第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市浦東新區(qū)川沙中學高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、單選題：本題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列命題中，正確的是(

)A.平行于同一直線的兩個平面平行 B.平行于同一平面的兩條直線平行

C.垂直于同一平面的兩個平面平行 D.垂直于同一直線的兩個平面平行2.若1+2i是關于x的實系數(shù)方程x2A.b=2，c=3 B.b=?2，c=3

C.b=?2，c=?1 D.b=2，c=?13.如圖，四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，BC=BD=2，點E是CD的中點，若直線AB與平面ACD所成角的正切值為24，則點B到平面ACD的距離為(

)A.23

B.23

C.24.如圖，設P為正四面體A?BCD表面(含棱)上與頂點不重合的一點，由點P到四個頂點的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個元素，那么符合條件的點P有(

)

A.4個 B.6個 C.10個 D.14個二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。5.復數(shù)z滿足z(1+i)=2i，則Imz=______．6.等比數(shù)列{an}(n∈N?)中，若a2=116，7.已知a，b是空間的兩條直線，那么“a⊥b”是a，b相交的______條件．8.以下各項屬于公理的是______．

①如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．

②過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．

③空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．

④平行于同一條直線的兩條直線平行．

⑤如果不在平面上的一條直線與這個平面上的一條直線平行，那么該直線與這個平面平行．9.設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4和a2023是方程4x2?8x+3=0的兩根，則數(shù)列{a10.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，若A1C1=2，△ABC的面積為211.已知a=(1,3)，a?b=212.空間四邊形ABCD，AB=CD=8，M、N、P分別為BD、AC、BC的中點，若異面直線AB和CD成60°的角，則MN=______．13.已知數(shù)列{an}滿足a1=?1414.在△ABC中，b2+c2=a215.用一個平面將圓柱切割成如圖的兩部分，將下半部分幾何體的側面展開，平面與圓柱側面所形成的交線在側面展開圖中對應的函數(shù)表達式為y=1.5+2cosx.16.已知異面直線a，b所成角為60°，直線AB與a，b均垂直，且垂足分別是點A，B.若動點P∈a，Q∈b，|PA|+|QB|=2，則線段PQ中點M的軌跡圍成的區(qū)域的面積是______．三、解答題：本題共5小題，共52分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

已知|a|=1，|b|=2，?a,b?=π4．

(1)18.(本小題8分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是B1C1和C1D1的中點．

(1)證明：E，F(xiàn)，D，19.(本小題10分)

亭子是一種中國傳統(tǒng)建筑，多建于園林，人們在欣賞美景的同時也能在亭子里休息、避雨、乘涼(如圖1).假設我們把亭子看成由一個圓錐P?O1與一個圓柱OO1構成的幾何體Ω(如圖2).一般地，設圓錐P?O1中母線與底面所成角的大小為α，當20°<α<35°時，方能滿足建筑要求.已知圓錐高為1.5米，底面半徑為2.5米，圓柱高為3米，底面半徑為2米．

(1)求幾何體Ω的體積；

(2)如圖2，設E為圓柱底面半圓弧CD的三等分點，求圓柱母線20.(本小題12分)

如圖，四邊形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC=1.點F為線段BE的中點．

(

I

)求證：CE⊥平面ABE；

(Ⅱ)求證：DE//平面A

CF；

(Ⅲ)求AC和平面ABE所成角的正弦值．21.(本小題14分)

已知點P是邊長為2的菱形ABCD所在平面外一點，且點P在底面ABCD上的射影是AC與BD的交點O，已知∠BAD=60°，△PDB是等邊三角形．

(1)求證：AC⊥PD；

(2)求二面角P?BC?A；

(3)若點E是線段AD上的動點，問：點E在何處時，直線PE與平面PBC所成的角最大？求出最大角，并說明點E此時所在的位置．

參考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.1

6.4

7.既不充分也不必要條件

8.①②④

9.2026

10.211.(112.4或413.?114.215.616.317.解：(1)|a|=1，|b|=2，?a,b?=π4，

則a?b=|a||18.證明：(1)如圖，連接EF，BD，B1D1，

∵EF是△B1C1D1的中位線，∴EF/?/B1D1，

∵BB1與DD1平行且相等，∴四邊形BDD1B1是平行四邊形，

∴BD/?/B1D1，∴EF/?/BD，

∴E，F(xiàn)，D，B四點共面；

(2)∵EF//BD，且EF≠BD，∴直線BE和DF相交，

延長BE，DF，設它們相交于點P，

∵P∈直線BE，直線BE?平面BB1C1C，∴P∈平面BB119.解：(1)圓柱的體積V1=πr2?=π×22×3=12π，

圓錐的體積為V2=13?πR2?1=13×2．52×1.5=3.125π，

∴幾何體Ω的體積V=V1+V2=15.125π；

(2)連接PO1，BO1，

根據(jù)題意可得PO1//FE，

∴∠BP20.(Ⅰ)證明：如圖，

由AB⊥平面BCE，可得AB⊥CE，

又由BE⊥EC，而AB∩BE=B，AB?平面ABE，BE?平面ABE，

故CE⊥平面ABE；

(Ⅱ)證明：連結BD交AC于M，連結FM，由點F為線段BE的中點，

可得FM//DE，而FM?平面ACF，DE?平面ACF，故DE/?/平面ACF；

(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知，CE⊥平面ABE，∠CAE即為AC和平面ABE所成的角．

由已知，AC=5，CE=1，

在直角三角形ACE中，可得sin∠CAE=CEAC=55．

21.(1)證明：因為點P在底面ABCD上的射影是AC與BD的交點O，

所以PO⊥平面ABCD，

又AC?平面ABCD，所以PO⊥AC，

因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，

因為PO∩BD=O，PO，BD?平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，

又PD?平面PBD，所以AC⊥PD．

(2)解：過P作PH⊥BC于H，連接OH，

因為OP⊥平面ABCD，所以OH⊥BC，

所以∠PHO為二面角P?BC?A的平面角，

由題意知，△PBD是邊長為2的等邊三角形，

所以PO=3，

由S△OBC=12OC?OB=12OH?BC，知OH=OC?OBBC=3×12=32，

在Rt△POH中，tan∠PHO=POOH=2，即∠PHO=arctan2，

所以二面角P?BC?A的大小為arctan2．

(3)解：因為A