第3章NumPy--數(shù)組與矩陣運(yùn)算初識(shí)NumPyNumPy數(shù)組操作NumPy矩陣操作NumPy常用統(tǒng)計(jì)函數(shù)NumPy——隨機(jī)漫步熟悉NumPy的應(yīng)用場(chǎng)景及用法。掌握數(shù)組的使用。掌握矩陣的運(yùn)算。掌握NumPy常用統(tǒng)計(jì)分析函數(shù)。3.1初識(shí)NumPyNumPy概述安裝NumPy3.1初識(shí)NumPy同Python一樣，NumPy也有屬于它自己的一個(gè)標(biāo)識(shí)，如圖3.1所示。NumPy的標(biāo)識(shí)更像是一個(gè)魔方。NumPy提供了一個(gè)高性能的數(shù)組對(duì)象，可以使讀者更輕松地創(chuàng)建一維數(shù)組、二維數(shù)組、三維數(shù)組以及多維數(shù)組并進(jìn)行數(shù)組計(jì)算。NumPy具體的功能主要有：(1)功能強(qiáng)大的N維數(shù)組對(duì)象。(2)精密廣播功能函數(shù)。(3)集成C/C+和Fortran代碼的工具。(4)強(qiáng)大的線性代數(shù)、傅立葉變換和隨機(jī)數(shù)功能。3.1.1NumPy概述3.1初識(shí)NumPy3.1.2安裝NumPycondainstallnumpyimportnumpyprint(np.eye(5))運(yùn)行結(jié)果[[1.0.0.0.0.][0.1.0.0.0.][0.0.1.0.0.][0.0.0.1.0.][0.0.0.0.1.]]3.1初識(shí)NumPy數(shù)組的概念數(shù)組的屬性創(chuàng)建數(shù)組數(shù)組運(yùn)算數(shù)組的切片和索引數(shù)組重塑數(shù)組迭代3.2NumPy數(shù)組操作3.2.1數(shù)組的概念數(shù)組可以分為一維數(shù)組、二維數(shù)組和三維數(shù)組，其中三維數(shù)組是常見(jiàn)的多維數(shù)組。NumPy數(shù)組的維數(shù)稱為秩（rank），秩就是軸的數(shù)量，即數(shù)組的維度，一維數(shù)組的秩為1，二維數(shù)組的秩為2，以此類推。在NumPy中，每一個(gè)線性的數(shù)組稱為一個(gè)軸（axis），即維度（dimensions）。比如說(shuō)，二維數(shù)組相當(dāng)于是兩個(gè)一維數(shù)組，其中第一個(gè)一維數(shù)組中每個(gè)元素又是一個(gè)一維數(shù)組，所以一維數(shù)組就是NumPy中的軸（axis），第一個(gè)軸相當(dāng)于是底層數(shù)組，第二個(gè)軸是底層數(shù)組里的數(shù)組，而軸的數(shù)量——秩，就是數(shù)組的維數(shù)。NumPy具有n維數(shù)組對(duì)象Ndarray，此對(duì)象中的元素為一系列同類型的數(shù)據(jù)，其中元素的索引從0開(kāi)始。Ndarray數(shù)組中的每一個(gè)元素在內(nèi)存中都具有相同大小的存儲(chǔ)區(qū)域。3.2NumPy數(shù)組操作3.2.2數(shù)組的屬性數(shù)組的屬性主要包含類型、大小、形狀以及維度等屬性說(shuō)明ndarray.shapeshape屬性的返回值一個(gè)由數(shù)組維度構(gòu)成的元組，比如2行3列的二維數(shù)組可以表示為(2,3)，該屬性可以用來(lái)調(diào)整數(shù)組維度的大小。ndarray.dtype可以通過(guò)dtype屬性獲取數(shù)組中的元素的數(shù)據(jù)類型，也可以在創(chuàng)建數(shù)組時(shí)通過(guò)dtype指定數(shù)組的數(shù)據(jù)類型。ndarray.ndim該屬性返回的是數(shù)組的維數(shù)ndarray.itemsize返回?cái)?shù)組中每個(gè)元素的大小（以字節(jié)為單位）ndarray.flags返回ndarray數(shù)組的內(nèi)存信息ndarray.size數(shù)組元素的總個(gè)數(shù)，相當(dāng)于.shape中n*m的值3.2NumPy數(shù)組操作3.2.2數(shù)組的屬性NumPy數(shù)據(jù)類型屬性說(shuō)明bool_布爾型數(shù)據(jù)類型（True或False）int_默認(rèn)的整數(shù)類型（類似于C語(yǔ)言中的long，int32或int64）intc與C的int類型一樣，一般是int32或int64intp用于索引的整數(shù)類型（類似于C的ssize_t，一般情況下是int32或int64）int8字節(jié)（-128to127）int16整數(shù)（-32768to32767）int32整數(shù)（-2147483648to2147483647）int64整數(shù)（-9223372036854775808to9223372036854775807）uint8無(wú)符號(hào)整數(shù)（0to255）uint16無(wú)符號(hào)整數(shù)（0to65535）uint32無(wú)符號(hào)整數(shù)（0to4294967295）uint64無(wú)符號(hào)整數(shù)（0to18446744073709551615）float_float64類型的簡(jiǎn)寫float16半精度浮點(diǎn)數(shù)，包括：1個(gè)符號(hào)位，5個(gè)指數(shù)位，10個(gè)尾數(shù)位float32單精度浮點(diǎn)數(shù)，包括：1個(gè)符號(hào)位，8個(gè)指數(shù)位，23個(gè)尾數(shù)位float64雙精度浮點(diǎn)數(shù)，包括：1個(gè)符號(hào)位，11個(gè)指數(shù)位，52個(gè)尾數(shù)位complex_complex128類型的簡(jiǎn)寫，即128位復(fù)數(shù)complex64復(fù)數(shù)，表示雙32位浮點(diǎn)數(shù)（實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分）complex128復(fù)數(shù)，表示雙64位浮點(diǎn)數(shù)（實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分）3.2NumPy數(shù)組操作3.2.3創(chuàng)建數(shù)組NumPy創(chuàng)建數(shù)組主要使用array()函數(shù)numpy.array(object,dtype=None,copy=True,order='K',subok=False,ndmin=0)參數(shù)說(shuō)明object表示一個(gè)數(shù)組序列dtype可選參數(shù)，通過(guò)它可以更改數(shù)組的數(shù)據(jù)類型---可將原來(lái)的整型或者其他類型進(jìn)行強(qiáng)制轉(zhuǎn)換copy可選參數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)源是Ndarray時(shí)表示數(shù)組能否被復(fù)制，默認(rèn)是Trueorder可選參數(shù)，以哪種內(nèi)存布局創(chuàng)建數(shù)組，有3個(gè)可選值，分別是C（行序列）/F（列序列）/A（默認(rèn)）ndmin可選參數(shù)，用于指定數(shù)組的維度--例如一維數(shù)組、二維數(shù)組、三維數(shù)組等3.2NumPy數(shù)組操作3.2.3創(chuàng)建數(shù)組使用array()創(chuàng)建一維數(shù)組和二維數(shù)組importnumpyasnp#導(dǎo)入numpy庫(kù)list_1=[1,2,3,4]#創(chuàng)建列表list_2=[[1,2,3,4],[5,6,7,8]]#創(chuàng)建列表arr_1=np.array(list_1)#創(chuàng)建一維數(shù)組arr_2=np.array(list_2)#創(chuàng)建二維數(shù)組print('一維數(shù)組為：\n',arr_1)print('二維數(shù)組為：\n',arr_2)一維數(shù)組為：[1234]二維數(shù)組為：[[1234][5678]]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.3創(chuàng)建數(shù)組使用arange()創(chuàng)建數(shù)組numpy.arange(start,stop,step,dtype=None)[012345]#arange生成0到5,步長(zhǎng)為1的數(shù)組importnumpyasnp#導(dǎo)入numpy庫(kù)a=np.arange(0,6,1,dtype=int)#指定數(shù)組中數(shù)據(jù)類型為整形print(a)3.2NumPy數(shù)組操作3.2.3創(chuàng)建數(shù)組使用linspace()創(chuàng)建數(shù)組linspace(start,stop,num=50,endpoint=True,retstep=False,dtype=None，axis=0）[0.0.111111110.222222220.333333330.444444440.555555560.666666670.777777780.888888891.]importnumpyasnp#導(dǎo)入numpy庫(kù)np.linspace(0,1,10)#此時(shí)步長(zhǎng)被平均分為1/93.2NumPy數(shù)組操作3.2.3創(chuàng)建數(shù)組使用logspace()創(chuàng)建數(shù)組numpy.logspace(start,stop,num,endpoint,base,dtype)[1.1.291549671.668100542.154434692.78255943.593813664.641588835.99484257.7426368310.]importnumpyasnp#導(dǎo)入numpy庫(kù)np.logspace(0,1,10)3.2NumPy數(shù)組操作3.2.3創(chuàng)建數(shù)組創(chuàng)建指定形狀和類型的數(shù)組empty()函數(shù)用于創(chuàng)建空值數(shù)組，zero()函數(shù)與ones()函數(shù)分別用來(lái)創(chuàng)建全0數(shù)組和全1數(shù)組元素個(gè)數(shù)為5的全0數(shù)組:[0.0.0.0.0.]元素個(gè)數(shù)為5的全1數(shù)組:[1.1.1.1.1.]元素個(gè)數(shù)為10的空值數(shù)組:[6.01347002e-1546.18473232e+2231.27873527e-1521.27276404e+2322.43567349e-1521.46923448e+1951.14324087e+2431.69524701e-1522.77839591e+1802.45933202e-154]importnumpyasnp#導(dǎo)入numpy庫(kù)zero=np.zeros(5)#創(chuàng)建元素個(gè)數(shù)為5的全0數(shù)組one=np.ones(5)#創(chuàng)建元素個(gè)數(shù)為5的全1數(shù)組empty=np.empty(10)#創(chuàng)建元素個(gè)數(shù)為10的空值（未初始化）數(shù)組print("元素個(gè)數(shù)為5的全0數(shù)組:\n",zero)print("元素個(gè)數(shù)為5的全1數(shù)組:\n",one)print("元素個(gè)數(shù)為10的空值數(shù)組:\n",empty)3.2NumPy數(shù)組操作3.2.3創(chuàng)建數(shù)組創(chuàng)建隨機(jī)數(shù)組importnumpyasnp#導(dǎo)入numpy庫(kù)np.random.randint(1,4,5)#創(chuàng)建5個(gè)元素?cái)?shù)值在1到4之間的隨機(jī)數(shù)組[31333]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.4數(shù)組運(yùn)算基礎(chǔ)運(yùn)算importnumpyasnp#導(dǎo)入numpy庫(kù)arr=np.array([1,2,3,4,5])print(arr+1)print(arr-1)print(arr*2)print(arr/2)[23456][01234][246810][0.51.1.52.2.5]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.4數(shù)組運(yùn)算數(shù)組與數(shù)組運(yùn)算importnumpyasnparr=np.array([1,2,3,4,5])arr_1=np.array([6,7,8,9,10])print(arr+arr_1)print(arr-arr_1)print(arr*arr_1)print(arr/arr_1)[79111315][-5-5-5-5-5][614243650][0.166666670.285714290.3750.444444440.5]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.4數(shù)組運(yùn)算比較運(yùn)算importnumpyasnparr=np.array([1,2,3,4,5])arr_1=np.array([6,7,8,9,10])print(arr<arr_1)print(arr>arr_1)print(arr>=arr_1)print(arr<=arr_1)print(arr==arr_1)print(arr!=arr_1)[TrueTrueTrueTrueTrue][FalseFalseFalseFalseFalse][FalseFalseFalseFalseFalse][TrueTrueTrueTrueTrue][FalseFalseFalseFalseFalse][TrueTrueTrueTrueTrue]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.4數(shù)組運(yùn)算邏輯運(yùn)算-單個(gè)數(shù)組的邏輯運(yùn)算importnumpyasnp#導(dǎo)入numpy庫(kù)new_arr=np.array([1,2,3,4,5,6])print(np.any(new_arr))#判斷是否有真值Print(np.all(new_arr))#判斷是否全部為真值TrueTrue3.2NumPy數(shù)組操作3.2.4數(shù)組運(yùn)算邏輯運(yùn)算-多個(gè)數(shù)組的邏輯運(yùn)算importnumpyasnp#導(dǎo)入numpy庫(kù)new_arr=np.array([1,2,3,4,5,6])new_arr1=np.array([0,2,0,4,1,6])result=(new_arr==2)&(new_arr1==2)#判斷兩個(gè)數(shù)組中對(duì)應(yīng)位置元素是否都為2result1=(new_arr==2)|(new_arr1==2)#判斷兩個(gè)數(shù)組中對(duì)應(yīng)元素是否有一個(gè)為2print(result)print(result1)[FalseTrueFalseFalseFalseFalse][FalseTrueFalseFalseFalseFalse]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.4數(shù)組運(yùn)算冪運(yùn)算new_arr=np.array([1,2,3])new_arr1=np.array([0,2,5])print(new_arr**new_arr1)#冪運(yùn)算[14243]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.5數(shù)組的切片和索引索引-一維數(shù)組的索引new_arr1=np.array([0,2,5])print(new_arr1[1])#獲取數(shù)組索引為1的元素23.2NumPy數(shù)組操作3.2.5數(shù)組的切片和索引索引-二維數(shù)組的索引new_arr1=np.array([0,2,5],[4,6,7])print(new_arr1[1,2])#獲取第二行的第三個(gè)元素73.2NumPy數(shù)組操作3.2.5數(shù)組的切片和索引切片式索引-一維數(shù)組的切片式索引new_arr1=np.array([0,2,0,4,1,6])print(new_arr1[0:3])#打印數(shù)組第一個(gè)至第三個(gè)元素print(new_arr1[1:])#打印數(shù)組從第二個(gè)元素開(kāi)始到最后的所有元素print(new_arr1[:3])#打印數(shù)組第四個(gè)元素之前的所有元素print(new_arr1[0:5:2])#打印數(shù)組從第1個(gè)到第5個(gè)，步長(zhǎng)為2的元素print(new_arr1[-1::-2])#打印倒數(shù)第1個(gè)到第一個(gè)元素步長(zhǎng)為-2的元素[020][20416][020][001][642]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.5數(shù)組的切片和索引切片式索引-二維數(shù)組切片式索引fromnumpyimport*arr=array([arange(1,8),arange(4,11),arange(8,15)])#創(chuàng)建2行7列的二維數(shù)組print(arr)#打印創(chuàng)建的數(shù)組print(arr[2])#打印第三行的元素print(arr[2,3])#打印第三行第四列的元素print(arr[:2,:3])#打印第一行至第二行的第一列至第三列的元素print(arr[:,:3])#打印所有行的第一列至第三列的元素[[1234567][45678910][891011121314]][891011121314]11[[123][456]][[123][456][8910]]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.5數(shù)組的切片和索引花式索引arr=np.arange(25).reshape((5,5))print(arr)print(arr[[1,3,4]])print(arr[[1,3,4],[2,3,4]])[[01234][56789][1011121314][1516171819][2021222324]][[56789][1516171819][2021222324]][71824]3.2NumPy數(shù)組操作3.2.5數(shù)組的切片和索引布爾索引arr=np.arange(8)#創(chuàng)建長(zhǎng)度為8的數(shù)組boolarr=np.array([True,False,False,True,True,True,False,True])#規(guī)定哪些元素為真值arr[boolarr]#打印為真值的元素array([0,3,4,5,7])3.2NumPy數(shù)組操作3.2.6數(shù)組重塑重塑一維數(shù)組numpy.reshape(a,newshape,order=’C’)[[123][456][789][101112]]importnumpyasnparr=np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12])#創(chuàng)建新的數(shù)組newarr=arr.reshape(4,3)#重塑數(shù)組newarr1=arr.reshape(2,3,2)print(newarr)print(newarr1)3.2NumPy數(shù)組操作3.2.7數(shù)組迭代迭代一維數(shù)組123importnumpyasnparr=np.array([1,2,3])forxinarr:print(x)3.2NumPy數(shù)組操作3.2.7數(shù)組迭代迭代二維數(shù)組[123][456]importNumPyasnparr=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])forxinarr:print(x)3.3NumPy矩陣操作矩陣的創(chuàng)建矩陣的運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置與求逆3.3NumPy矩陣操作3.3.1矩陣的創(chuàng)建mat()函數(shù)創(chuàng)建矩陣matrix([[1,2,5,6],[3,4,7,8]])importnumpyasnparr=np.mat('1256;3478')arr3.3NumPy矩陣操作3.3.1矩陣的創(chuàng)建mat()函數(shù)創(chuàng)建矩陣-數(shù)組作為參數(shù)matrix([[1,2,5,6],[3,4,7,8]])arr=np.mat([[1,2,5,6],[3,4,7,8]])arr3.3NumPy矩陣操作3.3.1矩陣的創(chuàng)建mat()函數(shù)創(chuàng)建矩陣-創(chuàng)建一個(gè)5*5的0矩陣matrix([[0.,0.,0.,0.,0.],[0.,0.,0.,0.,0.],[0.,0.,0.,0.,0.],[0.,0.,0.,0.,0.],[0.,0.,0.,0.,0.]])arr=np.mat(np.zeros((5,5)))arr3.3NumPy矩陣操作3.3.1矩陣的創(chuàng)建mat()函數(shù)創(chuàng)建矩陣-創(chuàng)建一個(gè)5*5的1矩陣matrix([[1.,1.,1.,1.,1.],[1.,1.,1.,1.,1.],[1.,1.,1.,1.,1.],[1.,1.,1.,1.,1.],[1.,1.,1.,1.,1.]])arr=np.mat(np.ones((5,5)))arr3.3NumPy矩陣操作3.3.1矩陣的創(chuàng)建mat()函數(shù)創(chuàng)建矩陣-創(chuàng)建一個(gè)元素大小1-6之間的隨機(jī)5*5整數(shù)矩陣matrix([[4,2,3,2,3],[4,4,2,4,3],[5,1,5,3,5],[4,3,2,4,3],[2,2,4,3,1]])arr=np.mat(np.random.randint(1,6,size=(5,5)))arr3.3NumPy矩陣操作3.3.1矩陣的創(chuàng)建mat()函數(shù)創(chuàng)建矩陣-創(chuàng)建一個(gè)5*5對(duì)角線矩陣matrix([[1,0,0,0,0],[0,2,0,0,0],[0,0,3,0,0],[0,0,0,4,0],[0,0,0,0,5]])arr=np.mat(np.diag([1,2,3,4,5]))arr3.3NumPy矩陣操作3.3.2矩陣的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)矩陣的加、減、乘、除運(yùn)算[[241012][681416]][[0000][0000]][[1.1.1.1.][1.1.1.1.]]arr_1=np.mat([[1,2,5,6],[3,4,7,8]])arr_2=np.mat([[1,2,5,6],[3,4,7,8]])#創(chuàng)建兩個(gè)矩陣print(arr_1+arr_2)#矩陣相加print(arr_1-arr_2)#矩陣相減print(arr_1/arr_2)#矩陣相除3.3NumPy矩陣操作3.3.2矩陣的轉(zhuǎn)置與求逆矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置前為[[12][34][78][56]]轉(zhuǎn)置后為[[1375] [2486]]mat=np.mat([[1,2],[3,4],[7,8],[5,6]])print("轉(zhuǎn)置前為\n",mat)print("轉(zhuǎn)置后為\n",mat.T)3.3NumPy矩陣操作3.3.2矩陣的轉(zhuǎn)置與求逆矩陣的求逆求逆前為[[12][34][78][56]]求逆后為[[-1.00000000e+00-5.00000000e-015.00000000e-013.71230824e-16][8.50000000e-014.50000000e-01-3.50000000e-015.00000000e-02]]mat=np.mat([[1,2],[3,4],[7,8],[5,6]])print("求逆前為\n",mat)print("求逆后為\n",mat.I)3.4NumPy常用統(tǒng)計(jì)函數(shù)3.4NumPy常用統(tǒng)計(jì)函數(shù)查找數(shù)組中元素最大值與最小值amin()函數(shù)：[332]amin()函數(shù)：[243]amax()函數(shù)：9importnumpyasnpa=np.array([[3,7,5],[8,4,3],[2,4,9]])print('amin()函數(shù)：')#查找橫向數(shù)組中最小值print(np.amin(a,1))print('amin()函數(shù)：')#查找縱向數(shù)組中最小值print(np.amin(a,0))print('amax()函數(shù)：')#查找所有數(shù)組中最大值print(np.amax(a)3.4NumPy常用統(tǒng)計(jì)函數(shù)計(jì)算數(shù)組中元素最大值與最小值的差7[457][636]importnumpyasnpa=np.array([[3,7,5],[8,4,3],[2,4,9]])print(np.ptp(a))#ptp()函數(shù)print(np.ptp(a,axis=1))#沿軸1調(diào)用ptp()函數(shù)print(np.ptp(a,axis=0))#沿軸0調(diào)用ptp()函數(shù)3.4NumPy常用統(tǒng)計(jì)函數(shù)求出一組數(shù)據(jù)中的方差和標(biāo)準(zhǔn)差1.1180339887498949、1.25importnumpyasnpprint(np.std([1,2,3,4]))#標(biāo)準(zhǔn)差print(np.var([1,2,3,4]))#方差3.4NumPy常用統(tǒng)計(jì)函數(shù)對(duì)數(shù)組進(jìn)行排序importnumpyasnparr=np.random.randint(1,10,size=10)print('排序前的數(shù)組為：',arr)arr.sort()print('排序后的數(shù)組為：',arr)arr_1=np.random.randint(1,20,size=(3,3))#生成3行3列的隨機(jī)數(shù)組print('排序前的數(shù)組為：\n',arr_1)arr_1.sort(axis=1)#沿著橫軸排序print('沿著橫軸排序后的數(shù)組為：\n',arr_1)arr_2=np.random.randint(1,20,size=(3,3))#生成3行3列的隨機(jī)數(shù)組print('排序前的數(shù)組為：\n',arr_2)arr_2.sort(axis=0)#沿著縱軸排序print('沿著縱軸排序后的數(shù)組為：\n',arr_2)3.4NumPy常用統(tǒng)計(jì)函數(shù)對(duì)數(shù)組進(jìn)行排序排序前的數(shù)組為：[5138689411]排序后的數(shù)組為：[1113456889]排序前的數(shù)組為：[[1272][3175][171717]]沿著橫軸排序后的數(shù)組為：[[2712][3517][171717]]排序前的數(shù)組為：[[225][1119][2126]]沿著縱軸排序后的數(shù)組為：[[115][226][21219]]3.4NumPy常用統(tǒng)計(jì)函數(shù)對(duì)數(shù)組進(jìn)行去重importNumPyasnpnames=np.array(['小千','鬧鬧','小鋒','小千','小可','小華','小千','小名'])print('創(chuàng)建的數(shù)組為：',names)print('去重后的數(shù)組：',np.unique(names))print('去重后的數(shù)組：',sorted(set(names)))#set去重sorted排序num=np.array([1,3,5,2,6,1,5,8])print('創(chuàng)建的數(shù)組為：',num)print('去重后的數(shù)組：',np.unique(num))print('去重后的數(shù)組：',sorted(set(num)))#set去重sorted排序創(chuàng)建的數(shù)組為：['小千''鬧鬧''小鋒''小千''小可''小華''小千''小名']去重后的數(shù)組：['小千''小華''小可''小名''小鋒''鬧鬧']去重后的數(shù)組：['小千','小華','小可','小名','小鋒','鬧鬧']創(chuàng)建的數(shù)組為：[13526158]去重后的數(shù)組：[123568]去重后的數(shù)組：[1,2,3,5,6,8]3.5NumPy——隨機(jī)漫步3.5NumPy——隨機(jī)漫步有一類問(wèn)題總稱為“隨機(jī)漫步”(RandomWalk)問(wèn)題，這類問(wèn)題長(zhǎng)久以來(lái)吸引著數(shù)學(xué)界學(xué)者的興趣。在矩形的房間里，鋪有n×m塊瓷磚，現(xiàn)將一只老鼠放在地板中間一個(gè)指定方格里。老鼠隨機(jī)地從一塊瓷磚“漫步”到