集合間的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符號和Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系.3.掌握列舉有限集的所有子集的方法.知識點一子集思考如果把“馬”和“白馬”視為兩個集合，則這兩個集合中的元素有什么關(guān)系？答案所有的白馬都是馬，馬不一定是白馬.梳理對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A含于B”(或“B包含A”).子集的有關(guān)性質(zhì)：(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.(2)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.(3)若A?B，B?A，則A＝B.知識點二真子集思考在知識點一中，我們知道集合A是它本身的子集，那么如何刻畫至少比A少一個元素的A的子集？答案用真子集.梳理如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，稱集合A是集合B的真子集，記作：A?B(或B?A)，讀作：A真包含于B(或B真包含A).知識點三空集思考集合{x∈R|x2＜0}中有幾個元素？答案0個.梳理定義不含任何元素的集合叫做空集符號用符號表示為?規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集知識點四Venn圖思考圖中集合A，B，C的關(guān)系用符號可表示為__________.答案A?B?C梳理一般地，用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.Venn圖可以直觀地表達(dá)集合間的關(guān)系.類型一求集合的子集例1(1)寫出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有多少個子集？多少個真子集？驗證你的結(jié)論.解(1)?，{a}，，{c}，lnlhpvl，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}.(2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有2n個子集，2n－1個真子集.如?，有一個子集，0個真子集.反思與感悟為了羅列時不重不漏，要講究列舉順序，這個順序有點類似于從1到100數(shù)數(shù)：先是一位數(shù)，然后是兩位數(shù)，在兩位數(shù)中，先數(shù)首位是1的等等.跟蹤訓(xùn)練1適合條件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的個數(shù)是()A.15 B.16C.31 D.32答案A解析這樣的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15個.類型二判斷集合間的關(guān)系命題角度1概念間的包含關(guān)系例2設(shè)集合M＝{菱形}，N＝{平行四邊形}，P＝{四邊形}，Q＝{正方形}，則這些集合之間的關(guān)系為()A.P?N?M?Q B.Q?M?N?PC.P?M?N?Q D.Q?N?M?P答案B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四邊形，平行四邊形都是四邊形，所以選B.反思與感悟一個概念通常就是一個集合，要判斷概念間的關(guān)系首先得準(zhǔn)確理解概念的定義.跟蹤訓(xùn)練2我們已經(jīng)知道自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集可以分別用N、Z、Q、R表示，用符號表示N、Z、Q、R的關(guān)系為________.答案N?Z?Q?R命題角度2數(shù)集間的包含關(guān)系例3設(shè)集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，則A與B的關(guān)系為()A.A∈B B.B∈AC.A?B D.B?A答案C解析∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A?B.反思與感悟判斷集合關(guān)系的方法(1)觀察法：一一列舉觀察.(2)元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.跟蹤訓(xùn)練3已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，則()A.A∈B B.A?BC.B?A D.B?A答案B解析由數(shù)軸易知A中元素都屬于B，B中至少有一個元素如－2?A，故有A?B.類型三由集合間的關(guān)系求參數(shù)(或參數(shù)范圍)例4已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求實數(shù)a的值.解A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}.(1)當(dāng)a＝0時，B＝??A，符合題意.(2)當(dāng)a≠0時，B＝{x|ax＝1}＝{eq\f(1,a)}，∵eq\f(1,a)≠0，要使A?B，只有eq\f(1,a)＝1，即a＝1.綜上，a＝0或a＝1.反思與感悟集合A的子集可分三類：?、A本身，A的非空真子集，解題中易忽略?.跟蹤訓(xùn)練4已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A?B，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)2a－3≥a－2，即a≥1時，B＝??A，符合題意.(2)當(dāng)a<1時，要使A?B，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,2a－3≥1，,a－2≤2，))這樣的實數(shù)a不存在.綜上，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}.1.下列集合中，結(jié)果是空集的是()A.{x∈R|x2－1＝0} B.{x|x＞6或x＜1}C.{(x，y)|x2＋y2＝0} D.{x|x＞6且x＜1}答案D2.集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，則P與T的關(guān)系為()A.P?T B.P∈TC.P＝T D.P?T答案A3.下列關(guān)系錯誤的是()A.??? B.A?AC.??A D.?∈A答案D4.下列正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的Venn圖是()答案B5.若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，則實數(shù)a可以是()A.3 B.4C.5 D.6答案D1.對子集、真子集有關(guān)概念的理解(1)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，這是判斷A?B的常用方法.(2)不能簡單地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為若A＝?時，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定義中，A?B首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但xD∈/A.2.集合子集的個數(shù)求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集.集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集.寫集合的子集時，空集和集合本身易漏掉.3.由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點及常用方法(1)注意點：①不能忽視集合為?的情形；②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論.(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.課時作業(yè)一、選擇題1．在下列關(guān)系中錯誤的個數(shù)是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}?{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}；⑤{0,1}?{(0,1)}；A．1B．2C．3D．4答案B解析①正確；因為集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用屬于來表示，所以②錯誤；③正確，因為任何集合都是它本身的子集；④正確，因為集合元素具有無序性；因為集合{0,1}表示數(shù)集，它有兩個元素，而集合{(0,1)}表示點集，它只有一個元素，所以⑤錯誤，所以錯誤的個數(shù)是2.故選B.2．已知集合A＝{x|x＝eq\f(1,9)(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝eq\f(4,9)k±eq\f(1,9)，k∈Z}，則集合A，B之間的關(guān)系為()A．A?B B．B?AC．A＝B D．A≠B答案C解析A＝{x|x＝eq\f(2k＋1,9)，k∈Z}＝{…，－eq\f(5,9)，－eq\f(3,9)，－eq\f(1,9)，eq\f(1,9)，eq\f(3,9)，eq\f(5,9)，…}，B＝{x|x＝eq\f(4k±1,9)，k∈Z}＝{…，－eq\f(5,9)，－eq\f(3,9)，－eq\f(1,9)，eq\f(1,9)，eq\f(3,9)，eq\f(5,9)，…}，故A＝B.3．已知集合U、S、T、F的關(guān)系如圖所示，則下列關(guān)系正確的是()①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.A．①③ B．②③C．③④ D．③⑥答案D解析元素與集合之間的關(guān)系才用∈，故①⑤錯；子集的區(qū)域要被全部涵蓋，故②④錯．4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等邊三角形}，則()A．A?B B．C?BC．D?C D．A?D答案B解析∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C?B.5．設(shè)M為非空的數(shù)集，M?{7,8,9,10}，且M中至少含有一個偶數(shù)元素，則這樣的集合M共有()A．12個B．13個C．14個D．15個答案A解析集合{7,8,9,10}的所有子集共有24＝16(個)，集合{7,9}的所有子集共有4個，故滿足要求的集合M共有16－4＝12(個)．6．設(shè)集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，則(a，b)不能是()A．(－1,1) B．(－1,0)C．(0，－1) D．(1,1)答案B解析當(dāng)a＝－1，b＝1時，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；當(dāng)a＝b＝1時，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；當(dāng)a＝0，b＝－1時，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；當(dāng)a＝－1，b＝0時，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．7．設(shè)B＝{1,2}，A＝{x|x?B}，則A與B的關(guān)系是()A．A?B B．B?AC．B∈A D．A＝B答案C解析∵A＝{x|x?B}，∴A＝{?，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.二、填空題8．若M?P，M?Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，則滿足上述條件的集合M的個數(shù)是________．答案4解析P，Q中的公共元素組成集合C＝{0,2}，M?C，這樣的集合M共有22＝4個．9．已知{0,1}?A?{－1,0,1}，則集合A＝________.答案{－1,0,1}解析由題意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三個元素，又因為A?{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}．10．若集合{x|a≤x≤3a－1}表示非空集合，則a的取值范圍是________．答案{a|a≥eq\f(1,2)}解析∵集合{x|a≤x≤3a－1}表示非空集合，∴3a－1≥a，解得a≥eq\f(1,2)，∴a的取值范圍是{a|a≥eq\f(1,2)}．故答案為{a|a≥eq\f(1,2)}．11．若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B?A，則實數(shù)a＝________.答案0或1解析當(dāng)B＝?時，a＝0，滿足B?A；當(dāng)B≠?時，B＝{eq\f(2,a)}，又B?A，∴2≤eq\f(2,a)≤3，即eq\f(2,3)≤a≤1，又a∈Z，∴a＝1.綜上知a的值為0或1.12．設(shè)集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M與P的關(guān)系為________．答案M＝P解析∵xy>0，∴x，y同號，又x＋y<0，∴x<0，y<0，即集合M表示第三象限內(nèi)的點，而集合P表示第三象限內(nèi)的點，故M＝P.13．若{1，a，eq\f(b,a)}＝{0，a2，a＋b}，則a2018＋b2018＝________.答案1解析據(jù)題意得a≠0，∴b＝0，∴{1，a,0}＝{0，a2，a}，∴a2＝1，解得a＝1或a＝－1.當(dāng)a＝1時，不滿足集合的互異性，∴a＝－1，∴a2018＋b2018＝1.故答案為1.三、解答題14．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，試列舉滿足條件A?C?B的集合C.解先用列舉法表示集合A，B.由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．15．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有兩個，求實數(shù)a的值．解∵集合A的子集只有兩個，∴A中只有一個元素．當(dāng)a＝0時，x＝eq\f(2,3).當(dāng)a≠0時，Δ＝(－3)2－4a×2＝0