第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省常州市新北區(qū)河海實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程中，屬于一元二次方程的是(

)A.x2?2x?3=0 B.x2?xy=2 C.2.下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是(

)A.x2?x+1=0 B.x(x?1)=0 C.x23.若關(guān)于x的一元二次方程mx2?2x+6=0的一個(gè)根是?1，則m的值是A.?3 B.?2 C.?1 D.?84.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn).下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是(

)A.DE//BC

B.△ADE∽△ABC

C.BC=2DE

D.S5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE//BC，EF//AB，且AD:DB=3:5，那么CF:CB等于(

)

A.5:8 B.3:8 C.3:5 D.2:56.如圖，正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊CD上，AF與DC交于點(diǎn)H，若AB=6，CE=2，則DH的長(zhǎng)為(

)A.2

B.3

C.52

D.7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽(公元3～4世紀(jì))在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過(guò)一元二次方程(正根)的幾何解法．以方程x2+2x?35=0即x(x+2)=35為例說(shuō)明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是(x+x+2)2.同時(shí)它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×35+22，因此x=5.A. B. C. D.8.有關(guān)于x的兩個(gè)方程：ax2+bx+c=0與ax2?bx+c=0A.兩個(gè)方程可能一個(gè)有實(shí)數(shù)根，另一個(gè)沒(méi)有實(shí)數(shù)根

B.若兩個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則必有一根互為相反數(shù)

C.若兩個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則必有一根相等

D.若兩個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則必有一根互為倒數(shù)二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。9.一元二次方程x2?3x=0的實(shí)數(shù)根為x1=______，x10.用配方法解一元二次方程x2+4x?3=0，配方后的方程為(x+2)2=n11.已知x3=y4=z5(x,y,z12.設(shè)關(guān)于x的方程x2?6x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為_(kāi)_____．13.若a是方程x2?x?1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式?a3+2a+2014的值14.某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤(rùn)12元，為擴(kuò)大銷量，增加利潤(rùn)，超市準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，據(jù)測(cè)算，每箱每降價(jià)1元平均每天可多售出20箱，若要使每天銷售飲料獲利1440元，則每箱應(yīng)降價(jià)______元.15.如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形是______.(填序號(hào))

16.如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，AE：ED=1：3，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，AF：FC為_(kāi)_____．

17.如圖，在?ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E為AD上一點(diǎn)，且BE=BC，CE=CD，則DE=______cm．

18.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點(diǎn)，連接BE.若BE=BC，CD=2，則BD=______．

三、解答題：本題共7小題，共64分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。19.(本小題8分)

解方程：

(1)x(3x?2)=3(3x?2)；

(2)x220.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(m+2)x+m?1=0．

(1)求證：無(wú)論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x21.(本小題8分)

新定義：如果一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是另外一個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積的一半，則這個(gè)矩形是另一個(gè)矩形的“減半”矩形．

(1)驗(yàn)證：矩形EFGH是矩形ABCD的“減半”矩形，其中矩形ABCD的長(zhǎng)為12、寬為2，矩形EFGH的長(zhǎng)為4、寬為3．

(2)探索：一矩形的長(zhǎng)為2、寬為1時(shí)，它是否存在“減半”矩形？請(qǐng)作出判斷，并說(shuō)明理由．22.(本小題8分)

如圖，已知點(diǎn)B、C在線段AD上，且AB=9，CD=4，△PBC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形．求證：△ABP∽△PCD．

23.(本小題10分)

如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC.E是邊AB上一點(diǎn)，CE與對(duì)角線BD交于點(diǎn)F，且BE2=EF?EC.求證：

(1)△ABD∽△FCB；24.(本小題10分)

如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊向B以每秒3cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊向D以每秒1cm的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)求證：當(dāng)t=32時(shí)，四邊形APQD是平行四邊形；

(2)PQ是否可能平分對(duì)角線BD？若能，求出當(dāng)t為何值時(shí)PQ平分BD；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若△DPQ是以PD為腰的等腰三角形，求t的值．25.(本小題12分)

【探究】如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，連結(jié)AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)G，交邊BC于點(diǎn)F.若AB=6，BC=8，求DFAE的值．

【應(yīng)用】(1)如圖②，在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AF于點(diǎn)E，交邊AC于點(diǎn)D.若ABAC=34，AFBD的值為_(kāi)_____．

(2)如圖③，在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，交邊BC于點(diǎn)F.若ABAC=參考答案1.A

2.A

3.D

4.D

5.A

6.B

7.D

8.B

9.0

3

10.7

11.11712.?16

13.2013

14.3或4

15.①③

16.1：6

17.3.6

18.1+19.解：(1)∵x(3x?2)=3(3x?2)，

∴x(3x?2)?3(3x?2)=0，

則(3x?2)(x?3)=0，

∴3x?2=0或x?3=0，

解得x1=23，x2=3；

(2)∵x2+12x=4，

∴x20.解：(1)x2?(m+2)x+m?1=0，

這里a=1，b=?(m+2)，c=m?1，

Δ=b2?4ac

=[?(m+2)]2?4×1×(m?1)

=m2+4m+4?4m+4

=m2+8．

∵m2≥0，

∴△>0．

∴無(wú)論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)方程x2?(m+2)x+m?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，

則x1+x2=m+2，x1x221.(1)證明：∵矩形EFGH的周長(zhǎng)為：2×(4+3)=14，

矩形ABCD的周長(zhǎng)為：2×(12+2)=28，

∴矩形EFGH的周長(zhǎng)=12矩形ABCD的周長(zhǎng)；

∵矩形EFGH的面積為：4×3=12，

矩形ABCD的面積為：2×12=24，

∴矩形EFGH的面積=12矩形ABCD的面積；

∴矩形EFGH是矩形ABCD的“減半”矩形．

(2)解：該矩形不存在“減半”矩形，理由如下：

若矩形存在“減半”矩形，設(shè)該“減半”矩形長(zhǎng)和寬分別為m，n(m>n)，

∵原矩形的長(zhǎng)和寬分別為2，1，

∴2(m+n)=12×2×(2+1)①，mn=12×1×2②，

由①得：m=32?n，

將m=32?n代入②得：(22.證明：在等邊三角形PBC中，∠PCA=∠PBD=60°，

∴在△ABP和△PCD中，∠PCD=∠ABP=120°，

∵AB=9，PC=PB=6，CD=4，

∴ABPC=96=32，BP23.證明：(1)∵BE2=EF?EC，

∴BEEF=ECBE，

∵∠BEF=∠CEB，

∴△BEF∽△CEB，

∴∠EBF=∠ECB，

∵AD/?/BC，

∴∠ADB=∠FBC，

∴△ABD∽△FCB；

(2)由(1)知△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB

∴24.(1)證明：∵123<61，

∴當(dāng)t=4秒時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AP=3t，CQ=t，

∴BP=12?3t，DQ=6?t，

當(dāng)t=32時(shí)，DQ=6?32=92，AP=3×32=92，

∴AP=DQ

又∵四邊形ABCD為等腰梯形，

∴AP//DQ，

∴四邊形APQD為平行四邊形；

(2)解：PQ能平分對(duì)角線BD，當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ平分對(duì)角線BD．

理由如下：

連接BD交PQ于點(diǎn)E，如圖1所示：

若PQ平分對(duì)角線BD，則DE=BE，

∵CD/?/AB，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

在△DEQ和△BEP中，

∠3=∠4∠1=∠2DE=BE，

∴△DEQ≌△BEP(AAS)，

∴DQ=BP，

即四邊形DPBQ為平行四邊形，

∴6?t=12?3t，

解得t=3，符合題意，

∴當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ平分對(duì)角線BD．

(3)解：分兩種