《琴生不等式的代數(shù)應(yīng)用案例綜述》1100字_第1頁
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琴生不等式的代數(shù)應(yīng)用案例綜述1.1證明代數(shù)不等式【例1】利用琴生不等式證明柯西不等式(a1b1+a2b2證：引進(jìn)fx=x2,，則f根據(jù)琴生不等式(p當(dāng)且僅當(dāng)x1,,即p1+p于是不等式（11）成為:(a≤b即(a1b1+a2b當(dāng)且僅當(dāng)a1b1【例2】利用琴生不等式證明均值不等式x1+x2+…+證：根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)可構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx(x>0),驗(yàn)證ff''x=?1x2得=lnx≥===即≥由于函數(shù)在（0，+∞）上遞增，所以有≥成立，當(dāng)且僅當(dāng)x1【例3】[9]設(shè)0≤x,y≤1,證明：證：根據(jù)不等式的方向，我們需要構(gòu)造一個上凸函數(shù)，所以構(gòu)造函數(shù)，其中,，所構(gòu)造的函數(shù)是上凸函數(shù)。令,，由琴生不等式得問題轉(zhuǎn)化為只需證，即（12）去分母得：2(1+=≥0（12）式成立，從而成立，得證。通過以上例子，說明琴生不等式在證明不等式方面具有獨(dú)特的作用。首先，它構(gòu)建了一座不等式的橋梁，通過它連接不等式的兩端；其次，利用琴生不等式簡化了運(yùn)算，使不等式的證明更加容易。在應(yīng)用過程中，必須恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)，以保證函數(shù)的凹凸性與不等式方向的一致性。構(gòu)造函數(shù)時應(yīng)注意定義域，準(zhǔn)確判斷其凹凸性。以上證明步驟可歸納為：構(gòu)造法——判斷凹凸性——用琴生不等式證明結(jié)論[11]。1.2求代數(shù)最值【例4】設(shè)正整數(shù)n≥3,p是一個正整數(shù)，已知正實(shí)數(shù)滿足=1,當(dāng)時，求的最小值。解：利用Apxkp+x （13）從上式，有(p將上式兩端同時除以p+1,并且關(guān)于k從1到n求和，有由題目條件知=1=（=1）2所以=從上式，有當(dāng)且僅當(dāng)（13）式取等號時，上式取等號，這時有x從上式，有xkp+換句話講，當(dāng)且僅當(dāng)xk=p+2?時，有最小值為2(p+2)【例5】設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，滿足a+b+c=abc,求1+a2+1+b2解:由A3a+b+c≥33題中已知a+b+c=abc，帶入化簡得設(shè)f(x)=1+x2(x>0),f'

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