PAGE課時作業(yè)梯級練四十七利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系一、選擇題(每小題5分,共20分)1.若直線l的一個方向向量為a=(2,5,7),平面α的一個法向量為u=(1,1,-1),則 ()A.l∥α或l?α B.l⊥αC.l?α D.l與α斜交【解析】選A.由條件知a·u=2×1+5×1+7×(-1)=0,所以a⊥u,故l∥α或l?α.2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若α⊥β,則k等于 ()A.2 B.-4 C.-5 【解析】選C.因為α⊥β,所以1×(-2)+2×(-4)+(-2)×k=0,所以k=-5.3.在空間直角坐標系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),則直線AB與CD的位置關(guān)系是 ()A.垂直 B.平行C.異面 D.相交但不垂直【解析】選B.由題意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1),所以=-3,所以與共線,又因為AB與CD沒有公共點,所以AB∥CD.4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=QUOTEA1D,AF=QUOTEAC,則 ()A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面【解析】選B.以D點為坐標原點,以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設(shè)正方體棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),EQUOTE,0,QUOTE,FQUOTE,QUOTE,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=QUOTE,QUOTE,-QUOTE,=(-1,-1,1),=-QUOTE,·=·=0,從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.二、填空題(每小題5分,共15分)5.在空間直角坐標系中,點P(1,QUOTE,QUOTE),過點P作平面yOz的垂線PQ,則垂足Q的坐標為.

【解析】由題意知,點Q即為點P在平面yOz內(nèi)的射影,所以垂足Q的坐標為(0,QUOTE,QUOTE).答案:(0,QUOTE,QUOTE)6.已知平面α內(nèi)的三點A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個法向量n=(-1,-1,-1),則不重合的兩個平面α與β的位置關(guān)系是.

【解析】設(shè)平面α的一個法向量為m=(x,y,z),由m·=0,得x·0+y-z=0?y=z,由m·=0,得x-z=0?x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β.答案:α∥β7.已知V為矩形ABCD所在平面外一點,且VA=VB=VC=VD,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE.則VA與平面PMN的位置關(guān)系是.

【解析】如圖,設(shè)=a,=b,=c,則=a+c-b,由題意知=QUOTEb-QUOTEc,=QUOTE-QUOTE=QUOTEa-QUOTEb+QUOTEc.因此=QUOTE+QUOTE,所以,,共面.又因為VA?平面PMN,所以VA∥平面PMN.答案:平行三、解答題(每小題10分,共20分)8.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的中點(1)證明AC⊥BC1;(2)證明AC1∥平面CDB1.【證明】因為直三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長分別為AC=3,BC=4,AB=5,所以△ABC為直角三角形,AC⊥BC.所以AC,BC,C1如圖,以C為坐標原點,直線CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),DQUOTE,2,0.(1)因為=(-3,0,0),=(0,-4,4),所以·=0,所以AC⊥BC1.(2)設(shè)CB1與C1B的交點為E,連接DE,則E(0,2,2),=-QUOTE,0,2,=(-3,0,4),所以=QUOTE,DE∥AC1.因為DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.9.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD中點(1)求證:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.【解析】如圖所示,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.設(shè)AB=a,則A(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),D1(0,1,1),EQUOTE,1,0,B1(a,0,1),所以=(0,1,1),=-QUOTE,1,-1,=(a,0,1),=QUOTE,1,0.(1)因為·=-QUOTE×0+1×1+(-1)×1=0,所以⊥,所以B1E⊥AD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,t)(0≤t≤1),使得DP∥平面B1AE,此時=(0,-1,t).設(shè)平面B1AE的法向量為n=(x,y,z).由,得QUOTE.取x=1,可得平面B1AE的一個法向量為n=(1,-QUOTE,-a).要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,即n·=0,即QUOTE-at=0,解得t=QUOTE.又DP?平面B1AE,所以存在點P,使得DP∥平面B1AE,此時AP=QUOTE.1.(5分)如圖,F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點.E是BB1上一點,若D1F⊥DE,A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=QUOTEEB D.E與B重合【解析】選A.分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設(shè)正方體的棱長為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),設(shè)E(2,2,z),則QUOTE=(0,1,-2),QUOTE=(2,2,z),因為QUOTE·QUOTE=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB.2.(5分)A,B,C,D是空間不共面的四點,且滿意·=0,·=0,·=0,M為BC中點,則△AMD是 ()A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.不確定【解析】選C.因為M為BC中點,所以=QUOTE(+).所以·=QUOTE(+)·=QUOTE·+QUOTE·=0.所以AM⊥AD,△AMD為直角三角形.3.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=QUOTE,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是.

【解析】因為正方體棱長為a,A1M=AN=QUOTE,所以=QUOTE,=QUOTE,所以=++=QUOTE++QUOTE=QUOTE(+)++QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE.又因為是平面B1BCC1的法向量,所以·=QUOTE+QUOTE·=0,所以⊥.又因為MN?平面B1BCC1,所以MN∥平面B1BCC1.答案:平行4.(10分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.求證:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.【證明】以C為坐標原點,CB,CD,CP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.因為PC⊥平面ABCD,所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,所以∠PBC=30°.因為PC=2,所以BC=2QUOTE,PB=4,所以D(0,1,0),B(2QUOTE,0,0),A(2QUOTE,4,0),P(0,0,2),MQUOTE,0,QUOTE,所以=(0,-1,2),=(2QUOTE,3,0),=QUOTE,0,QUOTE.(1)設(shè)n=(x,y,z)為平面PAD的一個法向量,由得QUOTE令y=2,得n=(-QUOTE,2,1).因為n·=-QUOTE×QUOTE+2×0+1×QUOTE=0,所以n⊥.又因為CM?平面PAD,所以CM∥平面PAD.(2)如圖,取AP的中點E,連接BE,則E(QUOTE,2,1),=(-QUOTE,2,1).因為PB=AB,所以BE⊥PA.又因為·=(-QUOTE,2,1)·(2QUOTE,3,0)=0,所以⊥,所以BE⊥DA.又因為PA∩DA=A,所以BE⊥平面PAD.又因為BE?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.5.(10分)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點.(1)求證:EF⊥CD;(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點G,使GF⊥平面PCB?若存在,求出點G的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】(1)如圖,以DA,DC,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.設(shè)AD=a,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,QUOTE,0,P(0,0,a),FQUOTE,QUOTE,QUOTE,=-QUOTE,0,QUOTE,=(0,a,0).因為·=0,所以⊥,即EF⊥CD.(2)存在點G為AD的中點滿意題意.假設(shè)存在滿意條件的點G,設(shè)G(x,0,z)則=x-QUOTE,-QUOTE,z-QUOTE,若使GF⊥平面PCB則由·=x-QUOTE,-QUOTE,z-QUOTE·(a,0,0)=ax-QUOTE=0,得x=QUOTE;由·=x-QUOTE,-QUOTE,z-QUOTE·(0,-a,a)=QUOTE+az-QUOTE=0得z=0.所以點G的坐標為QUOTE,0,0,即存在滿意條件的點G,且點G為AD的中點.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥(1)求證:AA1⊥平面ABC;(2)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求QUOTE的值.【證明】(1)因為AA1C所以AA1⊥AC.因為平面ABC⊥平面AA1C1C,AA1?平面AA1C1C(2)由(1)知AA1⊥AB,AA1⊥AC.由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以