2025年中考數(shù)學復習新題速遞之一元二次方

選擇題（共10小題）

1.（2024?青秀區(qū)校級開學）下列方程是關于尤的一元二次方程的是（）

A.2/-3x+l=0B.3x+2y=0

?1

C.3x-2=0D.x2--+2=0

x

2.（2024秋?花都區(qū)校級月考）對于一元二次方程2x2+1=3x,下列說法錯誤的是（）

A.二次項系數(shù)是2B.一次項系數(shù)是-3尤

C.常數(shù)項是1D.x=l是它的一個根

3.（2024秋?花都區(qū)校級月考）用配方法解一元二次方程/-2x=l,配方后的結果是（）

A.（x-I）2=|B.（2x-1）2=0

C.（x-1）2=2D.（x+2）2=|

4.（2024?重慶一模）“讀萬卷書，行萬里路.”某校為了豐富學生的閱歷知識，堅持開展課外閱讀活動，

學生人均閱讀量從七年級的每年100萬字增加到九年級的每年121萬字.設該校七至九年級人均閱讀量

年均增長率為x,則可列方程為（）

A.100（1+x）2=121

B.100（1+x%）2=121

C.100（l+2x）=121

D.100+100（1+x）+100（1+無）2=121

5.（2023秋?攀枝花期末）下列說法中，正確的是（）

B.Vab=Va-Vb

C.方程/+x-2=0的根是xi=-1,無2=2

D.—1尸—x—1

6.（2023秋?攀枝花期末）若x=-1是關于尤的一元二次方程a^+bx-1=0的一個根.則2024-2a+2b

的值為（）

A.2019B.2020C.2022D.2023

7.（2024?荔灣區(qū)校級開學）已知方程匕2+2尤-1=0有實數(shù)根，則上的取值范圍是（）

A.后-1B.后1C.ZW1且左W0D.左2-1且公￡0

8.（2024?青秀區(qū)校級開學）某農機廠四月份生產零件25萬個，第二季度共生產零件91萬個.設該廠五、

六月份平均每月的增長率為x,那么無滿足的方程是（）

A.25（1+無）2=182

B.25+25（1+龍）+25（l+2x）=91

C.25（l+2x）=91

D.25+25（1+x）+25（1+無）2=91

9.（2023秋?蘇家屯區(qū)校級月考）如果關于x的一元二次方程（機-3）x2+3x+："2-9=0有一個解是o,那

么m的值是（）

A.3B.-3C.±3D.0或-3

10.（2023秋?衛(wèi)輝市期末）菱形ABC。的邊長是5,兩條對角線交于。點，且A。，2。的長分別是關于x

的方程/+（2/7!-1）龍+川+3=0的根，則m的值為（）

A.-3B.5C.5或-3D.-5或3

填空題（共5小題）

11.（2024?荔灣區(qū)校級開學）已知（6-1）%療+1+3久-5=0是關于x的一元二次方程，則m的值

為.

12.（2024秋?新城區(qū)校級月考）一元二次方程?-2x-1=0有兩個實根（填“相等”或“不

等”）.

13.（2024?荔灣區(qū)校級開學）若關于x的一元二次方程a/+6x+c=0QW0）的兩根分別為xi=3,X2=-

2,則方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0（aWO）的兩根分別為.

14.（2024?青秀區(qū)校級開學）若一元二次方程7-2x-3=0的兩根分別為a,b,則a+b=.

15.（2024?官渡區(qū)開學）若xi,%2是方程3/+2尤-2=0的兩個根，貝！］好+以=.

三.解答題（共5小題）

16.（2024?東城區(qū)校級開學）已知a是方程27-5x-3=0的一個根，求代數(shù)式a（2a-5）+3的值.

17.（2024?西市區(qū)校級模擬）某公司2月份銷售新上市的A產品20套，由于該產品的經濟適用性，銷量

快速上升，4月份該公司銷售A產品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同.

（1）求該公司銷售A產品每次的增長率；

（2）若A產品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采取適當?shù)?/p>

降價措施，經調查發(fā)現(xiàn)，A產品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份

要獲利70萬元，則每套A產品需降價多少？

18.（2023秋?涼州區(qū)校級期末）解方程:

(1)x2-2x-2=0；

(2)4尤(2尤-1)=3(2尤-1).

19.(2024?肇源縣開學)已知關于x的一元二次方程(2租+1)尤+加2-2=0有兩個實數(shù)根分別為a,0,

(1)求機的取值范圍；

(2)a2+p2=ll,求機的值.

20.(2024?亭湖區(qū)三模)三星堆遺址被稱為20世紀人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，昭示了長江流域與黃河

流域一樣，同屬中華文明的母體，被譽為“長江文明之源”.為更好的傳承和宣傳三星堆文化，三星堆

文創(chuàng)館一次次打破了自身限定，讓文創(chuàng)產品充滿創(chuàng)意.已知文創(chuàng)產品“青銅鳥文創(chuàng)水杯”有A,B兩個

系列，A系列產品比8系列產品的售價低5元，100元購買A系列產品的數(shù)量與150元購買8系列產品

的數(shù)量相等.按定價銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：8系列產品按定價銷售，每天可以賣50件，若8系列產品

每降1元，則每天可以多賣10件.

(1)A系列產品和2系列產品的單價各是多少？

(2)為了使2系列產品每天的銷售額為960元，而且盡可能讓顧客得到實惠，求B系列產品的實際售

價應定為多少元/件？

2025年中考數(shù)學復習新題速遞之一元二次方程（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?青秀區(qū)校級開學）下列方程是關于％的一元二次方程的是（）

A.2x2-3x+l=0B.3x+2y=0

01

C-3x2=。D./二+2=0

【考點】一元二次方程的定義.

【專題】一元二次方程及應用.

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可解決問題.

【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義可知，

2*-3x+l=0只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2,

故A選項符合題意.

3x+3y=0含有兩個未知數(shù)，

故2選項不符合題意.

3x-2=0只含有一個未知數(shù)，但未知數(shù)的最高次數(shù)為1,

故C選項不符合題意.

/-1+2=0只含有一個未知數(shù)，但不是整式方程，

故。選項不符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定義是解題的關鍵.

2.（2024秋?花都區(qū)校級月考）對于一元二次方程2x2+1=3x,下列說法錯誤的是（）

A.二次項系數(shù)是2B.一次項系數(shù)是-3尤

C.常數(shù)項是1D.x=l是它的一個根

【考點】一元二次方程的一般形式.

【專題】一元二次方程及應用.

【答案】B

【分析】首先將原式化為一般式，然后根據(jù)一元二次方程的定義以及解的定義進行分析即可.

【解答】解：原方程一般式為：2?-3x+l=0,

二次項系數(shù)是2,一次項系數(shù)是-3,常數(shù)項是1,A、C正確，8錯誤，

當x=l時，2Xp+i=3,.\=1是它的一個根，。正確，

故選：B.

【點評】本題考查一元二次方程的定義及其解的定義，理解一元二次方程的一般式，以及相應基本概念

是解題的關鍵.

3.(2024秋?花都區(qū)校級月考)用配方法解一元二次方程7-2x=l,配方后的結果是()

A.(x—I/=|B.(2x-1)2=0

C.(x-1)2=2D.(久+2)2=|

【考點】解一元二次方程-配方法.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】C

【分析】將二次項系數(shù)化為1,兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可.

【解答】解：：X2-2X=1,

.'.x2-2x+l=l+l,

即(x-1)2=2,

故選：C.

【點評】本題考查用配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解題的關鍵.

4.(2024?重慶一模)“讀萬卷書，行萬里路.”某校為了豐富學生的閱歷知識，堅持開展課外閱讀活動，

學生人均閱讀量從七年級的每年100萬字增加到九年級的每年121萬字.設該校七至九年級人均閱讀量

年均增長率為x,則可列方程為()

A.100(1+x)2=121

B.100(1+x%)2=121

C.100(l+2x)=121

D.100+100(1+x)+100(1+無)2=121

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應用；應用意識.

【答案】A

【分析】增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量X(1+增長率)，如果設該校七至九年級人均閱

讀量年均增長率為x,根據(jù)題意即可列出方程求解.

【解答】解：設該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為X,

根據(jù)題意得100(1+x)2=121.

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，掌握為增長率問題的一般形式為a（1+x）2=b,。為起始時

間的有關數(shù)量，b為終止時間的有關數(shù)量是解決問題的關鍵.

5.（2023秋?攀枝花期末）下列說法中，正確的是（

,a+bc+d-,ac

A-如m果丁=丁’那么1d

B.Vab=y/a.■Vb

C.方程/+x-2=0的根是xi=-1,無2=2

D.J(x■-I——x—1

【考點】解一元二次方程-因式分解法；比例的性質；二次根式的性質與化簡；二次根式的乘除法.

【專題】計算題.

【答案】A

【分析】A、等式兩邊利用同分母分數(shù)加法逆運算法則變形得到結果，即可做出判斷；

B、當。與6都小于0時，原式不成立；

C、利用因式分解法求出方程的解，即可做出判斷；

。、利用二次根式的化簡公式計算得到結果，即可做出判斷.

【解答】解：A、上券=變形得：+1=+1,即2=E，本選項正確；

bd匕abd

B、當〃20,b20時，Vab—4a*y]b,本選項錯誤；

C、方程因式分解得：（x-1）（x+2）=0,解得：xi=l,X2=-2,本選項錯誤；

D、J（X-1）2=|x-1],本選項錯誤，

故選：A.

【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，二次根式的性質與化簡，二次根式的乘除法，以及

比例的性質，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

6.（2023秋?攀枝花期末）若x=-1是關于x的一元二次方程a^+bx-1=0的一個根.則2024-2a+26

的值為（）

A.2019B.2020C.2022D.2023

【考點】一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】c

【分析】把x=-1代入"^法-1=0,得至Ija,b的等式，轉化為求代數(shù)式的值問題即可.

【解答】解：把x=-1代入蘇+灰-1=0,

得a-b-1=0,

故a-b=l,

；.2O24-2a+2b=2024-2(a-b)=2022,

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程解的定義，即使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，轉化求解是解題的

關鍵.

7.(2024?荔灣區(qū)校級開學)已知方程區(qū)2+2x-1=0有實數(shù)根，則上的取值范圍是()

A.k2-1B.kAC.%W1且％WOD.左2-1且上二0

【考點】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應用；推理能力.

【答案】A

【分析】當上=0時，方程化為一元一次方程，有一個實數(shù)解；當上W0時，根據(jù)根的判別式的意義得到

A=22-4kX(-1)>0,解得欄-1且20,然后綜合兩種情況得到k的取值范圍.

【解答】解：當左=0時，方程化為2%-1=0,

解得％=

當上W0時，貝IJA=22-4%X(-1)20,

解得上N-1且k￥0,

綜上所述，k的取值范圍為-1.

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，能根據(jù)題意進行分類討論是解題的關鍵.

8.(2024?青秀區(qū)校級開學)某農機廠四月份生產零件25萬個，第二季度共生產零件91萬個.設該廠五、

六月份平均每月的增長率為x,那么無滿足的方程是()

A.25(1+x)2=182

B.25+25(1+龍)+25(l+2x)=91

C.25(l+2x)=91

D.25+25(1+x)+25(l+.r)2=91

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】D

【分析】設該廠五、六月份平均每月的增長率為x,則五月份生產零件25(1+x)個，六月份生產零件

25(1+x)2個，根據(jù)“第二季度共生產零件91萬個”即可列出方程.

【解答】解：設該廠五、六月份平均每月的增長率為無，根據(jù)題意，

得25+25(1+x)+25(1+x)2=91.

故選：D.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的

關鍵.

9.(2023秋?蘇家屯區(qū)校級月考)如果關于x的一元二次方程(m-3)x2+3x+/〃2-9=0有一個解是0,那

么m的值是()

A.3B.-3C.±3D.0或-3

【考點】一元二次方程的解；一元二次方程的定義.

【專題】一元二次方程及應用.

【答案】B

【分析】把x=0代入方程(m-3)x2+3x+m2-9=0中，解關于m的一元二次方程，注意m的取值不

能使原方程對二次項系數(shù)為0.

【解答】解：把x=0代入方程(m-3)/+3苫+加2-9=0中，得

H?-9=0,

解得m=-3或3,

當％=3時，原方程二次項系數(shù)m-3=0,舍去，

故選：B.

【點評】本題考查的是一元二次方程解的定義.能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，同時，考

查了一元二次方程的概念.

10.(2023秋?衛(wèi)輝市期末)菱形ABC。的邊長是5,兩條對角線交于。點，且A。，8。的長分別是關于x

的方程/+(2/7!-1)龍+川+3=0的根，則m的值為()

A.-3B.5C.5或-3D.-5或3

【考點】根與系數(shù)的關系；菱形的性質.

【專題】方程與不等式.

【答案】A

【分析】由題意可知：菱形的邊長是5,則AO1+BO2=25,則再根據(jù)根與系數(shù)的關系可得：AO+BO

=-2m+\,機2+3；代入中，得到關于機的方程后，求得機的值.

【解答】解：由勾股定理可得：AC^+BO2=25,

又有根與系數(shù)的關系可得：AO+BO=-2m+l,AO-BO=irr+3

：.A02+BO1=(AO+BO)2-2AO-BO=(-2/ra+l)2-2(m2+3)=25,

整理得：》?-2m-15=0,

解得：機=-3或5.

又,：&>0,

(2m-1)2-4(加2+3)>o,解得相v—學，

m--3,

故選：A.

【點評】此題考查根與系數(shù)問題，將菱形的性質與一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及代數(shù)式變形相結

合解題是一種經常使用的解題方法.

二.填空題(共5小題)

11.(2024?荔灣區(qū)校級開學)已知(m-l)xm2+1+3%-5=0是關于x的一元二次方程，則m的值為

1.

【考點】一元二次方程的定義.

【專題】一元二次方程及應用；推理能力.

【答案】7.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出關于機的等式及不等式，據(jù)此可解決問題.

【解答】解：由題知,

m2+l=2,且機-1W0,

解得m=-1.

故答案為：-1.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定義是解題的關鍵.

12.(2024秋?新城區(qū)校級月考)一元二次方程7-2x-1=0有兩個不等實根(填“相等”或“不等”).

【考點】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】不等.

【分析】利用根的判別式A=廬-4ac進行判斷即可.

【解答】解：1=0,

A-4ac=(-2)2-4X1X(-1)=8>0

該方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故答案為：不等.

【點評】此題主要考查一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程根的判別式(A=b2-4ac)可

以判斷方程的根的情況：一元二次方程的根與根的判別式有如下關系：①當△>()時，方程有兩個不

相等的實數(shù)根；②當八=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當△<()時，方程無實數(shù)根.上述結論反

過來也成立.

13.(2024?荔灣區(qū)校級開學)若關于x的一元二次方程(aWO)的兩根分別為xi=3,x2=-

2,則方程a(x-1)2+b(尤-1)+c=0(aWO)的兩根分別為xi=4,%2=T.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】尤1=4,X2=-1.

【分析】把方程a(X-1)2+b(X-1)+c=0中的X-1看成一個新的未知數(shù)，則關于尤-1的方程的解

等于關于x的一元二次方程ax1+bx+c=O的解.

【解答】解：：a?+6x+c=0(aWO)的兩根分別為無1=3,x2=-2,

...關于尤-1的方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0(a/0)的解為：尤-1=3或x-1=-2,

解得：XI=4,X2=-1,

故答案為：xi=4,X2=-1.

【點評】本題考查一元二次方程的解的概念，關鍵是理解一元二次方程的解的概念.

14.(2024?青秀區(qū)校級開學)若一元二次方程/-2x-3=0的兩根分別為a,b,則a+b=2.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】2.

【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關系求解.

【解答】解：二.一元二次方程7-2尤-3=0的兩根分別為a,b

?'?a+b=—j—=2.

故答案為：2

2,

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若xi,X2是一元二次方程ax+Z?x+c=O（〃WO）的兩根時,xr+x2=

bc

，X-iXn——.

a12a

16

15.（2024?官渡區(qū)開學）若xi,眼是方程3/+2x-2=0的兩個根，則*+依=g.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】.

【分析】根據(jù)尤1,X2是方程3/+2『2=0的兩個根，可以得到尤1+X2=—多X1X2^-I，然后將所求式

子變形，再將無1+X2=-|,X1X2=—|代入計算即可.

【解答】解：?.?尤1,X2是方程3/+2X-2=0的兩個根，

Xl+%2=一a，X1X2=一我，

+%2

=（X1+X2）2-2X1X2

=（一|）2-2X（-1）

44

-+-

93

4

-192

9

1

6

9

故答案為：—.

9

【點評】本題考查根與系數(shù)的關系，解答本題的關鍵是明確尤1+無2=-1尤02=2

三.解答題（共5小題）

16.（2024?東城區(qū)校級開學）已知a是方程2?-5元-3=0的一個根，求代數(shù)式a（2a-5）+3的值.

【考點】一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】6.

【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到2/-5a=3,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：是方程2尤2-5%-3=0的一個根，

2cz2-5a-3=0,

/.2cr-5a=3,

.'.a（2a-5）+3=2a2-5i7+3=3+3=6.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程

的解.

17.（2024?西市區(qū)校級模擬）某公司2月份銷售新上市的A產品20套，由于該產品的經濟適用性，銷量

快速上升，4月份該公司銷售A產品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同.

（1）求該公司銷售A產品每次的增長率；

（2）若4產品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采取適當?shù)?/p>

降價措施，經調查發(fā)現(xiàn)，A產品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份

要獲利70萬元，則每套A產品需降價多少？

【考點】一元二次方程的應用.

【專題】方程思想；一元二次方程及應用；應用意識.

【答案】（1）該公司銷售A產品每次的增長率為50%；

（2）每套A產品需降價1萬元.

【分析】（1）設該公司銷售A產品每次的增長率為為根據(jù)2月份及4月份該公司A產品的銷售量，即

可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；

（2）設每套A產品需降價y萬元，則平均每月可售出（30+備X20）套，根據(jù)總利潤=每套的利潤X

銷售數(shù)量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結論.

【解答】解：（1）設該公司銷售A產品每次的增長率為x,

依題意，得：20（1+x）2=45,

解得：入1=0.5=50%,X2=-2.5（不合題意，舍去）.

答：該公司銷售A產品每次的增長率為50%.

（2）設每套A產品需降價y萬元，則平均每月可售出（30+備X20）套，

依題意，得：（2-y）（30+備X20）=70,

整理,得：4y2-5y+l=0,

解得：yi=I，"=1.

???盡量減少庫存,

，y=l.

答：每套A產品需降價1萬元.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

18.(2023秋?涼州區(qū)校級期末)解方程：

(1)x2-2x-2=0；

(2)4x⑵-1)=3(2x-1).

【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】(1)xi=l+V3,X2=l-V3；

13

(2)X\=2,X2=

【分析】(1)利用配方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)V?-2x-2=0,

-2x=2,

-1x+1=2+1,

(X-1)2=3,

".x-1=±V3,

.'.xi=l+V3,X2=l一百；

(2)V4.r(2尤-1)=3(2尤-1),

：.4x(2x-1)-3(2x-1)=0,

貝U⑵-1)(4x-3)=0,

.'.2x-1=0或4x-3=0,

解得Xl=:,尤2=

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方

法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵.

19.(2024?肇源縣開學)已知關于尤的一元二次方程⑵%+1)龍+廿-2=0有兩個實數(shù)根分別為a,0,

(1)求相的取值范圍；

(2)若a2+仍=]],求m的值.

【考點】根與系數(shù)的關系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式.

【專題】判別式法；一元二次方程及應用；運算能力.

9

答案-

4

(2)m=l.

【分析】(1)由方程有兩個實數(shù)根，可得出八=4m+920,解之即可得出機的取值范圍；

(2)利用根與系數(shù)的關系，可得出a+B=2〃?+l,-2,結合式2+伊=11,可得出關于根的一元

二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.

【解答】解：(1).??關于x的一元二次方程x2-(2加+1)X+M?-2=0有兩個實數(shù)根，

AA=[-(2m+l)I2-4X1X(m2-2)=4m+930,

9

-

4

Q

：.m的取值范圍為m>—五；

(2)?.?關于x的一元二次方程(2加+1)/〃，-2=0有兩個實數(shù)根分別為式，p,

/.a+p=2/7Z+La,p=/772-2,

*.'a2+p2=(a+p)2-2a邛=11,

(2m+1)2-2Cm2-2)=11,

.'.m2+2m-3=0,

解得：=7712=-3(不符合題意，舍去)，

m的值為1.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系、根的判別式以及解一元二次方程，解題的關鍵是：(1)牢記“當

A20時，方程有兩個實數(shù)根”；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系及9+伊=11,找出關于機的一元二次方程.

20.(2024?亭湖區(qū)三模)三星堆遺址被稱為20世紀人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，昭示了長江流域與黃河

流域一樣，同屬中華文明的母體，被譽為“長江文明之源”.為更好的傳承和宣傳三星堆文化，三星堆

文創(chuàng)館一次次打破了自身限定，讓文創(chuàng)產品充滿創(chuàng)意.已知文創(chuàng)產品“青銅鳥文創(chuàng)水杯”有A,B兩個

系列，A系列產品比2系列產品的售價低5元，100元購買A系列產品的數(shù)量與150元購買B系列產品

的數(shù)量相等.按定價銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：B系列產品按定價銷售，每天可以賣50件，若2系列產品

每降1元，則每天可以多賣10件.

(1)A系列產品和B系列產品的單價各是多少？

(2)為了使8系列產品每天的銷售額為960元，而且盡可能讓顧客得到實惠，求B系列產品的實際售

價應定為多少元/件？

【考點】一元二次方程的應用；分式方程的應用.

【專題】分式方程及應用；一元二次方程及應用；應用意識.

【答案】見試題解答內容

【分析】（1）設A系列產品的單價是x元/件，則8系列產品的單價是（x+5）元/件，利用數(shù)量=總價

?單價，結合100元購買A系列產品的數(shù)量與150元購買8系列產品的數(shù)量相等，可列出關于尤的分

式方程，解之經檢驗后可得出A系列產品的單價，再將其代入（x+5）中，即可求出8系列產品的單價；

（2）設B系列產品的實際售價應定為y元/件，則每天可以賣（200-10y）件，利用銷售總額=銷售單

價義銷售數(shù)量，可列出關于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再結合要盡可能讓顧客得到實惠，

即可確定結論.

【解答】解：（1）設A系列產品的單價是x元/件，則8系列產品的單價是（尤+5）元/件，

一.100150

根據(jù)題顯得：=

xx+5

解得：龍=10,

經檢驗，x=10是所列方程的解，且符合題意，

...x+5=10+5=15（元）.

答：A系列產品的單價是10元/件，2系列產品的單價是15元/件；

（2）設8系列產品的實際售價應定為y元/件，則每天可以賣50+10（15-j）=（200-10y）件，

根據(jù)題意得：y（200-10y）=960,

整理得：y2-20y+96=0,

解得：yi=8,”=12,

又???要盡可能讓顧客得到實惠，

；.y=8.

答：B系列產品的實際售價應定為8元/件.

【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正

確列出分式方程；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程.

考點卡片

1.二次根式的性質與化簡

(1)二次根式的基本性質：

①VHNO；心。(雙重非負性).

②(迎)2=aQ20)(任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式).

a(a>0)

0(a=0)(算術平方根的意義)

{—a(a<0)

(2)二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質進行化簡；

②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.

Va

Vab=y[a*y[b(。20,心

0)VFb>0)

(3)化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數(shù)中能開

得盡方的因數(shù)(或因式)都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)(或因式)的指數(shù)都

小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結合.

2.解題方法：

(1)化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡.

(2)代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結果.

(3)檢驗結果：所得結果為最簡二次根式或整式.

2.二次根式的乘除法

(1)積的算術平方根性質：Va-b=y/a'y[b(a20,620)

(2)二次根式的乘法法則：6?迎=(a^O,b20)

(3)商的算術平方根的性質：器弋(40,b>0)

二次根式的除法法則：得=a

(4)—(〃20,b>0)

規(guī)律方法總結:

在使用性質?迎=7a,b(a'O,b》O)時一定要注意a'O,620的條件限制，如果a<0,b<0,使

用該性質會使二次根式無意義，如(DX(7=9)W-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，

商的算術平方根和二次根式的除法運算也是如此.

3.一元二次方程的定義

(1)一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

(3)判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高

次數(shù)是2"；“二次項的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

4.一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式"2+笈+°=0QW0).這種

形式叫一元二次方程的一般形式.

其中辦2叫做二次項，。叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項.一次項系數(shù)6和常數(shù)項c可取任

意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于。的實數(shù)，這是因為當a=0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程

就不是一元二次方程了.

(2)要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式.

5.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解

也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這XI,尤2是一元二次方程

的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

axi2+bxi+c=Q(aWO),ax22+bx2+c=O(aWO).

6.解一元二次方程-配方法

(1)將一元二次方程配成(x+機)2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為依QWO）的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方

程無實數(shù)解.

7.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩

個因