答案】31【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵，整式的乘法的運(yùn)算公式及運(yùn)算法則對(duì)二次根式的運(yùn)算同樣適應(yīng)．先把，化簡(jiǎn)，再把變形為代入計(jì)算即可．解：∵，，∴．【變式1】（2023上·湖南岳陽·八年級(jí)岳陽市弘毅新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則代數(shù)式的值是（

）．A．2006 B．2005 C．2004 D．2003【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式化簡(jiǎn)求值和完全平方公式的運(yùn)用，對(duì)原式能進(jìn)行正確的變形是解答本題的關(guān)鍵．對(duì)原式配方再根據(jù)已知條件代入求解即可．解：∵，∴；∴．故選：A．【變式2】（2024下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）若，，則的值是．【答案】7【解析】略【考點(diǎn)5】二次根式的大小比較；【例5】（2020下·安徽滁州·八年級(jí)校考期中）比較大?。孩賍____ ②___【答案】①＜；②＜【分析】①利用作差法比較大小即可；②利用分子有理化即可比較大?。猓孩伲?∵∴＜0∴＜故答案為：＜；②====∵＞∴∴＜故答案為：＜．【點(diǎn)撥】此題考查的是實(shí)數(shù)的比較大小，掌握利用作差法和分子有理化比較大小是解決此題的關(guān)鍵．【變式1】（2021上·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期中）比較大小錯(cuò)誤的是（

）A．＜ B．＋2＜﹣1C．＞﹣6 D．|1－|＞－1【答案】D【分析】利用比較實(shí)數(shù)大小的方法逐項(xiàng)判斷正誤即可．解：A、由于5<7，則＜，故正確；B、由于＋2<6+2=8，而8=91<－1，則＋2＜﹣1，故正確；C、由于，則，故正確；D、由于，故錯(cuò)誤．故選：D【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較，涉及二次根式的比較，不等式的性質(zhì)等知識(shí)，其中掌握二次根式大小的比較是關(guān)鍵．【變式2】（2023上·黑龍江綏化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大?。海ㄌ睢啊薄ⅰ啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查了二次根式比較大小，把兩個(gè)二次根式都平方，然后比較平方后的數(shù)的大小即可得到答案．解：∵，∴，故答案為：．【應(yīng)用】【考點(diǎn)6】二次根式的應(yīng)用【例6】（2023上·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以化成另一個(gè)式子的平方，如：；．【類比歸納】（1）請(qǐng)你仿照小明的方法將化成另一個(gè)式子的平方；（2）請(qǐng)運(yùn)用小明的方法化簡(jiǎn)：．【變式探究】（3）若，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和完全平方公式的使用，（1）將7看成是，則，由此求解即可；（2）將11看成是，則，由此求解即可；（3）根據(jù)，可以得到，或，再根據(jù)a，m，n均為正整數(shù)，則，或，，由此求解即可．解：（1）（2）（3）∵，，∴，，∵a，m，n均為正整數(shù)，∴，∴或．【變式1】（2023上·浙江溫州·七年級(jí)校考期中）如圖，在一個(gè)正方形的內(nèi)部放置大小不同的兩個(gè)小正方形，其中較大的正方形的面積為15，重疊部分的面積為1，空白部分的面積為，則較小的正方形面積為（

）A．4 B． C．9 D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，觀察圖形得到各個(gè)正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)面積可求得大正方形和陰影部分的邊長(zhǎng)，從而求得空白部分的長(zhǎng)；觀察可知兩塊空白部分全等，則可得到一塊空白的面積；通過長(zhǎng)方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長(zhǎng)即可求出面積．解：∵觀察可知，兩個(gè)空白部分的長(zhǎng)相等，寬也相等，∴重疊部分也為正方形，∵空白部分的面積為，∴一個(gè)空白長(zhǎng)方形面積為，∵大正方形面積為15，重疊部分面積為1，∴大正方形邊長(zhǎng)為，重疊部分邊長(zhǎng)1，∴空白部分的長(zhǎng)為，設(shè)空白部分寬為x，可得：，解得：，∴小正方形的邊長(zhǎng)=空白部分的寬+重疊部分邊長(zhǎng)，∴