第四章不定積分求原來那個函數的問題.已知某曲線的切線斜率為2x,

本章研究微分運算的逆運算已會求已知函數的導數和微分的運算.解決相反的問題,就是已知函數的導數或微分,例如某質點作直線運動,已知運動速度函數

求路程函數.常要求此曲線的方程.1.2.不定積分.

1第一節(jié)不定積分的基本知識原函數與不定積分的概念基本積分公式不定積分的性質小結思考題

indefiniteintegral第四章不定積分2一、原函數與不定積分的概念幾何問題解例1設曲線方程上任一點的切線斜率都等于切點處橫坐標的兩倍,求曲線的方程.設曲線方程為滿足此條件的函數有無窮多個,如等都是.一般,所求曲線方程為C為任意常數.不定積分的基本知識3定義1例1.原函數如果在區(qū)間I上,則稱或原函數.一個或由知是原函數.也是的原函數,其中為任意常數.不定積分的基本知識4問:?原函數存在問題則在該區(qū)間上存在可導函數即,連續(xù)函數一定有原函數.以后談到函數的原函數時,總是對其連續(xù)區(qū)間而言.不定積分的基本知識5如,問:否!問:是否有其他類型的原函數?否!不定積分的基本知識6一般,的原函數(C為任意常數).因一個函數如果有原函數,就有無窮多個.在區(qū)間I上的一個在區(qū)間I上的任一原函數都其中C為某一常數.則定理定理表明:的一整族函數形如是f(x)的全部原函數.原函數,

結論

的形式,可表為不定積分的基本知識7故證的另一個原函數,則又只要找到f(x)的一個原函數,就知道它的全部原函數.在區(qū)間I上的一個原函數,則f(x)在區(qū)間I上的任一原函數都可表為其中C為某一常數.定理的形式,要證常數因為不定積分的基本知識導數恒為零的函數必為常數某個常數8注意:若將”區(qū)間I”改為則定理的結論未必成立.如不定積分的基本知識9積分變量積分常數被積函數定義2被積表達式2.不定積分不定積分.(1)定義全部原函數的一般表達式稱為函數f(x)的

總和(summa)記為積分號不定積分的基本知識101.被積函數是原函數的導數,被積表達式是原函數的微分.2.不定積分表示那些導數等于被積函數的所或說其微分等于被積表達式的所有函數.有函數.因此絕不能漏寫積分常數C.3.

求已知函數的原函數或不定積分的運算稱

為積分運算,它是微分運算的逆運算.4.以后不定積分的適用區(qū)間常指被積函數的連續(xù)區(qū)間.不定積分的基本知識11例求解解例

?不定積分的基本知識12(2)不定積分的幾何意義積分曲線稱為的積分曲線.的圖形向平行于y軸的方向任意上下移動,得出的無窮多條曲線,稱為的圖形是平面的一條曲線,是將曲線族.不定積分的基本知識13

由于不論常數C取何值,同一x處其導數等于f(x),各切線相互平行.有積分曲線族即x不定積分的基本知識14解故所求曲線方程為(3)積分常數的確定求通過點且其切線斜率為2x曲線.例

在求原函數的實際問題中,有時要從全部原函數中確定出所需要的具有某特性的一個原函數,這時應根據這個特性確定常數C的值,從而找出需要的原函數.的曲線族為有不定積分的基本知識15解例所以不定積分的基本知識16

由不定積分的定義

結論微分運算與求不定積分的運算是如(1)或或互逆的.二、不定積分的性質不定積分的基本知識17證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）(2)(2)，(3)稱為線性性質.

思考:k=0,等式是否成立?(3)不定積分的基本知識18實例啟示能否根據求導公式得出積分公式結論

要判斷一個不定積分公式是否正確,只要將右端的函數求導,看是否等于被積函數.求導公式?積分公式.?三、基本積分公式積分運算和微分運算是互逆的，不定積分的基本知識19基本積分公式(k是常數)說明：簡寫為不定積分的基本知識20不定積分的基本知識21熟記不定積分的基本知識22注意:1.不定積分的答案形式可以不同,只要導數等于被積函數就行.如,不定積分的基本知識232.3.絕大部分求不定積分是探索性的,有些或者沒有原函數,或者寫不出原函數.如,有原函數,但不是初等函數.在x=0不連續(xù),沒有原函數.不定積分的基本知識24例求下列不定積分.出一些簡單函數的不定積分,稱為利用不定積分的性質和基本積分公式,可求直接積分法.不定積分的基本知識25例求積分解不定積分的基本知識26例求積分解

稱為分項積分法.分項積分法

利用線性性質計算積分,上兩例是將被積函數作恒等變形,不定積分的基本知識27例求積分不定積分的基本知識28解例

不定積分的基本知識

以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形,才能使用基本積分表.29解所求曲線方程為不定積分的基本知識已知一曲線y=f(x)在點(x,f(x))處的切線例斜率為且此曲線與y軸的交點為(0,5),求此曲線的方程.30例設求不定積分的基本知識31練習不定積分的基本知識32練習不定積分的基本知識33熟記基本積分公式不定積分的性質

原函數的概念不定積分的概念求微分與求積分的互逆