《數(shù)學歸納法》第一課時教學設計

第一篇：《教學歸納法》第一課時教學設計

《數(shù)學歸納法》第一課時教學設計

教材分析：

本節(jié)課是人教A版4-5第四講第一節(jié)數(shù)學歸納法第一課時,

主要是讓學生了解數(shù)學歸納法原理，并能夠用數(shù)學歸納法證

明一些與正整數(shù)有關的實際問題。它將一個無窮歸納過程轉

化為一個有限步驟的演繹過程，是促進學生從有限思維發(fā)展

到無限思維，并培養(yǎng)學生嚴密的推理能力和抽象思維能力的

重要載體。

學情分析：

由于此前數(shù)列和推理與證明兩部分的學習，使學生對歸納推

理有了一定的認知。

教學目標：

知識與技能目標：

1.了解數(shù)學歸納法產(chǎn)生的根源及其無窮遞推的本質，認清

“奠基”和“遞推”兩者缺一不可。

2.體會數(shù)學歸納法的思想，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的

命題。

過程與方法目標：

1.親身感悟數(shù)學歸納法原理發(fā)現(xiàn)和提出的過程，體會其由無

限問題化為有限問題這一轉化的數(shù)學思想。

2.精心創(chuàng)設積極思考、大膽質疑的課堂愉悅情境，提高學習

興趣和課堂效率。

情感態(tài)度與價值觀目標：

1.通過對數(shù)學歸納法的學習，進一步感受數(shù)學來源于生活，

并形成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和數(shù)學思維品質。

2.認識有限與無限的辯證關系。

教學重點：

數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析及其適用范圍，掌握數(shù)學歸納法

證題的基本步驟。

教學難點：

認識數(shù)學歸納法的證明思路，對數(shù)學歸納法中遞推思想的理

解。

教具準備：

傳統(tǒng)板書與多媒體輔助教學相結合。

教學過程：

、情景設置

問題1:通過計算下面的式子，你能猜想出T+3-5+…+(7)

n(2n-1)的結果嗎？證明你的結論。

-1+3=

-1+3-5=

-1+3-5+7=

-1+3-5+7-9二

問題2：多米諾骨牌是怎樣全部倒下的？

二、探究新知

問題1中，要證明等式在n為正整數(shù)時都成立，雖然可以臉

證"1,2,3,4...甚至10000000時等式(★)成立，但是

正整數(shù)有無限多個，我們無法對它們一一臉證，所以，通過

驗證是無法完成證明的。

下面我們先來看看多米諾骨牌的視頻(多媒體播放視頻材

料)，討論問題2。

如果不推倒起始的第一張骨牌，而從其后的第二張或某一張

開始推倒，那么其前面的骨牌會倒嗎？如果因為抽去中間的

某一張或某一張牌擺放不標準等原因，使得此處前一張骨牌

倒下后不能碰倒下一張，那么骨牌會全部倒下嗎？顯然，以

上的情況都不能使得全部骨牌倒下，可見讓所有的多米諾骨

牌全部倒下，應具備如下條件：

條件一：第一張骨牌倒下。

條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導致后一張

倒下。

其中條件一是前提、是基礎，條件二是持續(xù)遞推的保障，二

者缺一不可。

通過以上合作交流，師生共同探究得到解決問題的方法：第

一塊骨牌倒下相當于證明當n=1時，等式（★）成立；對于

任一塊骨牌倒下相鄰的后一塊也倒下，相當于當n=k時，等

式（★）成立，推出當n=k+1時等式（★）也成立。可以建

立一種像多米諾骨牌那樣的“由前至I后”的遞推關系，即由

n=1時等式（★）成立為起點，遞推出n=2時等式（★）成立;

再由『2時等式（★）成立，遞推出"3時等式（★）成立……

依次自動遞推下去，就可以說，對于任意正整數(shù)n,等式（★）

成立。

按照上述思路可具體證明等式（★）成立。

證明：（1）當n=1時，式（★）（1）左右兩邊都等于T,即這時

等式（★）成立。

⑵假設當n=k（k21）時等式（★）成立，即

-1+3-5+-+（-1）k（2k-1）=（-1）kk

當n=k+1時，左邊二-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1

[2(k+1)-11

=(-1)kk+(-1)k+1[2(k+1)-1]

=(-1)k+1[-k+2(k+1)-1]

=(-1)k+1(k+1)二右邊

所以當n=k+1時等式(★)成立。

由(1)(2)可知，T+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn(nEN+)

三、明確概念

(板書)“數(shù)學歸納法”

一般地，證明一個命題對于不小于某正整數(shù)nO的所有正整數(shù)

n都成立時，可按下列步驟進行：

(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值nO(nOGN+)時命題

成立。

(2)(歸納遞推)假設廿k(k￡N+,且k,nO)時命題成立,

證明當n=k+1時，命題也成立。

只要完成以上兩個步驟，就可以判定命題對從nO開始的所有

正整數(shù)n都成立。

上述方法叫做數(shù)學歸納法。

應用數(shù)學歸納法要注意以下幾點：

(1)第一步是基礎，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣,

是不可靠的。

(2)第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能

是不完全歸納法O

(3)nO不一定取1,也可取其它一些正整數(shù)，nO是使命題成

立的最小正整數(shù)。

(4)第二步的證明必須利用歸納假設，否則不能稱作數(shù)學歸

納法。

四、鞏固應用

用數(shù)學歸納法證明：

(1)12+22+...+n2=(n￡N+)

(2)當n為正整數(shù)時，1+3+5+-+(2n-1)=n2

五、回顧總結

1.本節(jié)課學到了什么？

2.這些知識是怎樣得出的？

3.你有什么體會與感悟？

(責任編輯史玉英)

第二篇：“數(shù)學歸納法”(第一課時)教學設計(修改稿)

“數(shù)學歸納法”(第一課時)教學設計(修改稿)

http://www./gzsx/gxrz/20XX10/t20XX1002_604444.htm

浙江省衢州高級中學何豪明

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

“數(shù)學歸納法”是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書

數(shù)學（選修2-2）》中的內(nèi)容，它可以完成通過有限個步驟的

推理，證明取所有正整數(shù)都成立的命題的證明.

在等差數(shù)列和等比數(shù)列知識的學習過程中，我們用不完全歸

納法推出了它們的通項公式，其中正確性的嚴格證明需要用

數(shù)學歸納法進行.因此，數(shù)學歸納法的學習是學習數(shù)列知識的

深化和拓展，也是歸納推理的具體應用.

應用數(shù)學歸納法（證明某些與正整數(shù)有關的命題時常常采用

的方法）證明命題的步

驟：

（1）（歸納奠基）證明當取第一個值（2）（歸納遞推）假設

當

命題也成立；

根據(jù)（1）和（2）,可知命題對于從

開始的所有正整數(shù)都成立.

是正整數(shù)的一

是全體正

時命題成立；

時命題成立，證明當

時數(shù)學歸納法的理論依據(jù)是皮亞諾公理，皮亞諾公理中第五

條：設個子集，且它具有下列性質：①整數(shù)的集合，即使

;②若

,則

.那么

）也叫做歸納公理.設是一個與正整數(shù)有關的命題，我們把

對于所有正整數(shù)都成立，只（數(shù)學歸納法中的第一步，則

（數(shù)學歸納法，從而證明了成立的所有正整數(shù)組成的集合記

為，如果要證明要證明即可.為此，根據(jù)歸納公理，首先證

明“歸納奠基”正是進行這樣的證明）；其次證明若中的第二

步“歸納遞推”正是進行這樣的證明）.這樣即可得到命題對

于一切正整數(shù)都成立.不難看出歸納公理是數(shù)學歸納法的理

論根據(jù)，數(shù)學歸納法的兩個證明步驟恰是驗證這條公理所說

的兩個性質.

數(shù)學歸納法的基本思想：即先驗證使結論有意義的最小的正

整數(shù)，如果當時，命題成立，再假設當出當

時命題成立，利用這個假設，如果能推

，時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有的正整數(shù)〃〃，，，

命題都成立.也就是說，當

時命題成立，可以推時命題成立，可以推出出時命題成立，

當

時命題成立，，，〃.

即命題真

命題

真

命題.

因此可知命題對于從

開始的所有正整數(shù)都成立.

真

命題

真數(shù)學歸納法的思維模式是：”觀察——歸納——猜想——

證明”.

數(shù)學歸納法教學的重點是借助具體實例了解數(shù)學歸納法的基

本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)（取

無限多個值）有關的數(shù)學命題.

二、目標和目標解析本節(jié)課的目標是:

1.借助具體實例歸納出數(shù)學歸納法的基本原理、步驟；2.了

解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的命題.

數(shù)學歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關的命題，在證明

過程中，要分“兩個步驟和一個結論”.其中第一步是歸納

奠基，只需驗證取第一個值

（這里

是使結論有意義的最小的正整數(shù)，它不一定是1,可以是2,

或取別的正整數(shù)）時命題成立；第二步是歸納遞推，就是要

證明命題的傳遞性.把第一步的結論和第二步的結論聯(lián)系起

來，才可以斷定命題對所有的正整數(shù)都成立.因此，用數(shù)學

歸納法證明命題時，完成了上述兩個步驟后，還應該有一個

總的結論.否則，還不能算是已經(jīng)證明完畢.所以，嚴格地

說，用數(shù)學歸納法證明命題的完整過程應該是“兩個步驟和

一個結論”.應用類比的方法，類比多米諾骨牌游戲和數(shù)學

歸納法，將一塊“骨牌”對應一個“命題”，某塊骨牌“倒

下”對應某個命題“成立”，從而培養(yǎng)學生的類比推理能力.

三、教學問題診斷分析

教學的難點：（1）學生不易理解數(shù)學歸納法的思想實質，具

體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設作出

證明；（2）運用數(shù)學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)

現(xiàn)具體問題的遞推關系.因此，用數(shù)學歸納法證明命題的關

鍵在第二步，而第二步的關鍵在于合理利用歸納假設.如果

不會運用“假設當命題成立”這一條件，直接將

時，

代入命題，便說命題成立，實質上是沒有證明.為突破以上

教學難點，課堂教學中兩條線索交替進行.一條是主線：”提

出問題——分析問題——解決問題”；另一條是暗線：“課

堂提問的規(guī)則——根據(jù)學號提問，并依次從小號到大號”.在

這個過程中，讓學生體會數(shù)學歸納法證明命題的第一步的第

一個值不一定是1,就如同第一個被提問到的學生不一定是1

號的學生一樣.若是2號，

則下一個被提問的學生一定是3號.

另外，設計命題：已知

時，命題成立，求證：

時命題成立.從而突破數(shù)學歸納法第二步中證明命題的難點.

四、教學支持條件分析

在進行本節(jié)課的教學時，學生已經(jīng)在必修5中學習了不完全

歸納法（推導等差、等比數(shù)列的通項公式）；在本章的合情推

理中已經(jīng)學習了歸納推理，在演繹推理中學習了“三段

論”.這些內(nèi)容的學習是學生理解推理思想和證明方法的重

要基礎.因此，教學時應該充分注意這一教學條件，通過類

比的方法，引導學生理解數(shù)學歸納法的本質.

利用千lash軟件，動態(tài)地演示多米諾骨牌游戲，從中體會并

理解“歸納奠基”和“歸納遞推”，知道只有把“歸納奠

基”與“歸納遞推”結合起來，才能完成數(shù)學歸納法的

證明過程，理解數(shù)學歸納法的證明步驟.

另外，在課堂練習時，選擇學生中有代表性的解法，利用實

物投影進行分析講解，

增強課堂教學效果.

五、教學過程設計1.從思考題中引入課題

思考題：已知數(shù)列的第1項此推測計算

,且

的公式，并給出證明.

,計算由分析：逐一臉證是不可能的.那么，我們應該思考

“怎樣通過有限個步驟的推理，證明取所有正整數(shù)都成立”

的問題.引出課題“這就是我們今天要研究的直接證明數(shù)學

問

題的一種方法——數(shù)學歸納法”.

【設計意圖】應用歸納推理，發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結論，這

是數(shù)學歸納法的先行組織者；該思考題出現(xiàn)在本章第一節(jié)的

合情推理中，是課標教材“螺旋式”上升的具體體現(xiàn)，其思

維模式就是“觀察——歸納——猜想——證明”.

2.體會多米諾骨牌游戲中蘊含的教學思想

游戲：在多米諾骨牌游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下

的條件是什么？【設計意圖】通過對多米諾骨牌游戲的分

析，讓學生經(jīng)歷從具體到抽象的歸納和

概括過程，從而理解數(shù)學歸納法的本質.思考游戲1：擺放好

多米諾骨牌，推倒第1塊骨牌，觀察發(fā)生的結果？思考游戲

2:擺放好多米諾骨牌，推倒第2塊骨牌，觀察發(fā)生的結果？

【設計意圖】在多米諾骨牌游戲過程中，體會所有骨牌都倒

下，第1塊骨牌必須

倒下，這是基礎，也是前提條件.思考游戲3:擺放好多米諾

骨牌，先抽走第塊骨牌，然后推倒第塊骨牌，觀察發(fā)

生的結果？

【設計意圖】在多米諾骨牌游戲過程中，第塊骨牌不能拿走,

因為第塊骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保證，這就是多

米諾骨牌游戲的連續(xù)性.問題1:為什么會有這些結果的發(fā)

生？如果我們想要確保所有的多米諾骨牌都倒下，

那

么必須滿足哪些條件？

問題2：從多米諾骨牌游戲中，抽象出解決與正整數(shù)有關的命

題的方法？

【設計意圖】在類比的過程中學習數(shù)學歸納法.分析1:根

據(jù)“第一塊骨牌倒下”抽象出數(shù)學歸納法的第一步，即（1）

（歸納奠基）證明當取第一個值

（

，例如

二1或

）時，命題成立.分析2:根據(jù)“任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊

倒下一定導致后一塊倒下”，抽象出數(shù)學歸納法的第二步，

即（2）（歸納遞推）假設

明當

時命題也成立.

時命題成立,證分析3：從完成“多米諾骨牌游戲”中，抽象

出數(shù)學歸納法證明命題的結論，即由（1）,（2）可知，命題

對于從

開始的所有正整數(shù)都成立.【設計意圖】抽象出“多米諾骨

牌游戲”的本質.

3.數(shù)學歸納法概念的形成

數(shù)學歸納法：對于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關

的數(shù)學命題，我們常采

用下面的方法來證明它們的正確性：

（1）（歸納奠基）證明當取第一個值

（

，例如

=1或

）時，命題

成立；

（2）（歸納遞推）假設

也成立；

根據(jù)（1）和（2）,可知命題對于從

立？

⑵為什么在證明命題時“兩個步驟和一個結論”缺一不

可？【設計意圖】進一步理解“通過有限個步驟的推理，

證明取所有正整數(shù)都成立“

的情形.分析：缺了第（1）步，就沒有了歸納奠基；缺了第

（2）步，就喪失了歸納遞推的過程；缺了結論，整個數(shù)學歸

納法的過程就不能順利完成,“兩個步驟和一個結論”缺一

不可.其思維過程是，當時命題成立，當

時命題成立，可以推出

時命題成立，可以推出

時命題

開始的所有正整數(shù)都成立.時命題成立，證明當

時命題問題3:(1)為什么完成了“兩個步驟和一個結論”就

說明命題對所有的正整數(shù)都成

成立，〃〃.4.數(shù)學歸納法的應用

例1:已知數(shù)列的第項，且，求證：.【設計意圖】因為從

“n=k到n=k+1”的一般性遞推，可以看成一個獨立的命題，

所以設計這一例題，有利于突破數(shù)學歸納法第二步中證明命

題的難點.

例2:已知數(shù)列的第1項

推測計算

,且

的公式，并給出證明.

,計算由此

【設計意圖】在應用的過程中理解數(shù)學歸納法.

5.課堂練習

練習1:已知數(shù)列

計算

,由此推測計算

的公式，并

給出證明.

解：

猜想：證明：（1）當（2）假設當么，

想也成立.

根據(jù)（1）和（2）,可知猜想對任何

都成立.

時，左邊二

,右邊二1,所以猜想成立.

,那

,所以，當

時猜

時猜想成立，即問題4：請看練習1的三個變式，請問它們的

分析過程合理嗎？請問它的三個變式

正確嗎？

變式1:等式

分析：假設當

對任意的正整數(shù)都成立嗎？時命題成立，即，那么，

,所以，當

命題也成立.

時所以等式。成立.

【設計意圖】用數(shù)學歸納法證明命題時，只有歸納遞推，沒

有歸納奠基是不行的.變式2:等式

分析：當所以等式

時，左邊二

對任意的正整數(shù)都成立嗎？，右邊二

(

)成立.

【設計意圖】用數(shù)學歸納法證明命題時，只有歸納奠基，沒

有歸納遞推也是不行的.

變式3:等式分析：（1）當（2）假設當那么，

時，等式也成立，

所以等式

對任何

都成立.

時，左邊二

對任意的正整數(shù)都成立嗎？，右邊二

,所以等式成立.

,所以當

時等式成立，即【設計意圖】用教學歸納法證明命題時，不

能沒有歸納遞推的過程（即證明命題時歸納假設一定要用

上），因為它是運用“有限”手段，解決“無限”問題的關鍵.

練習2:用數(shù)學歸納法證明

*

練習3:已知數(shù)列

計算

明.

,由此推測計算的公式，并給出證【設計意圖】進一步熟練

數(shù)學歸納法證明命題的步驟，加深對數(shù)學歸納法本質的理

解.6.課堂小結

(1)數(shù)學歸納法能夠解決哪一類問題？

一般被用于證明某些與正整數(shù)n(n取無限多個值)有關的數(shù)學

命題.

(2)數(shù)學歸納法證明命題的步驟是什么？

兩個步驟和一個結論，缺一不可.(3)數(shù)學歸納法證明命

題的關鍵在哪里？關鍵在第二步，即歸納假設要用上，解題

目標要明確(也就是人們常說的“雙湊”：

湊假設和湊結論).

(4)數(shù)學歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？

數(shù)學歸納法是一種完全歸納法，它是在可靠的基礎上，利用

命題自身具有的傳遞性，運用“有限”的手段，來解決“無

限”的問題.它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，

又克服了不完全歸納法結論不可靠的不足，使我們認識到事

情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮,其蘊含的數(shù)學

思想方法有歸納的思想，遞推的思想，特殊到一般的思想，

有限到無限的思想方法.等等.

【設計意圖】回顧和總結本節(jié)課的主要內(nèi)容，提高學生對本

節(jié)課知識的整體認識.

六、目標檢測設計(1)用數(shù)學歸納法證明：①②首項是，

公差是

的等差數(shù)列的通項公式是

9

,前項和的公

式的.

【設計意圖】通過數(shù)學歸納法的簡單應用，體會其思維模式:

“觀察----歸納一

一猜想——證明”.

(2)用數(shù)學歸納法證明命題：

其證明方法是否正確？并說明理由.證明：假設那么，當

時命題成立，就是時，

，這就是說，當根據(jù)數(shù)學歸納法，

時命題也成立.

成立.

的步驟如下，【設計意圖】數(shù)學歸納法證明命題時不能沒有

第一步，因為它是歸納奠基.

（3）用數(shù)學歸納法證明.【設計意圖】數(shù)學歸納法證明命

題時，兩個步驟和一個結論，缺一不可.同時，

歸納假設一定要用上.

（4）已知數(shù)列

計算

式，并給出證明.

,由此推測計算的公【設計意圖】體現(xiàn)數(shù)學歸納法的思維模

式：”觀察——歸納——猜想——證明”,這

就是數(shù)學歸納法的核心思想.

（5）用數(shù)學歸納法證明.【設計意圖】數(shù)學歸納法證明命

題時，第一步中的第一個值不一定是1.

第三篇：教學歸納法（第一課時）教學設計

6.3數(shù)學歸納法（第一課時）

一、教學目標：

（一）知識目標：

了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)

學命題.

（二）情感目標：

進一步培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W思維品質，讓學生初步認識有限與無

限的辯證關系，感悟數(shù)學的理性精神，欣賞數(shù)學的美與理.

（三）能力目標：

培養(yǎng)“大膽猜想，小心求證”的科學思維品質，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問

題與提出問題的教學意識，培養(yǎng)數(shù)學學習中的合作交流的能

力，使學生初步掌握由歸納到猜想再到證明的數(shù)學思想方法.

二、教學重點

掌握數(shù)學歸納法證明題目的步驟，掌握數(shù)學歸納法的一些應

用.

三、教學難點

應用數(shù)學歸納法第二個步驟中從k到k+1的變化情況分析.

四、教學過程

（一）引入課題

將課前準備好的多米諾骨牌擺好并進行演示，觀察其中出現(xiàn)

的“多米諾現(xiàn)象”：淮倒頭一塊骨牌，它會帶倒第二塊，再

帶倒第三塊，，，〃，直到所有骨牌全部倒下.

假設多米諾骨牌有無窮多塊，在擺多米諾骨牌時，怎樣才能

保證所有的骨牌一塊接一塊地倒下？

學生：首先必須推倒第一塊，接著是假如前面一塊倒下，要

保證它倒下時會撞倒下一塊.這兩個條件滿足了，全部的骨

牌都將倒下.

教師：生活中還有許多現(xiàn)象與“多米諾現(xiàn)象”類似，也都可

以提出同樣的問題并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮時

怎樣才能保證所有的鞭炮逐個地全部燃爆？在一列隊伍中傳

達口令，怎樣才能保證口令能從第一個士兵開始逐個傳遍整

個隊伍？

（二）傳授新知：

教師：現(xiàn)在我們把骨牌想象為一系列無窮多個編了號的命題：

P1,P2,P3,，假定我們能夠證明最初的一個命題P1正確（奠

基）；由每一個命題Pk的正確性都可以推出它的下一個命題

Pk1的正確性（過渡）,那么我們便證明了這一系列命題的

正確性.請將這個過程與多米諾現(xiàn)象進行類比.

在數(shù)學中這種證明問題的方法稱為數(shù)學歸納法.在數(shù)學中采

用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題時，有以下兩個步驟：

第一步，證明n1時命題成立；

第二步，證明：如果nk時命題成立，那么nk1時命題

也成立.

根據(jù)以上兩步可以斷定，命題對任何正整數(shù)n都成立.

1.用數(shù)學歸納法證明：如果｛an｝是一個等差數(shù)列，那么

ana1(n1)d對一N都成立.

【證明】(1)當n1時，左邊=a1,右邊=a10da1,

等式成立；(2)假設當nk時，等式成立，即

aka1(k1)d,那么

ak1akd[a1(k1)d]da1[(k1)1]d.這

表明，當nk1時，等式也成立.根據(jù)(1)、(2)可以斷

定，等式對任何正整數(shù)都成立.

n1時等式成立；n112教師：在例1解題過程中，根

據(jù)(1),再根據(jù)(2),

13時等式也成立.這時等式也成立.由于n2時等成

立.再根據(jù)(2),n2樣遞推下去，就知道n4,5,6,〃時

等式都成立，即等式對任何nN都成立.請歸納出以上的

證明步驟.

學生：用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的步驟是:

(1)證明當n取第一^個值nO(例如nO1或2等)時結論正

確；

(2)假設當nk(kN，且knO)時結論正確，證明當

nk1時結論也正確.

在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于從nO開始的

所有正整數(shù)n都正確.

正確使用數(shù)學歸納法證明一個數(shù)學問題，關鍵是在第二個步

驟，只有應用了假設條件去推理，證明過程才是有效的，沒

有應用假設條件的證明過程并不是在使用數(shù)學歸納法.

教師：數(shù)學歸納法的思想可以遠推至歐幾里得〔前330-前

275〕.嚴格的數(shù)學歸納法是在16世紀后期才引入的.1575

年意大利數(shù)學家、物理學家莫洛克斯〔14947575〕在他的

《算術》一書中明確提出了這一方法，并且用它證明了

“135(2n1)n2”等；法國著名數(shù)學家帕斯卡

[1623-1662)承認莫洛克斯引用了這方法，并在他的著作

《三角陣算術》中運用了這一方法.因此，一般認為帕斯卡

是數(shù)學歸納法的主要發(fā)明人.由于帕斯卡還沒有表示任意自

然數(shù)的符號，因此組合公式及證明只能用敘述的方法，1686

年J?伯努利首先采用了表示任意自然數(shù)的符號，在他的名著

《猜度術》〔1713〕中包含運用數(shù)學歸納法證題的出色例

子.“數(shù)學歸納法”這個名稱及數(shù)學歸納法的證題形式是德

?摩根C1806-1871〕所提出的.皮亞諾(1858-1932]的自

然數(shù)公理中包含了歸納原理.

(三)講解例題：

1.用數(shù)學歸納法證明：123n12n(n1).

【證明】(1)當n1時，左邊=1,右邊=1,等式成立；(2)

假設當nk時，等式成立，即123k那么

123k(k1)12(k1)(k2)112k(k1)

(k1)

12k(k1),

2這表明，當nk1時，等式也成立.

(k1)[(k1)1].

根據(jù)(1)、(2)可以斷定，等式對任何正整數(shù)都成立.2.求

證對于任何非負整數(shù)n,都有2nn1.【證明】(1)當

n0時，20XX01,不等式成立.(2)設當nk時，

2kk1.如]nk1時，

2k122k2(k1)(k1)1.

n綜上所述，對于任何非負整數(shù)n,都有2n1.

3.證明，其中n￡N*.

【評析】用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題，關鍵

是第二步，要注意當產(chǎn)k+1時，等式兩邊的式子與n二k時等

式兩邊的式子的聯(lián)系，或增加了哪些項，或減少了哪些項，

問題就容易解決.

【證明】(1)當"1E寸，左邊二1+1=2,右邊2112,等

式成立.

(2)假設當n=k時,等式成立，即當n=k+1時，

.貝”

即當n=k+1時，等式也成立.

由(1)、(2)可知，對一切n￡N*,等式成立.

教師：數(shù)學歸納法只能在有了問題結論時才能使用，獲取問

題的結論需借助合情推理，所以，“觀察一分析一歸納一猜

想一證明”才是從發(fā)現(xiàn)問題至解決問題的完整過程.如果問

題與自然數(shù)有關，一般可運用數(shù)學歸納法去證明.

教師：根據(jù)數(shù)學歸納法的定義，利用數(shù)學歸納法證題時，上

述兩步驟缺一不可.如果只有第一步?jīng)]有第二步的證明，則

它是屬于不完全歸納法，作出的結論就不一定真實可靠，而

有了第二步的證明，在數(shù)學歸納原理的保證下，才使得結論

是完全可靠的.但要注意，僅有第二步而無第一步的證明，

結論也是不一定真實的.同時要注意，數(shù)學歸納法有別于上

面提到的完全歸納法和不完全歸納法，它是根據(jù)歸納原理綜

合運用歸納、演繹推理的一種特殊的數(shù)學證明方法.

利用教學歸納法來證明某些與自然數(shù)n有關的教學命題，核

心問題是用“nk時命題成立”的假設條件證明“nk1

時命題成立”，證明時要通過比較找出二者之間的差異，才

能實現(xiàn)中間的過渡.教學歸納法證較多地使用在關于恒等式、

不等式、數(shù)列、幾何以及整除類等問題中.

第四篇：《數(shù)學歸納法》教學設計

“數(shù)學歸納法”教學設計山西省平遙中學李英【教學內(nèi)容

剖析】

《數(shù)學歸納法》是人教版選修教材2—2第二章第三節(jié)內(nèi)容，

本節(jié)課是第一課時。前面學生已經(jīng)通過數(shù)列一章內(nèi)容和其它

相關內(nèi)容的學習，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般

結論的推理方法，即不完全歸納法。但由于有限多個特殊事

例得出的結論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證

方法。因此，在不完全歸納法的基礎上，必須進一步學習嚴

謹?shù)目茖W的論證方法——數(shù)學歸納法。

數(shù)學歸納法亮點就在于，通過有限個步驟的推理，證明n取

無限多個正整數(shù)的情杉，這也是無限與有限辨證統(tǒng)一的體現(xiàn)。

并且，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生嚴謹?shù)耐评砟芰?、訓練學生的抽

象思維能力、體驗數(shù)學內(nèi)在美的很好的素材?！窘虒W目標確

定】

1＞知識和技能

(1)了解數(shù)學歸納法的原理；

(2)掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟和一個結論的模式；(3)

會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。

2、過程與方法

通過多米諾骨牌實驗引出數(shù)學歸納法的原理，使學生體臉由

實踐向理論過度的過程。在學習中培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)問題、

提出問題的意識，解決問題和數(shù)學交流的能力，學會用總結、

歸納、演繹類比探求新知識。3.情感態(tài)度價值觀

通過對問題的探究活動，親歷知識的構建過程，領悟其中所

蘊涵的數(shù)學思想；體臉探索中挫折的艱辛和成功的快樂，感

悟“數(shù)學美,，，激發(fā)學習熱情，培養(yǎng)多思勤練的好習慣和勇

于探索的治學精神。進一步形成正確的數(shù)學觀，創(chuàng)新意識和

科學精神?！窘虒W重點和難點】

根據(jù)教學大綱的要求、本節(jié)課內(nèi)容特點和學生現(xiàn)有知識水平,

本節(jié)課知識的重點和難點制定如下：教學重點：

(1)使學生理解數(shù)學歸納法的實質。

(2)掌握數(shù)學歸納法證題步驟，尤其是遞推步驟中歸納假設

和恒等變換的運用教學的難點：

(1)學生不易理解數(shù)學歸納法的思想實質，具體表現(xiàn)在不了

解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設作出證明；

(2)運用數(shù)學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體

問題的遞推關系.

因此，用數(shù)學歸納法證明命題的關鍵在第二步，而第二步的

關鍵在于合理利用歸納假設.如果不會運用“假設當時，命

題成立”這一條件，那實際上就是不會運用數(shù)學歸納法。為

突破以上教學難點，通過問題的轉化，進而把無限的驗證轉

化為對兩個命題：“(1)當時，命題成立；(2)假設時，命

題成立，求證：當時命題成立”的證明，而且在第二個命題

的分析中強調條件的存在與用途，從而突破數(shù)學歸納法第二

步中證明命題的難點.【教學條件支持】

利用視頻動態(tài)地演示多米諾骨牌游戲，從中體會并理解“歸

納奠基”和“歸納遞承”，知道只有把“歸納奠基”與“歸

納遞推”結合起來，才能完成教學歸納法的證明過程，理解

數(shù)學歸納法的證明步驟.

另外，在課堂練習時，選擇學生中有代表性的解法，利用實

物投影進行分析講解，增強課堂教學效果.

【教學過程設計】

一、問題導入

1、思考題：已知數(shù)列滿足，且，我們已經(jīng)計算出，并由此猜

想通項公式為，那么如何證明我們的猜想是正確的呢？

分析：逐一驗證是不可能的.那么，我們應該思考“怎樣通

過有限個步驟的推理，證明取所有正整數(shù)都成立”的問題.引

出課題“這就是我們今天要研究的一種特殊的直接證明方法

——數(shù)學歸納法”.

【設計意圖】應用歸納推理，發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結論，這

是數(shù)學歸納法的先行組織者；該思考題的類型出現(xiàn)在本章第

一節(jié)的合情推理中，是課標教材“螺旋式”上升的具體體現(xiàn),

其思維模式就是“觀察——歸納——猜想——證明”?2.體

會多米諾骨牌游戲中蘊含的數(shù)學思想

游戲：在多米諾骨牌游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下

的條件是什么？

【設計意圖】通過對多米諾骨牌游戲的分析，讓學生經(jīng)歷從

具體到抽象的歸納和概括過程，從而理解數(shù)學歸納法的本質.

思考游戲1:多米諾骨牌游戲的最大特點是什么？（牽一發(fā)而

動全身）思考游戲2：擺放好多米諾骨牌，推倒第2塊骨牌,

觀察發(fā)生的結果？

【設計意圖】在多米諾骨牌游戲過程中，體會所有骨牌都倒

下，第1塊骨牌必須倒下，這是基礎，也是前提條件.思考

游戲3:擺放好多米諾骨牌，存在一塊骨牌倒下后沒有砸倒下

一塊骨牌，觀察發(fā)生的結果？

【設計意圖】在多米諾骨牌游戲過程中，第塊骨牌倒下，是

后一塊骨牌倒下的保證，這就是多米諾骨牌游戲的連續(xù)性和

傳遞性.

問題1:要確保所有的多米諾骨牌都倒下，那么必須滿足哪些

條件？

問題2：從多米諾骨牌游戲中，抽象出解決與正整數(shù)有關的命

題的方法？【設計意圖】在類比的過程中學習數(shù)學歸納法.

分析1:根據(jù)“第一塊骨牌倒下”抽象出數(shù)學歸納法的第一

步，即（1）證明當取第一個值時，命題成立.（歸納奠基）

分析2:根據(jù)“假設某一塊骨牌倒下，那么必定導致后一塊骨

牌倒下?！保橄蟪鰯?shù)學歸納法的第二步，即（2）假設時命

題成立，證明當時命題也成立.（歸納遞推）

分析3:從完成“多米諾骨牌游戲”中，抽象出數(shù)學歸納法證

明命題的結論，即由（1）,（2）可知，命題對于從開始的所

有正整數(shù)都成立.板書，證明過程

3.數(shù)學歸納法概念的彬成

數(shù)學歸納