PAGE對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像(15分鐘30分)1.函數(shù)f(x)=QUOTE+QUOTE的定義域是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.[0,1)【解析】選D.由題意可得QUOTE即QUOTE解得0≤x<1,因此,函數(shù)y=f(x)的定義域為QUOTE.【補償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=log3(x2-x-2)的定義域為 ()A.{x|x>2或x<-1}B.{x|-1<x<2}C.{x|-2<x<1}D.{x|x>1或x<-2}【解析】選A.由題意得:x2-x-2>0,解得:x>2或x<-1,所以函數(shù)的定義域是{x|x>2或x<-1}.2.(2024·全國Ⅲ卷)已知55<84,134<85,設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則 ()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】選A.易知a,b,c∈(0,1),QUOTE=QUOTE=log53·log58<QUOTE=QUOTE<QUOTE=1,所以a<b.因為b=log85,c=log138,所以8b=5,13c=8,即85b=55,134c=84又因為55<84,134<85,所以134c=84>55=85b>134b,即b<c.綜上所述:a<b<c.3.若logaQUOTE<1,則a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪(1,+∞)【解析】選D.由logaQUOTE<1得:logaQUOTE<logaa.當a>1時,有a>QUOTE,即a>1;當0<a<1時,則有0<a<QUOTE.綜上可知,a的取值范圍是QUOTE∪(1,+∞).4.已知函數(shù)f(x)=loga(x+2),若圖像過點(6,3),則f(x)=________,f(30)=________.

【解析】代入(6,3),得3=loga(6+2)=loga8,即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),所以f(30)=log232=5.答案:log2(x+2)55.(2024·濰坊高一檢測)已知直線mx+ny-3=0經(jīng)過函數(shù)g(x)=logax+1(a>0且a≠1)的定點,其中mn>0,則QUOTE+QUOTE的最小值為________.

【解析】由題意可得g(x)過定點A(1,1),又點A在直線mx+ny-3=0上,所以m+n=3,則QUOTE+QUOTE=QUOTE(m+n)=QUOTE≥QUOTE(2+2)=QUOTE,當且僅當QUOTE=QUOTE且m+n=3,m=n=QUOTE時取等號.答案:QUOTE6.已知函數(shù)fQUOTE=logaQUOTE,gQUOTE=logaQUOTE,QUOTE.(1)設(shè)a=2,函數(shù)g(x)的定義域為[-15,-1],求g(x)的最大值.(2)當0<a<1時,求使fQUOTE-gQUOTE>0的x的取值范圍.【解析】(1)當a=2時,gQUOTE=log2QUOTE,在QUOTE上為減函數(shù),因此當x=-15時gQUOTE的最大值為4.(2)fQUOTE-gQUOTE>0,即fQUOTE>gQUOTE,所以當0<a<1時logaQUOTE>logaQUOTE,滿意QUOTE所以-1<x<0,故當0<a<1時f(x)-g(x)>0的解集為QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2024·天津高考)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】選A.0<a=log52<log5QUOTE=QUOTE,b=log0.50.2>log0.50.5=1,1=0.50>c=0.50.2>0.51=QUOTE,所以a<c<b.2.若log(a-1)(2x-1)>log(a-1)(x-1),則有 ()A.1<a<2,x>0 B.1<a<2,x>1C.a>2,x>0 D.a>2,x>1【解析】選D.當a>2時,a-1>1,由QUOTE解得x>1;當1<a<2時,0<a-1<1,由QUOTE無解.3.(2024·寧波高一檢測)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上是增函數(shù),且g(x)=-fQUOTE.若gQUOTE>gQUOTE,則x的取值范圍是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE∪QUOTE【解析】選C.由題意,因為gQUOTE=-fQUOTE=g(x),所以g(x)為偶函數(shù),又因為f(x)是QUOTE上的增函數(shù),所以g(x)是QUOTE上的減函數(shù),又因為gQUOTE>gQUOTE,所以gQUOTE>gQUOTE,所以QUOTE<1,解得QUOTE<x<10.4.已知函數(shù)f(x)=QUOTE,滿意f(a)>f(4-a),則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1,2) B.(2,3) C.(1,3) D.(2,4)【解析】選A.函數(shù)f(x)=QUOTE的定義域為QUOTE,由f(a)>f(4-a)可得:即QUOTE化為:QUOTE或QUOTE解得1<a<2.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下列函數(shù)表達式中,是對數(shù)函數(shù)的有 ()A.y=logπx B.y=lnxC.y=2log4x D.y=log2(x+1)【解析】選AB.按對數(shù)函數(shù)的定義式推斷.6.已知0<a<b,a+b=1,則下列不等式中,正確的是 ()A.log2a<0 B.2a-b<QUOTEC.QUOTE<4 D.log2a+log2b<-2【解析】選AD.因為0<a<b且a+b=1,所以0<a<b<1,-1<a-b<0,所以log2a<0,A正確;2a-b>2-1=QUOTE,B錯誤;因為QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2(當且僅當QUOTE=QUOTE,即a=b時取等號),又0<a<b,所以QUOTE+QUOTE>2,所以QUOTE>22=4,C錯誤;因為ab≤QUOTE=QUOTE(當且僅當a=b時取等號),又0<a<b,所以0<ab<QUOTE,所以log2a+log2b=log2(ab)<log2QUOTE=-2,D正確.【補償訓(xùn)練】(2024·菏澤高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,?x∈D,?y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,則稱f(x)為“漂亮函數(shù)”.下列所給出的函數(shù),其中是“漂亮函數(shù)”的是()A.y=x2B.y=QUOTEC.y=lnQUOTE D.y=2x+3【解析】選BCD.由題意知,函數(shù)f(x)的定義域為D,?x∈D,?y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,所以函數(shù)f(x)的值域關(guān)于原點對稱,對于A中,函數(shù)y=x2的值域為[0,+∞),不關(guān)于原點對稱,不符合題意;對于B中,函數(shù)y=QUOTE的值域為(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱,符合題意;對于C中,函數(shù)y=lnQUOTE的值域為R,關(guān)于原點對稱,符合題意;對于D中,函數(shù)y=2x+3的值域為R,關(guān)于原點對稱,符合題意.三、填空題(每小題5分,共10分)7.設(shè)f(x)=QUOTE則f(f(-2))=________.

【解析】因為f(-2)=10-2>0,f(10-2)=lg10-2,令lg10-2=a,則10a=10-2,所以a=-2,所以f(f(-2))=-2.答案:-28.已知函數(shù)f(x)=QUOTE(a>0且a≠1)在R上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是________.

【解析】由分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減可得0<a<1,又因為二次函數(shù)圖像開口向上,所以-QUOTE≥0,解得a≤QUOTE且QUOTE(x<0)≥QUOTE(x≥0),將x=0代入可得3a≥1,解得a≥QUOTE,所以a的取值范圍是QUOTE.答案:QUOTE【補償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=QUOTE的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】由題意知,當x>1時,f(x)=2a+lnx>2a;當x≤1時,f(x)=a+1-x2≤a+1.要使函數(shù)f(x)的值域為R,需滿意2a≤a+1,即a≤1.答案:(-∞,1]四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+x+1).(1)若a=0,求不等式f(1-2x)-f(x)>0的解集;(2)若f(x)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)a=0時,f(x)=lg(x+1),所以f(1-2x)-f(x)=lg(2-2x)-lg(x+1)>0,所以lg(2-2x)>lg(x+1),所以2-2x>x+1>0,所以x∈QUOTE.(2)因為f(x)的定義域是R,所以得ax2+x+1>0恒成立.當a=0時,明顯不成立,當a≠0時,由QUOTE解得a>QUOTE.綜上a>QUOTE.10.(2024·天津高一檢測)已知函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)在QUOTE上的最大值為2.(1)求a的值;(2)若0<a<1,求使得f(f(x)-2)>0成立的x的取值范圍.【解析】(1)由題意,當a>1時,函數(shù)f(x)=logax在QUOTE上單調(diào)遞增,因此f(x)max=f(2)=loga2=2,解得a=QUOTE;當0<a<1時,函數(shù)f(x)=logax在QUOTE上單調(diào)遞減,因此f(x)max=fQUOTE=logaQUOTE=2,解得a=QUOTE.綜上可知:a=QUOTE或a=QUOTE.(2)由不等式f(f(x)-2)>0,得loga(f(x)-2)>loga1,又因為0<a<1,依據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得0<f(x)-2<1,即2<QUOTEx<3,解得QUOTE<x<QUOTE.已知函數(shù)f(x)=logaQUOTE(a>0,且a≠1).(1)推斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)求不等式f(x)>0的解集.【解析】(1)由QUOTE>0得-1<x<1,函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,又f(-x)=logaQUOTE=-logaQUOTE=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).(2)①當a>1時,由f(x)>0,即logaQUOTE>0,得QUOTE>1,解得-1<x<0;②當0<a<1時,由f(x)>0,即logaQUOTE>0,得0<QUOTE<1,解得0<x<1.綜上所述,當a>1時,不等式f(x)>0的解集為QUOTE;當0<a<1時,不等式f(x)>0的解集為QUOTE.【補償訓(xùn)練】已知函數(shù)fQUOTE=log2QUOTE.(1)推斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論.(2)解不等式fQUOTE<-1.【解析】(1)f(x)為奇函數(shù),證明:QUOTE>0?-1<x<1,所以f(x)的定義域為(-1,1),關(guān)于原點對稱,任取x∈(-1,1),則-x∈(-1,1),