標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2024年10月測試數(shù)學(xué)試卷本試卷共150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.若，則（）A. B. C.1 D.3.已知單位向量和，若，則（）A.2 B.1 C. D.4.已知圓柱的底面半徑和球的半徑相等，圓柱的高與球的半徑相等，則圓柱與球的表面積之比為（）A.1：2 B.1：1 C.3：4 D.2：35.已知，，則（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.0 C.3 D.無窮7.將的圖象變換為的圖象，下列變換正確的是（）A.將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再將圖象向右平移個(gè)單位B.將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖象向右平移個(gè)單位C.將圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋禗.將圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍8.定義在R上的函數(shù)滿足：，且，當(dāng)時(shí)，，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對但不全得3分，有錯(cuò)選的得0分．9.從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為a，從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為b，則下列說法正確是（）A.事件“為偶數(shù)”的概率為B.事件“ab為偶數(shù)”的概率為C.設(shè)，則X的數(shù)學(xué)期望為D.設(shè)，則在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是1210.在直棱柱中，底面為正方形，，為線段上動(dòng)點(diǎn)，，分別為和的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若，則經(jīng)過，，三點(diǎn)的直棱柱的截面為四邊形B.直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為11.一條動(dòng)直線與圓相切，并與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為定直線上動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.存在直線，使得以AB為直徑的圓與相切B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若的展開式中存在項(xiàng)，則由滿足條件的所有正整數(shù)m從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________．13.設(shè)雙曲線（）的右頂點(diǎn)為F，且F是拋物線的焦點(diǎn)．過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，滿足，若點(diǎn)A也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為__________．14.已知，則的最小值為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足．（1）若，，求的面積；（2）記BC邊的中點(diǎn)為D，，若A為鈍角，求x的取值范圍．16.如圖所示，在四棱錐中，，，．（1）若平面，證明：平面；（2）若底面，，二面角的正弦值為，求的長．17.已知橢圓，的下頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為和，離心率為，過的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．若直線垂直于，則的周長為．（1）求橢圓方程；（2）若直線與坐標(biāo)軸不垂直，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，試判斷直線是否過定點(diǎn)，并說明理由．18.已知函數(shù)，．（1）若，證明：；（2）若，求a的取值范圍；（3）若，記，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．19.乒乓球比賽有兩種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”，“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利．（1）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，若采用5局3勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.9．已知甲、乙兩人共進(jìn)行了場比賽，請根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，來推斷賽制是否對甲獲勝的場數(shù)有影響．（2）若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為p，沒有平局．記事件“甲只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為A，事件“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為B，試證明：．（3）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是，沒有平局．若采用“賽滿局，勝方至少取得