2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高二年級一調(diào)考試

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知/=卜|—gwsinxWl1,N=[L，O,11，則()

2.在平行六面體—4與G〃中，M為NC與8。的交點(diǎn)，若病=a,=~A^A=c,則

下列向量中與萬而相等的向量為()

?「11

A.—aH—brc-Bc.—-aH—bT+c-

2222

八1-1f-n1-1-

C.la—b+cD.——a——b+c

2222

3.若函數(shù)/(x)在［2,+oo)上單調(diào)遞減且對任意xeR滿足/(I+x)=/(3-%),則不等式

/(3'一2)〉/(4)的解集是()

A.|-oo,-|U(2,+oo)B.|-oo,—C.(2,+oo)

4.在四棱錐尸-4BCD中，底面48C。是邊長為3的正方形，尸底面45CD,PA=6,點(diǎn)G在側(cè)

棱必上，且滿足2PG=G8,則異面直線PC和。G的距離為()

、3V14宣3V15「3V21c3777

A.-------B.-------C.-------D.-------

1415777

5.空間中有三點(diǎn)/(0,0,0),C(-l,-2,l),且】=(—1,1,1)為平面4BC的一個(gè)法向量，則以

AB、NC為鄰邊的平行四邊形的面積為()

A.—B.3A/^~c.3D.3-\/3

22

6.在矩形48CD中，AB=2,AD=243,沿對角線/C將矩形折成一個(gè)大小為。的二面角

B-AC-D,當(dāng)點(diǎn)5與點(diǎn)。之間的距離為3時(shí)，cos9=()

1111

A.—B.—C.——D.——

3636

7.邊長為1的正方體45CD—481G2中，E,尸分別是24，4乙的中點(diǎn)，M是。8靠近點(diǎn)8的四等

分點(diǎn)，尸在正方體內(nèi)部或表面，DP-(EF+MF)=0,貝修麗|的最大值是()

A.1B.V3C.V2

8.已知點(diǎn)N,B,C,D,P,。都在同一個(gè)球而上，45CO為正方形，若直線尸0經(jīng)過球心，且尸。，平面

4BCD.則異而直線尸4所成的角的聶小值為()

A.60°B.45°C.30°D.15°

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.己知2=(0,1,1),6=(0,0,-1),則)在B上的投影向量為[o,—g]

B.若兩個(gè)不同平面a,夕的法向量分別是「，v,且】=(2,0,4),v=(-4,0,-8),則a〃尸

—?2—?3—?3—?

C.若0G=—。4+108+二。。，貝UN,B,C,G四點(diǎn)共面

555

D.若向量P=機(jī)x+〃y+左2,(x,y,z都是不共線的非零向量)則稱夕在基底｛x,y,z｝下的坐標(biāo)為

(m,〃,k),若方在單位正交基底｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為(1,2,3),則，在基底伍-3方+下的坐標(biāo)為

10.如圖所示是一個(gè)以48為直徑，點(diǎn)S為圓心的半圓，其半徑為4,尸為線段NS的中點(diǎn)，其中C、D、E

是半圓圓周上的三個(gè)點(diǎn)，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍成上一個(gè)以S為頂點(diǎn)的圓

錐的側(cè)面，則關(guān)于此圓錐，下列說法不正確的是()

A.4CEF為正三角形8.64，平面?！陱S

C.SQ〃平面CEFD.點(diǎn)D到平面CEF的距離為26)

11.如圖，點(diǎn)尸是邊長為2的正方體48。。一4片。。］的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則()

A.當(dāng)點(diǎn)尸在側(cè)面ABCC上時(shí)，四棱錐尸-44］。］。的體積為定值

—?1—■1—.1—.

B.存在這樣的點(diǎn)尸，使得4P=—48+—ZQ+—Z4

222

C.當(dāng)直線NP與平面48C。所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡長度為兀+4J5

4V35

D.當(dāng)4P=空￡■時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡長度為少士

33

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若復(fù)數(shù)2滿足Z+31=8+2",則|2|=.

13.空間內(nèi)四點(diǎn)/(0,0,0),5(1,0,0),C-,^-,0,?？梢詷?gòu)成正四面體，則40=.

14.如圖，在正方體4BCD—451GA中，40=4,點(diǎn)E,尸分別為其男，8片的中點(diǎn)，則平面EEQ截

正方體所得截面面積為,動(dòng)點(diǎn)尸滿足刀=》益+了1萬+zN%,且x+y+2z=g,則當(dāng)

|AP|取得取小值時(shí)二面角A.-AD-P的余弦值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架4BCD,4BEF的邊長都是2,且它們所在的平面互相垂直.

活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對角線NC和5尸上移動(dòng)，且M4和NF的長度保持相等，記

MA=NF=a（0<a<26）.

（1）求"N的長；

（2）當(dāng)MN的長最小時(shí)，求平面跖\%與平面跖V3夾角的余弦值.

16.（本小題滿分15分）

如圖，已知多面體48CD—451GA的底面48CD是菱形，側(cè)棱8片，底面45CQ,且

cq=2歷=4函=4皿.

B

(1)證明：A.C1BD；

（2）若NC=2G，BB}=\,ZABC=120°,求直線BC與平面與。，所成的角的正弦值.

17.（本小題滿分15分）

如圖所示，在長方體Z8C?！?4cl2中，AD=\,AA{=AB=2,M為棱。'的中點(diǎn).

(1)若尸是線段8M上的動(dòng)點(diǎn)，試探究：4〃?40是否為定值？若是，求出該定值；否則，請說明理

由；

(2)過4M作該長方體外接球的截面，求截面面積的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)

如圖，三棱臺48C—4gG，ABLBC,AC±BB{,平面45呂4，平面45C,

AB=6,8c=4,84=2,2。與4。相交于點(diǎn)。，~AE=2EB,且DE〃平面5CG4.

(2)平面45c與平面48c所成角為a,CQ與平面45c所成角為尸，求a+"的值.

19.(本小題滿分17分)

如圖1,在平行四邊形Z5CD中，AB=2BC=4,ZABC=60°,E為CD的中點(diǎn)，將△ZQE沿/￡

折起，連接3。與CD,得到的四棱錐如圖2.

圖1圖2

(1)當(dāng)AD為何值時(shí)，平面4DEL平面48CE?

(2)設(shè)麗=4麗(0</41),當(dāng)5E_LQE時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)4,使得直線//與平面48CE所成角

的正弦值為'迎？若存在，求出4的值；若不存在，請說明理由；

10

(3)當(dāng)三棱錐8-CQE的體積最大時(shí)，求三棱錐。-Z8E的內(nèi)切球的半徑.

月考卷參考答案

一、選接題

JTJTJT1717r

—,—,0,—卜中的兀表依次代入—VsinxKl驗(yàn)證，只有—，0,一滿足

{462]262

-1<sinx<l,所以MnN=1—故選C.

2.C【解析】因?yàn)樵谄叫辛骟w45CD—481GA中，

DM=^DB=^(DA+DC)=^(-A^D[+A^y所以

------——■——■—■1/——■——1——.1——.—-11

D.M=D,D+DM=A.A+-1-A,D,+A,B.A}=-A.B,——AD,+A,A=-a——b+c,故選C.

iii2、iii22

3.D【解祈】因?yàn)?(l+x)=/(3—x),所以/(x)的對稱軸為x=2,/(x)在(2,+s)單調(diào)遞減，則

/(x)在(—叫2)單調(diào)遞增，又因?yàn)?(3x—2)>/(4),由對稱性可得|3x-2-2|<|4-2],所以

2.

I3x—4]<2,—2<3x—4<2,—<x<2.故選D.

3

4.A【解析】如圖，以點(diǎn)2為原點(diǎn)，AB,AD,NA分別作為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則8(3,0,0),C(3,3,O),Z>(0,3,0),尸(0,0,6),6(1,0,4).所以麗=(1,—3,4),PC=(3,3,-6),

——.fn-DC=x-3y+4z=0

DC=(3,0,0),設(shè)方=(x,y,z)為直線PC和。G的公垂線的方向向量，則有<_'

ii-PC=3x+3y-6z=0

可取元=(1,3,2),所以異面直線PC和DG的距離為\DC'n\=J==.故選A.

\n\V1414

5.D【解析】平面45c的一個(gè)法向量為為=(—1,1,1),則為?方=(—1,1,1>(1,嘰2)=0,解得機(jī)=—1,

-?-?ABHe31

故8(1,—1,2),28=(1,—1,2),AC=(-1,-2,1),貝UcosZn=_==廠廠一,則

\AB\-\AC\V6-V62

sinA=A/1-COS2A=,則平行四邊形面積為;[48|?|/C|sin/x2=；xj^xV6x^-x2

=3A/J.故選D.

6.B【解析】分別作BEJ_/C,DF1AC,垂足為E,F,則8=〈麗,麗〉.由4S=2,AD=2^,

AD?DCr~—?—?—?—?

可得ZC=4,所以--------=J3,AE=CF=i,EF=2.因?yàn)锽D=BE+EF+FD,

AC

則|AD|2=BQ=《E+EF+FD）=BE+EF+FD+2BE-FD,即

9=3+4+3+2A/3-V3cos（?！?）,故cos8二」.故選B.

7.B【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x/,z),則0(0,0,0),E1L0，g}FQ,0.1J,

所以而=1—赤=[—1,—(,1)則而+赤=]—?,—:，1)因?yàn)?/p>

—?—??—?333Y+u

DP.(EF+MF)=0,又。尸=(x,y,z),所以——+=0,即2=-^,所以

|麗『=/+了2+22=/+了2,又04x〈l,Q<y<l,所以

/+/+1號wi+i+p|T|=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=i,止匕時(shí)2=1時(shí)，等號成立，所以|加|的最

大值是故選B.

8.A【解析】設(shè)球的半徑為R(R〉0),記48CD中心為。，因?yàn)?8CQ為正方形，直線尸。經(jīng)過球心,

且尸0，平西48CD.所以尸。過點(diǎn)。且尸0的中點(diǎn)為球心，設(shè)球心為G,以。為原點(diǎn)，OB、OC.0P分

別為x,y,z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-乎,

設(shè)OA=OB=OC=OD=r(r>0),G(0,0,。(一R<t<R),

則/(0,-r,0),5(r,0,0),P(O,O,R+t),Q(O,O,R-t),

所以百=(0,—r,—A—/),QB=(r,O,t-R),所以強(qiáng)?9=—(/+R)?—R)=R?—/,

所以|再|(zhì)=，,+(氏+/)2,|礪|=J/2+(R_Q2,

22

XOG+0B-=R,即/+/=氏2

所以cos(PA,QB)=P嗎=R2T：=

\■\QB\M+(R+t)2義++(區(qū)一)2

R2_72_J.2<R]

2R^R2-t22R~2R2,

—-—■1

當(dāng)且僅當(dāng)f=0時(shí)等號成立，設(shè)直線P403所成的角為a貝。cosa=|cos〈P408〉|V5,又

0°<?<90°,所以0mhi=60°.故選A.

二、選擇題

9.BD【解析】對于A,由于萬=(0,1,1),6=(0,0,-1),則方在B的投影向量為

-b

|a|cos〈N,6〉?話j二V2xX(0,0,—1)=(0,0,1),故A錯(cuò)誤;

對于B：若兩個(gè)不同平面a,7?的法向量分別是M,v,且M=(2,0,4),v=(-4,0,-8),-2u=v,則

all用故B正確;

233—?2—?3—?3—?

對于C：由于一+1+二片1,對于。G=—04+105+±0C,故/,B,C,G四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤;

555555

對于D：〃在單位正交基底伍下的坐標(biāo)為(1,2,3),即7二5+2否+3W=(1,2,3),所以方在基

底｛/一瓦。+3,己〉下滿足(1,2,3)=x(a-J)+y(a+B)+z"=(x+y)a+(y-x)b+zc

13

=(x+y/-x,z),故x+y=l,y-x=2,2=3,解得工二一務(wù)，y=—,z=3,則夕在基底

｛a-b,a+b,c｝下的坐標(biāo)為I，3),故D正確.故選BD.

10.ABD【解析】選項(xiàng)A,該半圓圍成的圓錐，如圖所示,

設(shè)四棱底面半徑為F,貝！1271r=4兀，：.r=2,CE=4,;E為NS的中點(diǎn)，。為40的中點(diǎn)，

FO//SD,且R9=2=」CE,，/。巫二鄉(xiāng)。。，為等腰直角三角形，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

2

選項(xiàng)B,若￡4,平面CEE,則NNR9=90。，直角△ZCE中，AO=OF=AF=2,

ZAFO=60°,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,?.?R9〃S￡>,尸Ou平面EFC,S?！ㄆ矫鍱EC,選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D,?.?(?￡，40,CELSO,r.CEL平面S4。，，平面CEFL平面￡4。，，。到直線尸。的

距離即為。到平面CEF的距離，又FO//SD,D到直線FO的距離等于。到直線SD的距離，為百,

選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選ABD.

H.ACD【解析】略

12.V7【解析】略

(FTrr\

13”.6—3J【解析】由已知正四西體4BC。的棱長為1,所以。的豎坐標(biāo)為正四面體的高,

的外接圓半徑為L=所以正四面體的高為A/6

—,而橫坐標(biāo)，縱坐

2sin60033

1e

0+1+-]0+0+—h

標(biāo)即底面三角形4BC的重心坐標(biāo)，巧，=------2=—,yD=--------2_=—,所以

口3236

(1V3

,故答案為.［只寫對一個(gè)不給分］

〔263J(263J

14.18；-----【解析】略

5

四、解答題

15.解：(1)由題意可知，直線5C、BE、54兩兩垂直，以5原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,0,0),C(0,0,2),尸(2,2,0),￡(0,2,0),

(

因?yàn)?NF=a,所以M2-42-正，2-正,。］

所以|跖V|=-2缶+4.

(2)|7W|=荷一2缶+4=J(a-揚(yáng)2+2,當(dāng)&=拒時(shí)，|肱V|最小.

此時(shí)，M,N為AC、3廠的中點(diǎn)，則〃(1,0,1),N(l,l,0),取MTV的中點(diǎn)G,連接NG,BG,

則,因?yàn)?BM=BN,所以ZGLJW,BGA.MN.

所以NZG5是平面MNA與平面MNB的夾角或其補(bǔ)角,

因?yàn)榈?11,—；

—■—■GAGB

所以cos〈G4GB)=———

\GA\-\GB\3

所以平面MNA與平面MNB夾角的余弦值是

3

16.解：(1)因?yàn)?元《=4函，所以54〃幺4,

又因?yàn)?，平?8CD,所以44］，平面48CD,

又因?yàn)锽Du平面48CD,所以幺4,8。，

因?yàn)樗倪呅?5CQ是菱形，所以ADJ.ZC,

又因?yàn)镹Cn44］=Z，AC,Z4u平面幺4C,所以8。，平面幺耳。，

又因?yàn)?c平面N4C,所以AD，4c.

(2