2025年北京中考數(shù)學(xué)試題及答案姓名_______

準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)考生須知1．本試卷共6頁(yè)，共兩部分，三道大題，28道小題．滿分100分．考試時(shí)間120分鐘．2．在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．3．若一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，則x的值為（

）A．60 B．90 C．120 D．1504．一個(gè)不透明的袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是白球的概率是（

）A． B． C． D．5．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．1 D．46．2025年5月29日，行星探測(cè)工程天問(wèn)二號(hào)探測(cè)器在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，開啟對(duì)近地小行星2016HO3的探測(cè)與采樣返回之旅．已知該小行星與地球的最近距離約為月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離的45倍，月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離約為，則該小行星與地球的最近距離約為（

）A． B． C． D．7．如圖，，點(diǎn)A在射線上，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)B．若分別以點(diǎn)A，B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)C，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是橫、縱軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形是矩形，函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)（，不重合）．給出下面四個(gè)結(jié)論：①與的面積一定相等；②與的面積可能相等；③一定是銳角三角形；④可能是等邊三角形．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．10．分解因式：．11．方程的解為．12．某地區(qū)七年級(jí)共有2000名男生．為了解這些男生的體重指數(shù)（）分布情況，從中隨機(jī)抽取了100名男生，測(cè)得他們的數(shù)據(jù)（單位：），并根據(jù)七年級(jí)男生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)整理如下：等級(jí)低體重正常超重肥胖人數(shù)675154根據(jù)以上信息，估計(jì)該地區(qū)七年級(jí)2000名男生中等級(jí)為正常的人數(shù)是．13．能說(shuō)明命題“若，則”是假命題的一組實(shí)數(shù)a，b的值為，．14．如圖，是地球的示意圖，其中表示赤道，，分別表示北回歸線和南回歸線，．夏至日正午時(shí)，太陽(yáng)光線所在直線經(jīng)過(guò)地心O，此時(shí)點(diǎn)F處的太陽(yáng)高度角（即平行于的光線與的切線所成的銳角）的大小為°．15．如圖，在正方形中，點(diǎn)E在邊上，，垂足為F．若，，則的面積為．16．某企業(yè)研發(fā)并生產(chǎn)了一種新設(shè)備，計(jì)劃分配給A，B，C，D四家經(jīng)銷商銷售．當(dāng)一家經(jīng)銷商將分配到的n臺(tái)設(shè)備全部售出后，企業(yè)從該經(jīng)銷商處獲得的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：…A4060B30557590100105C204060708090…D14386286110134…（1）如果企業(yè)將5臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商銷售，且每家經(jīng)銷商至少分配到1臺(tái)設(shè)備，為使5臺(tái)設(shè)備都售出后企業(yè)獲得的總利潤(rùn)最大，應(yīng)向經(jīng)銷商分配2臺(tái)設(shè)備（填“A”“B”“C”或“D”）；（2）如果企業(yè)將6臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商中的一家或多家銷售，那么6臺(tái)設(shè)備都售出后，企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)的最大值為萬(wàn)元．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20題6分，第21題5分，第22題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．計(jì)算：．18．解不等式組：19．已知，求代數(shù)式的值．20．如圖，在中，D，E分別為的中點(diǎn)，，垂足為F，點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求和的長(zhǎng)．21．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．(1)求k，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值既小于函數(shù)的值，也小于函數(shù)的值，直接寫出m的取值范圍．22．北京風(fēng)箏制作技藝是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．為制作一只京燕風(fēng)箏，小明準(zhǔn)備了五根直竹條（如圖1）：一根門條、兩根等長(zhǎng)的膀條和兩根等長(zhǎng)的尾條．他將門條和膀條分別烤彎后與尾條一起扎成風(fēng)箏的骨架（如圖2），其頭部高、胸腹高與尾部高的比是．已知單根膀條長(zhǎng)是胸腹高的5倍，門條比單根膀條短10cm，圖1中的長(zhǎng)是門條長(zhǎng)的，的長(zhǎng)均等于胸腹高．求這只風(fēng)箏的骨架的總高．23．校田徑隊(duì)教練選出甲、乙、丙、丁四名運(yùn)動(dòng)員參加100米比賽．對(duì)這四名運(yùn)動(dòng)員最近10次100米跑測(cè)試成績(jī)（單位：s）的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)的折線圖：b．丙運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)：12.4

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12.7

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12.8

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12.9

12.9c．四名運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差：甲乙丙丁平均數(shù)12.512.5p12.5中位數(shù)m12.512.812.45方差0.056n0.0340.056(1)表中m的值為_______；(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；(3)根據(jù)這10次測(cè)試成績(jī)，教練按如下方式評(píng)估這四名運(yùn)動(dòng)員的實(shí)力強(qiáng)弱：首先比較平均數(shù)，平均數(shù)較小者實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)相等，則比較方差，方差較小者實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)、方差分別相等，則測(cè)試成績(jī)小于平均數(shù)的次數(shù)較多者實(shí)力更強(qiáng)．評(píng)估結(jié)果：這四名運(yùn)動(dòng)員按實(shí)力由強(qiáng)到弱依次為_______．24．如圖，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接，，，取的中點(diǎn)C，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若，，求的長(zhǎng)．25．工廠對(duì)新員工進(jìn)行某種工藝品制作的培訓(xùn)．在完成理論學(xué)習(xí)后，新員工接下來(lái)先使用智能輔助訓(xùn)練系統(tǒng)進(jìn)行一次為期T日（T可取0，1，2或3）的模擬練習(xí)，然后開始試制．記一名新員工在試制階段的第x日單日制成的合格品的個(gè)數(shù)為y，根據(jù)以往的培訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于給定的T，可以認(rèn)為y是x的函數(shù)．當(dāng)和時(shí)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x0123456789時(shí)y的值07810121620232526時(shí)y的值0263743m4850515253時(shí)，從試制階段的第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變．對(duì)于給定的T，在平面直角坐標(biāo)系中描出該T值下各數(shù)對(duì)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并根據(jù)變化趨勢(shì)用平滑曲線連接，得到曲線．當(dāng)和時(shí)，曲線，如圖所示．(1)觀察曲線，當(dāng)整數(shù)x的值為_______時(shí)，y的值首次超過(guò)35；(2)寫出表中m的值，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出時(shí)的曲線；(3)新員工小云和小騰剛剛完成理論學(xué)習(xí)，接下來(lái)進(jìn)行模擬練習(xí)和試制．①若新員工單日制成不少于45個(gè)合格品即可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，小云最早在完成理論學(xué)習(xí)后的第_______日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書；②若工廠希望小騰在完成理論學(xué)習(xí)后的4日內(nèi)制成的合格品的總數(shù)最多，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，在這4日中應(yīng)安排小騰先進(jìn)行_______日的模擬練習(xí)．26．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)．(1)求c的值，并用含a的式子表示b；(2)過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N．①若，，求的長(zhǎng)；②已知在點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，的長(zhǎng)隨的長(zhǎng)的增大而增大，求a的取值范圍．27．在中，，，點(diǎn)在射線上，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（點(diǎn)不在直線上），過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．(1)如圖1，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)，都在的延長(zhǎng)線上，用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和給出如下定義：若上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，，對(duì)于上任意滿足的兩個(gè)不同的點(diǎn)，，都有，則稱點(diǎn)是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，稱的大小為點(diǎn)與的關(guān)聯(lián)角度．（本定義中的角均指銳角、直角、鈍角或平角）(1)如圖，的半徑為．①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)_______是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)且其與的關(guān)聯(lián)角度小于，該點(diǎn)與的關(guān)聯(lián)角度為；②點(diǎn)在第一象限，若對(duì)于任意長(zhǎng)度小于的線段，上所有的點(diǎn)都是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則的最小值為_______；(2)已知點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，線段上所有的點(diǎn)都是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，記這些點(diǎn)與的關(guān)聯(lián)角度的最大值為．若，直接寫出的取值范圍．1．D【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．據(jù)此即可求解．【詳解】解：A、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D、該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，符合題意，故選：D．2．D【分析】本題考查了根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)，絕對(duì)值的意義，利用數(shù)軸表示有理數(shù)的大小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先由數(shù)軸得，，且，再逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：由數(shù)軸得，，且∴，，故A，B，C均錯(cuò)誤，不符合題意，D正確，符合題意，故選：D．3．C【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，即，其中為邊數(shù)，利用多邊形內(nèi)角和公式及正多邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，∴每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，故選：C．4．A【分析】本題考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件的概率=事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【詳解】解：∵袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，∴摸出的球是白球的概率是．故選：A．5．C【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故選C．6．C【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)．根據(jù)題意，小行星與地球的最近距離為月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離的45倍，月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離已知為，直接計(jì)算兩者的乘積并用科學(xué)記數(shù)法表示即可．【詳解】解：月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離為，小行星的距離是該值的45倍，即：．故選：C7．B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．連接，則由作圖可得，那么為等邊三角形，可證明，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接，由作圖可得，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，∴，故選：B．8．B【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)的意義即可判斷①②，根據(jù)等邊三角形和反比例函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷④，根據(jù)是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，可得或?yàn)殁g角，即可判斷③，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴又∵是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，軸，軸，∴∴，即與的面積一定相等；故①正確，由①可得當(dāng)與的面積相等時(shí)，如圖，連接，∴∴在直線上，則重合，∴與的面積不可能相等，故②不正確，∵等邊三角形和反比例函數(shù)都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)且對(duì)稱軸都為直線，可能是等邊三角形，故④正確,如圖當(dāng)在的同側(cè)時(shí)，可能是鈍角三角形，故③錯(cuò)誤綜上，①④正確、②③錯(cuò)誤.故選：B．9．【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件以及解一元一次不等式，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．此題可根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù)”得到不等式求解．【詳解】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：，故答案為：．10．【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．原式提取7，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．11．【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化為整式方程，再解方程并檢驗(yàn)即可得到答案．【詳解】解：去分母得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解，故答案為：．12．【分析】本題考查了由樣本估計(jì)總體，用乘以樣本中等級(jí)為正常的人數(shù)所占的比例即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：該地區(qū)七年級(jí)2000名男生中等級(jí)為正常的人數(shù)是人，故答案為：．13．（答案不唯一）1（答案不唯一）【分析】本題主要考查了命題與定理、反證法等知識(shí)點(diǎn)，掌握判斷一個(gè)命題是假命題的時(shí)候可以舉出反例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)舉反例的方法找到a，b滿足，但是不滿足即可解答．【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，，但是．故答案為：，1（答案不唯一）．14．43【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，讀懂題意并熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．設(shè)與交于點(diǎn)K，先由三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)K，∵，∴，在中，，，∴，∵，∴，故答案為：．15．##0.375【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)F分別作，垂足為M，N，連接，則，先根據(jù)平行線間的距離處處相等得出，繼而得出，通過(guò)解直角三角形得出，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F分別作，垂足為M，N，連接，則，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，∴，∵,∴，∵，垂足為F，，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．16．【分析】本題考查列舉等可能的結(jié)果，根據(jù)表格列舉出增長(zhǎng)量的變化是解題關(guān)鍵．（1）分別計(jì)算各經(jīng)銷商銷售完第2臺(tái)比第1臺(tái)的利潤(rùn)的增長(zhǎng)量，比較即可得答案；（2）分別求出一家分配時(shí)、四家分配時(shí)、三家分配時(shí)、兩家分配時(shí)的最大利潤(rùn)，比較即可得答案．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，經(jīng)銷商的利潤(rùn)為，比時(shí)增加（萬(wàn)元），經(jīng)銷商的利潤(rùn)為，比時(shí)增加（萬(wàn)元），經(jīng)銷商的利潤(rùn)為，比時(shí)增加（萬(wàn)元），經(jīng)銷商的利潤(rùn)為，比時(shí)增加（萬(wàn)元），∵，∴應(yīng)向經(jīng)銷商分配2臺(tái)設(shè)備．（2）當(dāng)給這四家經(jīng)銷商中的一家分配時(shí)，最大利潤(rùn)為經(jīng)銷商的萬(wàn)元，當(dāng)分配給多家銷售時(shí)：當(dāng)分配四家時(shí)，最大利潤(rùn)為（萬(wàn)元），當(dāng)分配給三家時(shí)，最大利潤(rùn)為（萬(wàn)元），當(dāng)分配給兩家時(shí)，最大利潤(rùn)為（萬(wàn)元）或（萬(wàn)元），綜上所述：企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)的最大值為萬(wàn)元．故答案為：，17．【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算絕對(duì)值，化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，代入特殊角的三角函數(shù)值并進(jìn)行乘法計(jì)算，再進(jìn)行加減計(jì)算即可．【詳解】解：．18．【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組的解集為．19．【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先對(duì)分式的分子分母進(jìn)行因式分解，化至最簡(jiǎn)分式，再將變形，進(jìn)行整體代入求值．【詳解】解：原式，∵，∴，∴原式．20．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的判定，三角形中位線定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形中位線定理可得，即，則可證明四邊形是平行四邊形，再由，即可證明平行四邊形是矩形；（2）求出，解得到，則；由線段中點(diǎn)的定義可得；過(guò)點(diǎn)A作于H，解得到，則，再利用勾股定即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵D，E分別為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，即，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：∵，∴；∵，∴，在中，，，∴，∴；∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴；如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于H，在中，，∴，在中，由勾股定理得．21．(1)(2)【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，熟知一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)當(dāng)時(shí)，兩個(gè)不等式都成立可得；當(dāng)，時(shí)，和恒成立；當(dāng)時(shí)，則且，再分當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，兩種情況分別解不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴，解得；（2）解：由（1）可得函數(shù)的解析式為，函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，∵當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值既小于函數(shù)的值，也小于函數(shù)的值，∴，且，∴，當(dāng)，時(shí)，和恒成立，故符合題意；當(dāng)時(shí)，則且，當(dāng)時(shí)，則，解不等式得，解不等式，∴；當(dāng)時(shí)，則，解不等式得，解不等式得，此時(shí)不符合題意；綜上所述，．22．【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清量之間的關(guān)系、列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)胸腹高為，則單根膀條長(zhǎng)為，門條的長(zhǎng)度為，，，頭部高為x，尾部高為，這只風(fēng)箏的骨架的總高為；由列方程求出，進(jìn)而求出風(fēng)箏的骨架的總高即可．【詳解】解：設(shè)胸腹高為，則單根膀條長(zhǎng)為，門條的長(zhǎng)度為，，，頭部高為x，尾部高為，這只風(fēng)箏的骨架的總高為，由，可得：，解得：；所以這只風(fēng)箏的骨架的總高．答：這只風(fēng)箏的骨架的總高．23．(1)(2)(3)乙、丁、甲、丙【分析】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算方差，中位數(shù)，平均數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)定義即可求解；（2）根據(jù)方差計(jì)算公式求解，再比較即可；（3）根據(jù)中位數(shù)、方差、平均數(shù)，結(jié)合題意分析即可．【詳解】（1）解：甲的10次測(cè)試成績(jī)排列為：，∴中位數(shù)，故答案為：；（2）解：乙的10次測(cè)試成績(jī)平均數(shù)為：，∴方差為：∴，故答案為：；（3）解：丙的平均數(shù)，∴丙的平均數(shù)最大，則實(shí)力最弱，∵方差，∴乙實(shí)力最強(qiáng)，∵丁的測(cè)試成績(jī)中位數(shù)為，∴第次成績(jī)和為，∴前5次測(cè)試成績(jī)小于平均數(shù)，∵甲測(cè)試成績(jī)小于平均數(shù)12.5的次數(shù)有2次，∴丁比甲強(qiáng)，∴這四名運(yùn)動(dòng)員按實(shí)力由強(qiáng)到弱依次為：乙、丁、甲、丙，故答案為：乙、丁、甲、丙．24．(1)見解析；(2)長(zhǎng)為44．【分析】（1）利用切線長(zhǎng)定理得平分，利用圓周角定理得，等量代換即可證明；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，利用條件求出線段長(zhǎng)，再利用角度轉(zhuǎn)換證明三角形相似，最后根據(jù)相似求得長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，分別切于A點(diǎn)，B點(diǎn)，平分，，又，，．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，則，，分別切于A點(diǎn)，B點(diǎn)，C為的中點(diǎn)，，，又，，，，，，，，又，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線長(zhǎng)定理，圓周角定理及推論，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，并且能根據(jù)題意作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．25．(1)6(2)；畫圖見解析(3)①7；②1【分析】（1）找圖象上y的值首次超過(guò)35時(shí)的x值；（2）根據(jù)第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變，第5日比第3日多試制5個(gè)合格產(chǎn)品，可知第4日比第3日多3個(gè)合格產(chǎn)品，即得；運(yùn)用表格數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系描點(diǎn)畫出函數(shù)圖象；（3）①根據(jù)單日制成不少于45個(gè)合格品的只有與，：時(shí)，得；：，當(dāng)時(shí)，得，比較即得小云最早在完成理論學(xué)習(xí)后的第7日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書；②分模擬練習(xí)日，日，日，日，求出對(duì)應(yīng)的4日內(nèi)的試制日數(shù)，試制的合格產(chǎn)品數(shù)，比較即得應(yīng)安排小騰先進(jìn)行的模擬練習(xí)日數(shù)．【詳解】（1）解：由曲線看出，當(dāng)整數(shù)x的值為6時(shí)，y的值首次超過(guò)35故答案為：6（2）解：∵日的模擬練習(xí)時(shí)，從試制階段的第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變，在試制階段的第3日單日制成的合格品43個(gè)，第5日單日制成的合格品48個(gè)∴相差（個(gè)），把5分成兩個(gè)接近的數(shù)，，∴第4日增加3個(gè)，第5日增加2個(gè)，∴，畫出時(shí)的曲線：（3）解：①單日制成不少于45個(gè)合格品的只有與，：日的模擬練習(xí)，然后試制階段第日制成的合格品達(dá)到個(gè)，∴；：日的模擬練習(xí)，然后試制階段第日制成的合格品達(dá)到個(gè)，∴，∵，故小云最早在完成理論學(xué)習(xí)后的第7日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書；故答案為：7；②當(dāng)模擬練習(xí)日時(shí)，4日內(nèi)的試制時(shí)間日，4日的合格產(chǎn)品分別是7，8，10，12，∴合格產(chǎn)品共有；當(dāng)模擬練習(xí)日時(shí)，4日內(nèi)的試制時(shí)間日，3日的合格產(chǎn)品分別是12，19，26，∴合格產(chǎn)品共有；當(dāng)模擬練習(xí)日時(shí)，4日內(nèi)的試制時(shí)間日，2日的合格產(chǎn)品分別是20，30，∴合格產(chǎn)品共有；當(dāng)模擬練習(xí)日時(shí)，4日內(nèi)的試制時(shí)間日，1日的合格產(chǎn)品是26；∵，∴希望小騰在完成理論學(xué)習(xí)后的4日內(nèi)制成的合格品的總數(shù)最多，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，在這4日中應(yīng)安排小騰先進(jìn)行1日的模擬練習(xí)．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了表格法與圖象法表示函數(shù)．熟練掌握函數(shù)表示的表格法與圖象法，根據(jù)表格信息畫函數(shù)圖象，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的增減性質(zhì)，求函數(shù)值或自變量的值，是解題的關(guān)鍵．26．(1)0，(2)①4；②且【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題．（1）分別將，代入拋物線解析式，即可獲得答案；（2）①結(jié)合題意，分別確定點(diǎn)的坐標(biāo)，即可獲得答案；②首先確定，再分和兩種情況分析求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，拋物線，可得，∴該拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，拋物線，可得，解得；（2）①若，則該拋物線及直線解析分別為，，當(dāng)時(shí)，可有點(diǎn)，如下圖，∵軸，∴，將代入，可得，即，將代入，可得，即，∴；②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，∵軸，，∴，將代入，可得，即，將代入，可得，即，∴，令，即，解得或，若，可有，即點(diǎn)在軸右側(cè)，如下圖，當(dāng)時(shí)，可有，其圖像開口向下，對(duì)稱軸為，若的長(zhǎng)隨的長(zhǎng)的增大而增大，即的長(zhǎng)隨的增大而增大，則，解得，當(dāng)時(shí)，可有，其圖像開口向上，對(duì)稱軸為，不符合題意；若，可有，即點(diǎn)在軸左側(cè)，如下圖，當(dāng)時(shí)，可有，其圖像開口向上，對(duì)稱軸為，若的長(zhǎng)隨的長(zhǎng)的增大而增大，即的長(zhǎng)隨的減小而增大，則，解得，∴．綜上所述，a的取值范圍為且．27．(1)見解析(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)，得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，得出，；即可得證；（2）在上取一點(diǎn)，使得，證明得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，則，根據(jù)三線合一可得，進(jìn)而根據(jù)，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)與點(diǎn)重合∴，，∴，∴∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴；（2），證明：如圖，在上取一點(diǎn)，使得∵∴∴，∴∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴∴∴∴∴，又∵∴∵，∴∴∴∴∵，∴∴28．(1)①，；②(2)或或【分析】本題考查了新定義，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，理解新定義是解題的關(guān)鍵；（1）①根據(jù)新定義可得的是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)且其與的關(guān)聯(lián)角度小于，進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)，解,即可求得，即可求解．②根據(jù)定義可得為外一點(diǎn)，由，的半徑為，得出，進(jìn)而當(dāng)時(shí)，勾股定理求得的值，即可求解；（3）由（1）可得，當(dāng)在圓的外部時(shí)，且為圓的切線時(shí)，最大，且距離圓心越近，根據(jù)，得出，根據(jù)已知可得，上距離最近的點(diǎn)在的圓環(huán)內(nèi)，根據(jù)是固定線段，讓移動(dòng)，分四種情況討論，求得的臨界值，即可求解．【詳解】（1）解：①根據(jù)定義可得：當(dāng)在上時(shí)，不存在都有，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，過(guò)的直徑使得的關(guān)聯(lián)角度為，當(dāng)在的外部時(shí)，且為的切線時(shí)，最大；如圖，是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)且其與的關(guān)聯(lián)角度小于，與的關(guān)聯(lián)角度為，與的關(guān)聯(lián)角度大于，∵，的半徑為，∴，且是的切線，∴，∴∴，即與的關(guān)聯(lián)角度為故答案為：，．②根據(jù)定義可得為外一點(diǎn)，∵，的半徑為，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，取點(diǎn)，則，∴，∴的最小值為，故答案為：．（2）解：由（1）可得，當(dāng)在圓的外部時(shí)，且為圓的切線時(shí)，最大，且距離圓心越近，∵，∴當(dāng)時(shí)，由，如圖，∴四邊形是矩形，由∵∴四邊形是正方形，∴當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，線段上所有的點(diǎn)都是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則，∴上距離最近的點(diǎn)在的圓環(huán)內(nèi)，①和的圓相切，如圖，∴解得：②和半徑為的圓相切時(shí)，如圖，∴（不包含臨界值）∴③當(dāng)在半徑為的圓，如圖解得：（不包含臨界值）∴時(shí)，都在內(nèi)部，此時(shí)④當(dāng)在半徑為的圓，如圖設(shè)的半徑為，則，∵，解得：，∴時(shí)，此時(shí)，綜上所述，或或．

2024年北京中考數(shù)學(xué)試題及答案考生須知：1.本試卷共6頁(yè)，共兩部分.三道大題，28道小題。滿分100分。考試時(shí)間120分鐘。2.在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)。3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。4.在答題卡上.選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．如圖，直線和相交于點(diǎn)，，若，則的大小為（

）A． B． C． D．3．實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．4．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．4 D．165．不透明的袋子中裝有一個(gè)紅色小球和一個(gè)白色小球，除顏色外兩個(gè)小球無(wú)其他差別．從中隨機(jī)取出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)取出一個(gè)小球，則兩次都取到白色小球的概率為（）A． B． C． D．6．為助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，北京積極推進(jìn)多個(gè)公共算力中心的建設(shè).北京數(shù)字經(jīng)濟(jì)算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為Flops（Flops是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計(jì)實(shí)現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達(dá)到Flops，則的值為（

）A． B． C． D．7．下面是“作一個(gè)角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；（2）作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)作射線，則.上述方法通過(guò)判定得到，其中判定的依據(jù)是（

）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等C．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等D．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等8．如圖，在菱形中，，為對(duì)角線的交點(diǎn).將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為，，，.對(duì)八邊形給出下面四個(gè)結(jié)論：①該八邊形各邊長(zhǎng)都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點(diǎn)到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；④點(diǎn)到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．10．分解因式：.11．方程的解為.12．在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則的值是.13．某廠加工了200個(gè)工件，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽取10個(gè)工件檢測(cè)了它們的質(zhì)量（單位：g），得到的數(shù)據(jù)如下：50.03

49.98

50.00

49.99

50.0249.99

50.01

49.97

50.00

50.02當(dāng)一個(gè)工件的質(zhì)量（單位：g）滿足時(shí)，評(píng)定該工件為一等品.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)是.14．如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則15．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的面積為．16．聯(lián)歡會(huì)有A，B，C，D四個(gè)節(jié)目需要彩排.所有演員到場(chǎng)后節(jié)目彩排開始。一個(gè)節(jié)目彩排完畢，下一個(gè)節(jié)目彩排立即開始.每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(zhǎng)（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時(shí)長(zhǎng)30102010已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目.一位演員的候場(chǎng)時(shí)間是指從第一個(gè)彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時(shí)間間隔（不考慮換場(chǎng)時(shí)間等其他因素）。若節(jié)目按“”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為min；若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序彩排三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.17．計(jì)算：18．解不等式組：19．已知，求代數(shù)式的值.20．如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，.(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求的長(zhǎng).21．為防治污染，保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國(guó)全面實(shí)施汽車國(guó)六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡(jiǎn)稱“標(biāo)準(zhǔn)”）.對(duì)某型號(hào)汽車，“標(biāo)準(zhǔn)”要求類物質(zhì)排放量不超過(guò)，，兩類物質(zhì)排放量之和不超過(guò).已知該型號(hào)某汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為.經(jīng)過(guò)一次技術(shù)改進(jìn)，該汽車的類物質(zhì)排放量降低了，類物質(zhì)排放量降低了，，兩類物質(zhì)排放量之和為，判斷這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說(shuō)明理由.22．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn).(1)求，的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍.23．某學(xué)校舉辦的“青春飛揚(yáng)”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段.(1)初賽由名數(shù)師評(píng)委和名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分（百分制）對(duì)評(píng)委給某位選手的打分進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息..教師評(píng)委打分：

.學(xué)生評(píng)委打分的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組）：.評(píng)委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評(píng)委學(xué)生評(píng)委根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：①的值為___________，的值位于學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第__________組；②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為，則___________（填“”“”或“”）；(2)決賽由5名專業(yè)評(píng)委給每位選手打分（百分制）.對(duì)每位選手，計(jì)算5名專業(yè)評(píng)委給其打分的平均數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前，5名專業(yè)評(píng)委給進(jìn)入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5甲乙丙若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是____________，表中（為整數(shù)）的值為____________.24．如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，平分.(1)求證：；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).若，，求半徑的長(zhǎng).25．小云有一個(gè)圓柱形水杯（記為1號(hào)杯），在科技活動(dòng)中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和人工智能軟件設(shè)計(jì)了一個(gè)新水杯，并將其制作出來(lái)，新水杯（記為2號(hào)杯）示意圖如下，當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有mL水時(shí)，小云分別記錄了1號(hào)杯的水面高度（單位：cm）和2號(hào)杯的水面高度（單位：cm），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8(1)補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)通過(guò)分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問(wèn)題：①當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有320mL水時(shí)，2號(hào)杯的水面高度與1號(hào)杯的水面高度的差約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；②在①的條件下，將2號(hào)杯中的一都分水倒入1號(hào)杯中，當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，其水面高度約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．26．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知和是拋物線上的兩點(diǎn).若對(duì)于，，都有，求的取值范圍.27．已知，點(diǎn)，分別在射線，上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn).

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：是的中點(diǎn)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，作，交射線于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明。28．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于的弦和不在直線上的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)，．①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)___________是弦的“可及點(diǎn)”，其中____________；②若點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為__________；(2)已知是直線上一點(diǎn)，且存在的弦，使得點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直接寫出的取值范圍．1．B【詳解】解：A、是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：B．2．B【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，故選：B．3．C【詳解】解：A、由數(shù)軸可知，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由數(shù)軸可知，由絕對(duì)值的意義知，故本選項(xiàng)不符合題意；C、由數(shù)軸可知，而，則，故，故本選項(xiàng)符合題意；D、由數(shù)軸可知，而，因此，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．4．C【詳解】∵方程，，∴，∴，解得．故選C．5．D【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都取到白色小球的結(jié)果有1種，兩次都取到白色小球的概率為．故選：D．6．D【詳解】，故選D．7．A【詳解】根據(jù)基本作圖中，同圓半徑相等，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊原理，故選A.8．B【詳解】向兩方分別延長(zhǎng)，連接，根據(jù)菱形，，則，，∵菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，∴點(diǎn)一定在對(duì)角線上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可證，∵，∴，∴，∴，∴該八邊形各邊長(zhǎng)都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點(diǎn)到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，∴④正確；根據(jù)題意，得，∵，，∴，∴該八邊形各內(nèi)角不相等；∴②錯(cuò)誤，根據(jù)，∴，∴，故，∴點(diǎn)到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等錯(cuò)誤∴③錯(cuò)誤，故選B．9．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得：．故答案為：10．【詳解】．故答案為：．11．【詳解】解：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，所以，原方程的解為，故答案為：．12．0【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴有，∴，故答案為：0．13．160【詳解】解：10個(gè)工件中為一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02這8個(gè)，∴這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)為個(gè)，故答案為：160．14．55【詳解】解：∵直徑平分弦，∴，∵，∴，∴，故答案為：55．15．【詳解】解：根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴的面積為；故答案為：．16．60【詳解】解：①節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為，故答案為：60；②由題意得節(jié)目A和C演員人數(shù)一樣，彩排時(shí)長(zhǎng)不一樣，那么時(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)的節(jié)目應(yīng)該放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排時(shí)長(zhǎng)一樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排，這樣等待時(shí)長(zhǎng)會(huì)短一些，那么B在D前面，∴①按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；②按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；③按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；④按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；⑤按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；⑥按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘．∴按照順序彩排，候場(chǎng)時(shí)間之和最小，故答案為：．17．【詳解】解：原式．18．【詳解】∵∴解不等式①，得，解不等式,②，得，∴不等式組的解集為．19．3【詳解】解：原式，∵，∴，∴原式．20．(1)見詳解(2)【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴在中，由勾股定理得．21．符合，理由見詳解【詳解】解：設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類類物質(zhì)排放量為，由題意得：，解得：，∵，∴這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的類物質(zhì)排放量是符合“標(biāo)準(zhǔn)”．22．(1)(2)【詳解】（1）解：由題意得將代入得：，解得：，將，，代入函數(shù)中，得：，解得：，∴；（2）解：∵，∴兩個(gè)一次函數(shù)的解析式分別為，當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，即當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖像在直線和直線的上方，則畫出圖象為：由圖象得：當(dāng)直線與直線平行時(shí)符合題意或者當(dāng)與x軸的夾角大于直線與直線平行時(shí)的夾角也符合題意，∴當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖像在直線和直線的上方時(shí)，，∴m的取值范圍為．23．(1)①，；②(2)甲，【詳解】（1）①?gòu)慕處熢u(píng)委打分的情況看，分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故教師評(píng)委打分的眾數(shù)為，所以，共有45名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分，所以學(xué)生評(píng)委給每位選手打分的中位數(shù)應(yīng)當(dāng)是第個(gè)，從頻數(shù)分面直方圖上看，可得學(xué)生評(píng)委給每位選手打分的中位數(shù)在第4組，故答案為：，；②去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，其余8名教師評(píng)委打分分別為：，，，，，，，，，故答案為：；（2），，，，丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，依題意，當(dāng)，則解得：當(dāng)時(shí)，此時(shí)∵，則乙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，不合題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)∵，則丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，這三位選手中排序最靠前的是甲故答案為：甲，．24．(1)見解析(2)【詳解】（1）根據(jù)題意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）∵，，不妨設(shè)，則，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中點(diǎn)M，連接，則∵，∴，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，解得，故半徑的長(zhǎng)為.25．(1)1.0(2)見詳解(3)1.2，8.5【詳解】（1）解：由題意得，設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，解得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴；（2）解：如圖所示，即為所畫圖像，（3）解：①當(dāng)時(shí)，，由圖象可知高度差，故答案為：1.2；②由圖象可知當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，估算高度約為，故答案為：．26．(1)；(2)或．【詳解】（1）解：把代入得，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：分兩種情況：當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，∴，又∵，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，解得，又∵，∴；綜上，當(dāng)或，都有．27．(1)見詳解(2)，理由見詳解【詳解】（1）證明：連接，

由題意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）解：，在射線上取點(diǎn)H，使得，取的中點(diǎn)G，連接，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．28．(1)①，45；②(2)或【詳解】（1）解：①：反過(guò)來(lái)思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，∵若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，∴點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，∵點(diǎn)，，∴，而，∴,由對(duì)稱得：，∴為等腰直角三角形，∴,設(shè)半徑為，則,故在外，不符合題意；，故在上，符合題意；，故在外，不符合題意，∴點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，可知三點(diǎn)共線，∵，∴，故答案為：，45；②取中點(diǎn)為H，連接，∵則，∴，∴點(diǎn)D在以H為圓心，為半徑的上方半圓上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)A、B），∴當(dāng)點(diǎn)軸時(shí)，點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大，∵，，∴，∴，∵點(diǎn)，，∴，∴此時(shí)，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為，故答案為：；（2）解：反過(guò)來(lái)思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對(duì)稱圓，∵若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，∴點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，故點(diǎn)P需要在的圓內(nèi)或圓上，作出的外接圓，連接，∴點(diǎn)P在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)M、N），∴，∴，由對(duì)稱得點(diǎn)在的垂直平分線上，∵的外接圓為，∴點(diǎn)也在的垂直平分線上，記與交于點(diǎn)Q，∴，∴，隨著的增大，會(huì)越來(lái)越靠近，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P在上，即為臨界狀態(tài)，此時(shí)最大，，連接，∵，∴當(dāng)最大,時(shí)，此時(shí)為等邊三角形，由上述過(guò)程知∴，∴當(dāng)，的最大值為2，設(shè)，則，解得：，而記直線與交于，與y軸交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)S作軸，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，解得，∴與x軸交于點(diǎn)，∴，而∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴t的取值范圍是或．

2023年北京中考數(shù)學(xué)真題及答案考生須知1.本試卷共6頁(yè)，共兩部分，三道大題，28道小題．滿分100分．考試時(shí)間120分鐘．2.在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)．3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．4在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．截至2023年6月11日17時(shí)，全國(guó)冬小麥?zhǔn)湛?.39億畝，進(jìn)度過(guò)七成半，將239000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A． B． C． D．2．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．如圖，，，則的大小為（

）

A． B． C． D．4．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．5．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．96．十二邊形的外角和為（

）A． B． C． D．7．先后兩次拋擲同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（

）A． B． C． D．8．如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．10．分解因式：=__________________.11．方程的解為______．12．在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則m的值為______．13．某廠生產(chǎn)了1000只燈泡.為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機(jī)抽取了50只燈泡進(jìn)行檢測(cè)，獲得了它們的使用壽命（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)整理如下：使用壽命燈泡只數(shù)51012176根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時(shí)的燈泡的數(shù)量為______只．14．如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，.若，，.則的值為______．

15．如圖，是的半徑，是的弦，于點(diǎn)D，是的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若，，則線段的長(zhǎng)為______．

16．學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)．已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，D都完成后進(jìn)行，工序F須在工序C，D都完成后進(jìn)行；②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他工序；③各道工序所需時(shí)間如下表所示：工序ABCDEFG所需時(shí)間/分鐘99797102在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要______分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要______分鐘．三、解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20—21題，每題6分，第22—23題，每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分；第27—28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.17．計(jì)算：．18．解不答式組：．19．已知，求代數(shù)式的值．20．如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)，，，求的長(zhǎng)．21．對(duì)聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對(duì)聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的和的．某人要裝裱一幅對(duì)聯(lián)，對(duì)聯(lián)的長(zhǎng)為，寬為．若要求裝裱后的長(zhǎng)是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長(zhǎng)．（書法作品選自《啟功法書》）

22．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，與過(guò)點(diǎn)且平行于x軸的線交于點(diǎn)C．(1)求該函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值大于函數(shù)的值且小于4，直接寫出n的值．23．某校舞蹈隊(duì)共16名學(xué)生，測(cè)量并獲取了所有學(xué)生的身高（單位：cm），數(shù)據(jù)整理如下：a.16名學(xué)生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b.16名學(xué)生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)166.75mn(1)寫出表中m，n的值；(2)對(duì)于不同組的學(xué)生，如果一組學(xué)生的身高的方差越小，則認(rèn)為該組舞臺(tái)呈現(xiàn)效果越好．據(jù)此推斷：在下列兩組學(xué)生中，舞臺(tái)呈現(xiàn)效果更好的是______（填“甲組”或“乙組”）；甲組學(xué)生的身高162165165166166乙組學(xué)生的身高161162164165175(3)該舞蹈隊(duì)要選五名學(xué)生參加比賽．已確定三名學(xué)生參賽，他們的身高分別為168，168，172，他們的身高的方差為．在選另外兩名學(xué)生時(shí)，首先要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的方差小于，其次要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的平均數(shù)盡可能大，則選出的另外兩名學(xué)生的身高分別為______和______．24．如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大?。?2)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．25．某小組研究了清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略．部分內(nèi)容如下．每次清洗1個(gè)單位質(zhì)量的該種含污物品，清洗前的清潔度均為0.800要求清洗后的清潔度為0.990方案一：采用一次清洗的方式．結(jié)果：當(dāng)用水量為19個(gè)單位質(zhì)量時(shí)，清洗后測(cè)得的清潔度為0.990．方案二：采用兩次清洗的方式．記第一次用水量為個(gè)單位質(zhì)量，第二次用水量為個(gè)單位質(zhì)量，總用水量為個(gè)單位質(zhì)量，兩次清洗后測(cè)得的清潔度為C．記錄的部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990對(duì)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，補(bǔ)充完成以下內(nèi)容．（Ⅰ）選出C是0.990的所有數(shù)據(jù)組，并劃“√”；（Ⅱ）通過(guò)分析（Ⅰ）中選出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫第一次用水量和總用水量之間的關(guān)系，在平面直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象；

結(jié)果：結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用所畫的函數(shù)圖象可以推斷，當(dāng)?shù)谝淮斡盟考s為______個(gè)單位質(zhì)量（精確到個(gè)位）時(shí)，總用水量最?。鶕?jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果，解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時(shí)，與采用一次清洗的方式相比、可節(jié)水約______個(gè)單位質(zhì)量（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）當(dāng)采用兩次清洗的方式時(shí)，若第一次用水量為6個(gè)單位質(zhì)量，總用水量為7.5個(gè)單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為．(1)若對(duì)于，有，求的值；(2)若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．27．在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．28．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．對(duì)于的弦和外一點(diǎn)C給出如下定義：若直線，中一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，另一條是的切線，則稱點(diǎn)C是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)，，①在點(diǎn)，，中，弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是______．②若點(diǎn)C是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出的長(zhǎng)；(2)已知點(diǎn)，．對(duì)于線段上一點(diǎn)S，存在的弦，使得點(diǎn)S是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記的長(zhǎng)為t，當(dāng)點(diǎn)S在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．參考答案1．B【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：，故選：B．2．A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故符合要求；B不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故不符合要求；C是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合要求；D是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合要求；故選：A．3．C【分析】由，，可求出的度數(shù)，再根據(jù)角與角之間的關(guān)系求解．【詳解】∵，，∴，∵，∴．故選：C．4．B【分析】由可得，則，根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：得，則，∴，∴，故選：B．5．C【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴．解得：．故選：C．6．C【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵多邊形的外角和為360°∴十二邊形的外角和是360°．故選：C．7．A【分析】整個(gè)實(shí)驗(yàn)分兩步完成，每步有兩個(gè)等可能結(jié)果，用列表法或樹狀圖工具輔助處理．【詳解】

如圖，所有結(jié)果有4種，滿足要求的結(jié)果有1種，故概率為.故選：A8．D【分析】如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進(jìn)而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進(jìn)而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進(jìn)而可判斷③的正誤．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，

∴，∵，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，，，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，，∵，∴，②正確，故符合要求；由勾股定理得，即，∴，③正確，故符合要求；故選：D．9．【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解即可．【詳解】解：若代數(shù)式有意義，則，解得：，故答案為：．10．【詳解】試題分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=11．【分析】方程兩邊同時(shí)乘以化為整式方程，解整式方程即可，最后要檢驗(yàn)．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以，得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故答案為：．12．3【分析】先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)B代入即可求出m的值．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和∴把點(diǎn)代入得，∴反比例函數(shù)解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：，故答案為：3．13．460【分析】用1000乘以抽查的燈泡中使用壽命不小于2200小時(shí)的燈泡所占的比例即可．【詳解】解：估計(jì)這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時(shí)的燈泡的數(shù)量為（只），故答案為：460．14．【分析】由平行線分線段成比例可得，，，得出，，從而.【詳解】，

，，，，，，；故答案為：.15．【分析】根據(jù)，得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即，根據(jù)，，得出為等腰直角三角形，即可得出．【詳解】解：∵，∴，．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切線，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴．故答案為：．16．5328【分析】將所有工序需要的時(shí)間相加即可得出由一名學(xué)生單獨(dú)完成需要的時(shí)間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，根據(jù)加工要求可知甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時(shí)做工序B；然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時(shí)做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G；最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時(shí)做工序F，然后可得答案．【詳解】解：由題意得：（分鐘），即由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，需要53分鐘；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，∵工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，D都完成后進(jìn)行，且工序A，B都需要9分鐘完成，∴甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時(shí)做工序B，需要9分鐘，然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時(shí)做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G，需要9分鐘，最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時(shí)做工序F，需要10分鐘，∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要（分鐘），故答案為：53，28；17．【分析】代入特殊角三角函數(shù)值，利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后計(jì)算即可．【詳解】解：原式．18．【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解不等式①得：解不等式②得：不等式的解集為：19．2【分析】先將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將變形整體代入化簡(jiǎn)好的分式計(jì)算即可．【詳解】解：原式，由可得，將代入原式可得，原式．20．(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出，證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；（2）證明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：由（1）知四邊形是矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，∴．21．邊的寬為，天頭長(zhǎng)為【分析】設(shè)天頭長(zhǎng)為，則地頭長(zhǎng)為，邊的寬為，再分別表示礎(chǔ)裝裱后的長(zhǎng)和寬，根據(jù)裝裱后的長(zhǎng)是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)天頭長(zhǎng)為，由題意天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的比是，可知地頭長(zhǎng)為，邊的寬為，裝裱后的長(zhǎng)為，裝裱后的寬為，由題意可得：解得，∴，答：邊的寬為，天頭長(zhǎng)為．22．(1)，；(2)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，代入函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象得出當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)滿足題意，代入求出n的值即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)，代入得：，解得：，∴該函數(shù)的解析式為，由題意知點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，當(dāng)時(shí)，解得：，∴；（2）解：由（1）知：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)的值大于函數(shù)的值且小于4，所以如圖所示，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)滿足題意，代入得：，解得：．

23．(1)，；(2)甲組(3)170，172【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；（2）計(jì)算每一組的方差，根據(jù)方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)要求，身高的平均數(shù)盡可能大且方差小于，結(jié)合其余學(xué)生的身高即可做出選擇．【詳解】（1）解：將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是165，出現(xiàn)了3次，即眾數(shù)，16個(gè)數(shù)據(jù)中的第8和第9個(gè)數(shù)據(jù)分別是166，166，∴中位數(shù)，∴，；（2）解：甲組身高的平均數(shù)為，甲組身高的方差為乙組身高的平均數(shù)為，乙組身高的方差為，∵∴舞臺(tái)呈現(xiàn)效果更好的是甲組，故答案為：甲組；（3）解：168，168，172的平均數(shù)為∵所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的方差小于，∴數(shù)據(jù)的差別較小，數(shù)據(jù)才穩(wěn)定，可供選擇的有：170，172，且選擇170，172時(shí)，平均數(shù)會(huì)增大，故答案為：170，172．24．(1)見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)已知得出，則，即可證明平分，進(jìn)而根據(jù)平分，得出，推出，得出是直徑，進(jìn)而可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，，是等邊三角形，進(jìn)而得出，由是直徑，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直徑，∴；（2）解：∵，，∴，則．∵，∴．∵，∴，∴是等邊三角形，則．∵平分，∴．∵是直徑，∴，則．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，則，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直徑，∴此圓半徑的長(zhǎng)為．25．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中標(biāo)記即可；（Ⅱ）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線即可做出函數(shù)圖象，再結(jié)合函數(shù)圖象找到最低點(diǎn)，可得第一次用水量約為4個(gè)單位質(zhì)量時(shí)，總用水量最??；（1）根據(jù)表格可得，用兩次清洗的方式并使總用水量最小時(shí)，用水量為7.7個(gè)單位質(zhì)量，計(jì)算即可；（2）根據(jù)表格可得當(dāng)?shù)谝淮斡盟繛?個(gè)單位質(zhì)量，總用水量超過(guò)8個(gè)單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度能達(dá)到0.990，若總用水量為7.5個(gè)單位質(zhì)量，則清潔度達(dá)不到0.990．【詳解】（Ⅰ）表格如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函數(shù)圖象如下：

由圖象可得，當(dāng)?shù)谝淮斡盟考s為4個(gè)單位質(zhì)量（精確到個(gè)位）時(shí)，總用水量最?。唬?）當(dāng)采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時(shí)，用水量為7.7個(gè)單位質(zhì)量，19-7.7=11.3，即可節(jié)水約11.3個(gè)單位質(zhì)量；（2）由圖可得，當(dāng)?shù)谝淮斡盟繛?個(gè)單位質(zhì)量，總用水量超過(guò)8個(gè)單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度能達(dá)到0.990，第一次用水量為6個(gè)單位質(zhì)量，總用水量為7.5個(gè)單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度，故答案為：<．26．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱軸即可求解；（2）根據(jù)題意可得離對(duì)稱軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，根據(jù)對(duì)稱性求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵對(duì)于，有，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵拋物線的對(duì)稱軸為．∴；（2）解：∵當(dāng)，，∴，，∵，，∴離對(duì)稱軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴，即．27．(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長(zhǎng)到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點(diǎn)；（2）；證明：如圖2，延長(zhǎng)到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

28．(1)，；(2)或．【分析】（1）根據(jù)題目中關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義并分情況討論計(jì)算即可；（2）根據(jù)，兩點(diǎn)來(lái)求最值情況，S共有2種情況，分別位于點(diǎn)M和經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的的垂直平分線上，運(yùn)用相似三角形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：①由關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義可知，若直線中一經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，另一條是的切線，則稱點(diǎn)C是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∵點(diǎn)，，，，，∴直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與相切，∴是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，又∵和橫坐標(biāo)相等，與都位于直線上，∴與相切，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∴是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．②∵，，設(shè)，如下圖所示，共有兩種情況，a、若與相切，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，則、所在直線為：，解得：，∴，b、若與相切，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，則、所在直線為：，解得：，∴，綜上，．（2）解：∵線段上一點(diǎn)S，存在的弦，使得點(diǎn)S是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，又∵弦隨著S的變動(dòng)在一定范圍內(nèi)變動(dòng)，且，，，∴S共有2種情況，分別位于點(diǎn)M和經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的的垂直平分線上，如圖所示，①當(dāng)S位于點(diǎn)時(shí)，為的切線，作，∵，的半徑為1，且為的切線，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴根據(jù)勾股定理得，，根據(jù)勾股定理，，同理，，∴當(dāng)S位于點(diǎn)時(shí)，的臨界值為和．②當(dāng)S位于經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的的垂直平分線上即點(diǎn)K時(shí)，∵點(diǎn)，，∴，∴，又∵的半徑為1，∴，∴三角形為等邊三角形，∴在此情況下，，，∴當(dāng)S位于經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的的垂直平分線上即點(diǎn)K時(shí)，的臨界值為和，∴在兩種情況下，的最小值在內(nèi)，最大值在，綜上所述，t的取值范圍為或，

2022年北京中考數(shù)學(xué)試題及答案第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.下面幾何體中，是圓錐的為（）A. B. C. D.【參考答案】B2.截至2021年12月31日，長(zhǎng)江干流六座梯級(jí)水電站全年累計(jì)發(fā)電量達(dá)2628．83億千瓦時(shí)，相當(dāng)于減排二氧化碳約2.2億噸．將262883000000用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示應(yīng)為（）A. B. C. D.【參考答案】B3.如圖，利用工具測(cè)量角，則的大小為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【參考答案】A4.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【參考答案】D5.不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外兩個(gè)小球無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（）A. B. C. D.【參考答案】A6.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【參考答案】C7.圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（）A. B. C. D.【參考答案】D8.下面的三個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時(shí)間x；②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時(shí)間x；③用長(zhǎng)度一定的繩子圍成一個(gè)矩形，矩形的面積y與一邊長(zhǎng)x，其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【參考答案】A第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是___________．【參考答案】x≥8【詳解】解：由題意得：x-8≥0，解得：x≥8．故答案為：x≥8．10.分解因式：______．【參考答案】【詳解】故答案為：．11.方程的解為___________．【參考答案】x=5【詳解】解：方程的兩邊同乘x(x+5),得：2x=x+5,解得：x=5,經(jīng)檢驗(yàn)：把x=5代入x(x+5)=50≠0.故原方程的解為：x=512.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則______（填“>”“=”或“<”）【參考答案】＞【詳解】解：∵k>0，∴在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，，∴>．故答案為：>．13.某商場(chǎng)準(zhǔn)備進(jìn)400雙滑冰鞋，了解了某段時(shí)間內(nèi)銷售的40雙滑冰鞋的鞋號(hào)，數(shù)據(jù)如下：鞋號(hào)353637383940414243銷售量/雙2455126321根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該商場(chǎng)進(jìn)鞋號(hào)需求最多的滑冰鞋的數(shù)量為________雙．【參考答案】120【詳解】解：根據(jù)題意得：39碼的鞋銷售量為12雙，銷售量最高，∴該商場(chǎng)進(jìn)鞋號(hào)需求最多的滑冰鞋的數(shù)量為雙．故答案為：12014.如圖，在中，平分若則____．【參考答案】1【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)F，∵平分，，，∴，∴．故答案為：1．15.如圖，在矩形中，若，則的長(zhǎng)為_______．【參考答案】1【詳解】解：在矩形中：，，∴，，∴，∴，故答案為：1．16.甲工廠將生產(chǎn)的I號(hào)、II號(hào)兩種產(chǎn)品共打包成5個(gè)不同的包裹，編號(hào)分別為A，B，C，D，E，每個(gè)包裹的重量及包裹中I號(hào)、II號(hào)產(chǎn)品的重量如下：包裹編號(hào)I號(hào)產(chǎn)品重量/噸II號(hào)產(chǎn)品重量/噸包裹的重量/噸A516B325C235D437E358甲工廠準(zhǔn)備用一輛載重不超過(guò)19.5噸的貨車將部分包裹一次運(yùn)送到乙工廠．（1）如果裝運(yùn)的I號(hào)產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一中滿足條件的裝運(yùn)方案________（寫出要裝運(yùn)包裹的編號(hào)）；（2）如果裝運(yùn)的I號(hào)產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時(shí)裝運(yùn)的II號(hào)產(chǎn)品最多，寫出滿足條件的裝運(yùn)方案________（寫出要裝運(yùn)包裹的編號(hào)）．【參考答案】①.ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）②.ABE或BCD【詳解】解：（1）根據(jù)題意，選擇ABC時(shí)，裝運(yùn)的I號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇ABE時(shí)，裝運(yùn)的I號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇AD時(shí)，裝運(yùn)I號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇ACD時(shí)，裝運(yùn)的I號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇BCD時(shí)，裝運(yùn)的I號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；選擇DCE時(shí)，裝運(yùn)的I號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），不符合要求；選擇BDE時(shí)，裝運(yùn)的I號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸），總重（噸），不符合要求；綜上，滿足條件的裝運(yùn)方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．故答案為：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）．（2）選擇ABC時(shí)，裝運(yùn)的II號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸）；選擇ABE時(shí)，裝運(yùn)的II號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸）；選擇AD時(shí)，裝運(yùn)的II號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸）；選擇ACD時(shí)，裝運(yùn)的II號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸）；選擇BCD時(shí)，裝運(yùn)的II號(hào)產(chǎn)品重量為：（噸）；故答案為：ABE或BCD．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，每題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題