黑龍江省龍東十校2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1若集合”={—1,2,3},N={-1,0,2,5},則（）

A.{-1,2}B.{-1,2,3）

C.{-1,0,2,5}D.{-1,0,2,3,5）

K答案』D

K解析H因為M={T,2,3},N={T,0,2,5},所以MuN={T,0,2,3,5}.

故選：D.

2.若tan3a=—12,貝!Jtan（兀-3a）=（）

11

A.—12B.------C.12D.—

1212

［答案Rc

K解析U因為tan3a=-12,所以tan（兀-3cr）=-tan3cr=12.

故選：C.

3.函數(shù)/（x）=（4無一5）e?x的極值點為（）

1315

A.—B.-C.-D.一

4424

K答案》B

K解析H（x）=4e2x+2（4x-5）e2x=（8x-6）e2\

33

令/'（x）＜0,得x＜z，此時函數(shù)單調(diào)遞減；令r（x）＞0,得％＞彳，此時函數(shù)單調(diào)遞

增.

所以“X）的極小值點為

故選：B.

1B

4.已知〃=~7=7=，b=—j=-----r=，c=,則（）

V2+V3V6+V2

A.c>a>bB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

K答案》D

51

K解析』因5=7^=二r二，由百+G>Q+l>0,可得，b>a

V6+V2V3+1

又0<a=\/3—yf2<1)由a—c=a—a~=a(l—a)>0可得

故得，b>a>c.

故選：D.

5.己知/(x)為累函數(shù)，心為常數(shù)，且機>1,則函數(shù)g(x)=/(%)+/T的圖象經(jīng)過的

定點坐標為()

A.(1,1)B.(1,2)

C.(-1,1)D.(-1,2)

［答案XB

k解析》因為塞函數(shù)的圖象過定點(U),即有/'(1)=1,

所以g(l)=/(l)+n/T=1+1=2

即g(x)的圖象經(jīng)過定點(1,2).

故選：B.

.3?.?a1

6.“since=—"是"sin----cos-=-「的()

4222

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

k答案』B

aa1一.2。c?。a2a

k解析》必要性：由sin-—cos-——，nrZJBsin----2sin—cos—Fcos一

2222222

.aa3,.3

貝ij2sin—cos一=—,n即rsmer=—.

2244

3aa二二的必要條件；

所以“sin。=—”是“sin----cos—二

4222

3aa3

充分性；由sina=—,可得2sin—cos—二一，

4224

2。?aaa

即sin----2sin-cos——Fcos2一二

2222/['

/.a1丫1.ccai.aa1

則mism----cos—=一，4得Ssin大-cos-=—或sm----cos-=——.

I22)4222222

所以“sin。=?3”不是“sincc--coscc-=1-的充分條件；

4222

故選：B.

7.如圖1,現(xiàn)有一個底面直徑為10cm,高為25cm的圓錐容器，以2cm3/s的速度向該容

器內(nèi)注入溶液，隨著時間/（單位：s）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖

2所示，忽略容器的厚度，則當/=兀時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為（

圖1圖2

A.亞cm/s^/300,

B.-------cm/s

3兀5兀

C.匹m/sD.?cm/s

6兀2兀

K答案』A

K解析』設(shè)注入溶液的時間為，（單位：s）時，溶液的高為Acm,液面半徑為-cm,

rh1

如圖可得，?ASOA,則一=」，即廠=—九,

5255

則由;兀[g/z]/=2t，解得h=小等.

^/150

3兀

即/=兀時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為四也cm/s.

3兀

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)滿足：對任意實數(shù)無，》都有/(/(尤+、))=/(尤)+/(y)成立，且

/⑼“給出下列四個結(jié)論：

①/⑴=0；

②/(X+1)的圖象關(guān)于點(-U)對稱；

③若了(2024)>1,則/(―2024)<1；

@VxeR,/(x)+/(-x)=/(-l).

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①③B.③④C.②③D.②④

［答案XC

K解析》對于①，令尤=y=0,則/(/(O))=/(O)+/(O)=2,所以/'(1)=2,故錯

誤；

對于②，令丁=—X,則/(〃0))=〃X)+/(T)=〃1)=2,

所以/(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱，所以/(x+1)的圖象關(guān)于點(—1』)對稱，故正確；

對于③，因為/(￡)+/(—￡)=2,若“2024)>1,則”-2024)<1,故正確;

對于④，令x=Ly=—l,則/(〃0))=〃1)+〃—1)=41),可得"—1)=0，

令丁=-，則/(〃0))=/⑴=〃尤)+/(_無)=27〃_1)=0,故錯誤.

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列命題既是存在量詞命題又是真命題的是()

A.VxeR,%2-3%+5>0

B.BxeR,%2-3%+A/2>0

C.至少存在兩個質(zhì)數(shù)的平方是偶數(shù)

D.存在一個直角三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列

K答案1BD

K解析X“VxeR,/—3x+5〉0”不是存在量詞命題，A錯誤.

3X=3,32-3X3+A/2=V2>0，故B正確

因為只有質(zhì)數(shù)2的平方為偶數(shù)，所以不存在兩個質(zhì)數(shù)的平方是偶數(shù)，C錯誤.

內(nèi)角為30°,60°,90°的直角三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，D正確.

故選：BD.

10.若4"=3〃=24，則()

A.2<a<—B.2<b<3

2

31,112

2abab3

(答案XABC

K解析工因為4"=3〃=24，

2223

所以a=log424elog44,log44,/?=log324e(log33,log33),

所以2va<』,2<b<3,A,B均正確.

2

1131311

一二l°g244,7=log243,丁+7=彳log244+log243=log2424=1,—+7=logl2,

ab2ab2ab24

11-2

因為123>242,所以一+—=log2/2>log24243=—，C正確，D錯誤.

ab3

故選：ABC.

11.已知函數(shù)〃%)=4%+(a—2)1-2%—2改2有4個不同的零點，則々的取值可以為

()

A.-3B.-2

2+eln2

C.—cln2D.-------------

2

K答案1AD

（解析I由題意可得方程（2、+汨（2*-2x）=0有4個不同的根.

方程2工—2x=0的2個根為七=1,%=2,

所以方程2'+辦=0有2個不同的根，且Qw—2,

即函數(shù)y=2、與函數(shù)y=一雙的圖象有兩個交點.

當直線y=—④與函數(shù)y=2工的圖象相切時，設(shè)切點為（％,2%）,

—a-2x°ln2,1

因為；y'=2」n2,所以《解得七=1二=1。821〃=-eln2.

-axQ=2°,In2

要使函數(shù)y=2"與函數(shù)V=一依的圖象有兩個交點，只需直線y=~ax的斜率大于eln2，

即-〃>eln2=a<-eln2.

設(shè)g(x)=2(x>0),則g，(x)=”^,

XX

由l—lnx>O=O<x<e,所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減,

所以g(%)的最大值為g(e)=l.

eIn2

所以e11<1=^>eln2<2=>-eln2>-2.

2

故a的取值范圍為(―。,—2)o(-2,-eln2).

故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，/(%)=X2+--8,則

X

/(0)+/(-5)=-------------.

1答案X-18

(解析工因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則〃0)=0J(—5)=—/(5).

所以〃O)+〃_5)=O_〃5)=_(25+1_8)=-L8.

13.己知函數(shù)/(x)=lg(100—10)則函數(shù)丁=/(1+/(耳)的定義域為.

K答案H(l+lg9,2)

K解析】由100—1(7〉0，得x<2,由l+/(x)<2,得

則100—10’<10,解得10'>90，即x>lg90=l+lg9,

即函數(shù)y=/(l+/(x))的定義域為(l+lg9,2).

14.己知函數(shù)/(%)=sin2x—百cos2九在與&上的值域均為則

a的取值范圍為.

715兀

k答案』2，-12

k解析I由題意可得/(x)=2sin2x—1

,71za_71.兀兀

FHxGa,1,倚2%--G2a---,一

3333

,7171,DC兀c兀兀

由九￡CtH—,一,得2x---￡2aH—,一

33333

2sinj=^,2sinlI=-2,所以公一2,

與兀4兀

2a---2----,「

則33解得—工2,即a的取值范圍是—三571

c兀/兀212212

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

4丫2*]4%-1

15.已知函數(shù)/(2%)=———+-——.

V7lx4"+1

(1)求/(X)的K解析H式;

(2)判斷函數(shù)g(x)=|〃刈的奇偶性，并說明理由;

(3)求/⑴+/(1%2)+/(log30.5)的值.

解：(1)(方法一)令2%=/,得％=一,

2

1+1

4

242-1r+12'—1

則/(/)=—H-----------

2r+l

2x-42+1

x2+l2X-1

所以/")=--------1-----------

x2'+1

,十、土一、中\(zhòng)(2x)2+122x—1

(萬法一)因為=----+-^—,

x2+l21-1

所以〃x)=--------1-----------

x2，+1

(2)函數(shù)g(x)=|〃x)|的定義域為(-8,0)U(0，+s)關(guān)于原點對稱,

(~x)2+l12-x-l%2+11—2"/\

且/'(-x)=丁+k-/r⑸

—x2-"+1

故g(T)=|/(f)|=卜/(x)|=g(x),即g(x)為偶函數(shù).

(3)因Iog3().5=-log32,

則由(2)可得，f(log32)+/(log30.5)=/(log32)+/(-log32)=0,

7

故/⑴+/(log32)+/(log30.5)=/(!)=-.

16.已知函數(shù)/(%)=加一2X4(〃w0).

⑴求曲線y=/(x)在點處的切線方程;

(2)討論;'(%)的單調(diào)性.

解：⑴/，(同二5〃一813(〃w0),

166416「1一

”,/一/=/'因為/0,

，2(2)[[612、]632

所以曲線y=/(x)在點一,/一處的切線方程為丁=亡%---，即丁二丁%------.

\a\aj)aya)aa

Q

(2)(x)=x3(5m:-8)(<20),令/'(%)=0,得為=0,%2=—.

QQ

當〃>0時，令廣(%)<0,得0<%<一,令廣(%)>0,得x<0或%>一,

5a5a

所以/(x)上單調(diào)遞減，在(一”,0)［\,+“］上單調(diào)遞增.

QQ

當々<0時，令尸(%)<0,得—或%>0,令尸(%)>0,得一<x<0,

5a5a

所以/(x)在］"，5/0,+動上單調(diào)遞減，在［A，o］上單調(diào)遞增.

綜上，當a>0時，/(力在1o，A］上單調(diào)遞減，在(f0)［。+少］上單調(diào)遞增，當

"0時，小)在1媼,(0,+動上單調(diào)遞減，在心刀］上單調(diào)遞增.

17.己知a+6=1(。>0,匕>0).

(1)求的取值范圍;

(2)求工+*的最小值;

ab

2

什1a上2b>加恒成立，求加的取值范圍.

(3)右一2+

a落a

zi\az1、2bz〔\a+2bz[\a+b+bz〔xl+b

解：(1)---=-=-=-,

UJUJ⑶⑶⑶

因為a+b=l(a>0,>>0),所以0<〃<l,所以l<l+b<2.

因為y=［；］為減函數(shù),

所以［g］的取值范圍是

即[3]的取值范圍是

(2)因a+b=l(a>0,b>0),

fA/5-1

當且僅當里坐，即卜后，即<4時，等號成立,

<b=--------

L4

所以』+2的最小值為6+2指.

ab

(3)因為〃+Z?=1(〃>0,Z?>。)，

所以二+a2b《.竺=i+4+￡21+2=3

ab2aabaab

當且僅當。=6=工時，等號成立,

2

上，(1a22by:

所以nz<—+—-------=3,

I。b'a)mn

即的取值范圍為(-s,3).

18.在VA6C中，。，瓦c分別是內(nèi)角A,5c的對邊，且/+。2=5.

(1)若b+c=3,cosA=—，。為8c的中點，求AD的長;

4

(2)^sinAcosC-,sin(A-C)-,1<b<求6的值.

16V7242

解：(1)因為b+c=3,/+c2=5,

所以(b+c)2=b2+c2+2bc^5+2bc=9,所以Z?c=2.

因為。為BC的中點，所以耘=g（通+〃]

則而2=^(AB+AC)2,

BPIAD|2=|(|AB|2+2AB-AC+|AC|2)=^-(c2+2bccosA+b2)

=-x5+4x=1,

4

則由=L

故AD長為1.

(2)因為sinAcosC-^^,sin(A-C)=sinAcosC-cosAsinC=

16V'24

所以cosAsinC=—

48

則sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

,sinAcosCacosC3

則n一；-----二---二—

smBb4

日口222

6Z+Z?—C3zzB22

即a------------------------=—b,得。-c

lab4

又廿+°2=5,所以。2=5_億且/=5—兒2,

2

又因為1＜6＜巫，即1＜尸＜9，則』＜。2＜4,

222

5-1b2+5-b2-b2

a1+C1-b15^/3

所以cosB=2

lacIT

整理得(5b1-23),2_2)=0,解得廿=2或/=￡

。5L

又1<“<5,所以/?=2,故b=J5.

19.若函數(shù)/(%)在［a,可上存在看(。<%<9<b),使得/'(不)=1^—在“

b-a

尸(々)=)(?一/("),則稱/(x)是［a,可上的“雙中值函數(shù)”，其中和々稱為/(x)在

b-a

可上的中值點.

(1)判斷函數(shù)/(%)=三—3*+1是否是上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由;

(2)已知函數(shù)=一x［nx-ax,存在機>〃>0,使得且

/(x)是［上回上的“雙中值函數(shù)”，項,々是/(%)在［〃,回上的中值點.

①求a的取值范圍；

②證明：%1+x2>a+2.

(1)解:函數(shù)/(x)是［-1,引上的“雙中值函數(shù)”.

理由如下：

因為/(%)=13—3x?+1,所以/(%)=3/-6%.

因為〃3)=1,/(-D=-3,所以；,；二1

3一(一1)

令廣(尤)=1,得3f—6x