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線性方程與常數(shù)變易法

一階線性微分方程一一階線性微分方程的解法-----常數(shù)變易法代入(1)得積分得注求(1)的通解可直接用公式(3)例1

求方程通解,這里為n常數(shù)解:將方程改寫(xiě)為首先,求齊次方程的通解從分離變量得兩邊積分得故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,即積分得故通解為例2

求方程通解.解:但將它改寫(xiě)為即故其通解為例3

求值問(wèn)題的解.解:先求原方程的通解故所給初值問(wèn)題的通解為形如的方程,稱(chēng)為伯努利方程.解法:例4

求方程的通解.解:解以上線性方程得例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動(dòng)勢(shì)E均為常數(shù),試求當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系.

二線性微分方程的應(yīng)用舉例電路的Kirchhoff第二定律:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.

則電流經(jīng)過(guò)電感L,電阻R的電壓降分別為

解線性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到

設(shè)當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后,電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t),取開(kāi)關(guān)閉合時(shí)的時(shí)刻

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