指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第四章4.4.3不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異4.4對(duì)數(shù)函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義.通過對(duì)三種不同函數(shù)增長(zhǎng)差異的學(xué)習(xí)，提升“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng).欄目索引課前自主預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)探究隨堂本課小結(jié)課前自主預(yù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)三種不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異y＝ax(a>1)y＝kx(k>0)y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x增大逐漸與______________增長(zhǎng)速度固定隨x增大逐漸與______________增長(zhǎng)速度①y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長(zhǎng)速度______________，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝kx(k>0)的增長(zhǎng)速度，y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)速度______________；②存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有_______________y軸平行x軸平行越來越快越來越慢ax>xn>logax

[微體驗(yàn)]1．春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長(zhǎng)出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長(zhǎng)滿池塘水面，當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉已生長(zhǎng)了(

)A．10天

B．15天C．19天

D．2天答案C

解析荷葉覆蓋水面面積y與生長(zhǎng)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系為y＝2x，當(dāng)x＝20時(shí)，長(zhǎng)滿水面，所以生長(zhǎng)19天時(shí)，布滿水面面積的一半．答案C

解析表中數(shù)據(jù)體現(xiàn)爆炸式增長(zhǎng)，符合的函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)模型．3．某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，則投資500元，1000元，1500元時(shí)，應(yīng)分別選擇________方案.解析將投資數(shù)分別代入甲、乙、丙的函數(shù)關(guān)系式中比較y值的大小即可求出．答案乙、甲、丙課堂互動(dòng)探究探究一幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異(2)如圖是四個(gè)不同形狀，但高度均為H的玻璃瓶.已知向其中一個(gè)水瓶注水時(shí)，注水量與水深的函數(shù)關(guān)系如圖所示，試確定水瓶的形狀是圖中的(

)答案B

解析看圖顯然圖象從左向右，圖象上升先快后慢，也就是說，向瓶中注入相同的水量(如單位體積)時(shí)，水的高度改變得越來越大.所以，如果向瓶中勻速注水，則水的高度上升速度先慢后快，注入相同的水，高度上升得快，說明瓶的這部分較細(xì)，同樣如果水的高度上升得慢，說明瓶的這部分較粗，從圖象上看，水的高度上升得越來越快，所以瓶子是下面較粗，越向上越細(xì)，所以水瓶的形狀應(yīng)是圖B．[方法總結(jié)]常見的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型線性函數(shù)模型y＝kx(k>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長(zhǎng)速度急劇，被形象地稱為“指數(shù)爆炸”．(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長(zhǎng)速度平緩．解析以爆炸式增長(zhǎng)的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y2的增長(zhǎng)速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化．故填y2.答案y2

高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時(shí)水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是(

)探究二函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異在函數(shù)圖象上的體現(xiàn)答案B

解析由圖得水深h越大，水的體積v就越大，故v＝f(h)是增函數(shù)，且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變?。甗方法總結(jié)]由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增長(zhǎng)，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．[跟蹤訓(xùn)練2]

函數(shù)f(x)＝lg

x，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較).解(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lg

x.(2)當(dāng)x<x1時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x)．1．三類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型(1)增長(zhǎng)速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．(2)增長(zhǎng)速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長(zhǎng)的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型．(3)增長(zhǎng)速度較慢的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)型函數(shù)模型．隨堂