知識(shí)點(diǎn)一集合的定義與表示

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.定義：具有相同性質(zhì)的元素所構(gòu)成的整體，稱(chēng)為集合。

2.集合的性質(zhì)：（1）確定性：即集合的中元素要有客觀(guān)的標(biāo)準(zhǔn)可以衡量，不能用主觀(guān)去衡量；

（2）互異性：在一個(gè)集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象；

（3）無(wú)序性：集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序.

3.集合的表示方法：（1）列舉法：將集合的元素逐一列舉出來(lái)的方式；使用條件：有限集；

（2）描述法：將集合表示為｛代表元素|?蔭足的性質(zhì)｝;使用條件：無(wú)限集；

（3）韋恩圖：用平面上的矩形或圓形表示一個(gè)集合；使用條件：表示集合關(guān)系.

【例題分析】

73+瓦〃與〃的奇偶性相同

集合〃={(a,b),*b=12,a,Z?￡N*},則M中元素的

例1.對(duì)于。、規(guī)定。*人=〈7171Vl田川才日

[ax4〃與b的奇偶性不R

個(gè)數(shù)為（）

A.6B.8C.15D.16

例2.下列說(shuō)法：①集合｛xeNId=耳用列舉法可表示為｛-1,0,1｝｝；②實(shí)數(shù)集可以表示為｛x|尤為所有的實(shí)數(shù)｝或

｛R｝；③一次函數(shù)y=x+2和y=—2%+8的圖像象交點(diǎn)組的集合為｛x=2,y=4｝,正確的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

dbccibc

例3.已知。、b、c為非零實(shí)數(shù)，記代數(shù)式同+同+向+函的值所組成的集合為則下列判斷中正確的是

（）

A.0任〃B.4e〃C.2e#D.4e#

例4.（2023?東莞市校級(jí)三模）已知全集U和它的兩個(gè)非空子集A,3的關(guān)系如圖所示，則下列命題正確的是（）

A.Hx^A,xeBB.VxgA,x笠BC.HreB,x^AD.X/x^B,xeA

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?金平區(qū)期末）下列能構(gòu)成集合的是（）

A.汕頭電視臺(tái)著名節(jié)目主持人B.我市跑得快的汽車(chē)

C.汕頭市所有的中學(xué)生D.sin30°,tan45°,cos60°

2.集合{1,魚(yú)，若,2,正，…}用描述法可表示為（）

A.{x\x>l}B.{X\X<45]C.{x\x=4n}D.{x|x=6,"eN*

3.下列與集合{2023,1}表示同一集合的是（)

A.（2023,1）B.{(x,y)Ix=2023,y=1}

C.{xlx2-2024%+2023=0}D.[x—2023,y=1}

4.下列說(shuō)法中正確的是（）

①某高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)所有高個(gè)子男生能組成一個(gè)集合

@a{6-a)<9

③不等式-尤2+3尤一2<0的解集為<%<2}

④在平面直角坐標(biāo)系中，第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為{（x,y）|w<0,xeR,yeR}

A.①②B.②④C.②③④D.①③④

知識(shí)點(diǎn)二集合的基本關(guān)系

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.集合與元素的關(guān)系：元素與集合的關(guān)系，即蝸，開(kāi)口朝向集合背靠元素

(1)若元素。屬于集合A,記作aeA；

(2)若元素。不屬于集合A,記作

(3)常見(jiàn)數(shù)集的表示方法：①實(shí)數(shù)集：R-,②整數(shù)集：Z；③有理數(shù)集：。；

④自然數(shù)集：N-,⑤正整數(shù)集：N*、N+⑥空集：①

2.集合之間的關(guān)系

(1)元素與集合的關(guān)系：G、任(2)集合與集合的關(guān)系：=、才邑、(3)空集本身就是集合，無(wú)需加{}

3.子集個(gè)數(shù)的判斷

(1)子集：若集合A中所有元素都是集合3的元素，則稱(chēng)集合A包含于集合5(集合8包含集合A),記作

AcB；

(2)真子集：如果4口3且A/5就說(shuō)集合A是集合3的真子集，記作4竹3；

(3)若集合A含有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2"-2個(gè).

4.集合相等

若集合A中所有元素都是集合8的元素，同時(shí)集合3中所有元素都是集合A的元素，就說(shuō)集合A等于集合3,

記作

5.空集

空集①是一個(gè)特殊而又重要的集合，它不含任何元素，①是任何集合的子集，①是任何非空集合的真子集.

【例題分析】

例1.(2024?西秀區(qū)校級(jí)一模)已知集合4={尤€雙|*<4},B={x\x=n2-1,n&A},P=Ap\B,則集合尸的子

集共有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.8個(gè)

例2.(2024?秦淮區(qū)校級(jí)二模)已知集合4={尤eZ|/-2x,,0},則A的子集個(gè)數(shù)為()

A.4B.7C.8D.16

例3.(2024?迎江區(qū)校級(jí)四模)集合P={x|-2?;(;<加-〃九xeZ},當(dāng)加=工時(shí)，集合P的非空真子集個(gè)數(shù)為()

2

A.8B.7C.6D.4

it

例4.（2024?揚(yáng)州模擬）設(shè)集合“={彳|》=左+萬(wàn),左eZ},N={x|x=1+萬(wàn),左eZ},貝!!（）

A.M=NB.M=NC.NcMD.Mp|N=0

例5.（2024?聊城模擬）己知集合4={刈幻,,2},B={x|x-a<0},若4=3,貝心的取值范圍為（）

A.（―oo,—2）B.（—co,—2]C.（2,+oo）D.[2,+oo）

【變式訓(xùn)練】

1.（2024?金安區(qū)校級(jí)模擬）已知集合4={0,1,2,3},B=[x\x=n2-1,neA},P=A\jB,則P的子集共有

（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.64個(gè)

2.（2024?內(nèi)江三模）集合P={x|匕,,0,xeZ}的子集個(gè)數(shù)是（）

X+1

A.5B.6C.7D.8

3.（2024?茂名一模）已知集合4={0,1,2,3},B={-1,0,1},C=A「p,則集合。的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.8

4.（2024?東湖區(qū)校級(jí)一模）已知集合人={]|%=寫(xiě)入Z},B={x\x=^+k7i,k^Z},貝U（）

A.A=BB.A^\B=0C.A^BD.AoB

5.（2024?撫順模擬）已知集合人={1,〃},B={x\\x-1\<2},若則實(shí)數(shù)。的值是（）

A.1B.0C.-2D.3

知識(shí)點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.并集的概念

給定兩個(gè)集合A、B,把他們所有的元素合并在一起組成的集合，叫做集合A與集合3的并集，記作AU§，

讀作A并3.

2.交集的概念

給定兩個(gè)集合A、B,把所有屬于集合A且屬于集合8的元素所組成的集合，叫做集合A與集合3的交集,

記作讀作A交3.

3.補(bǔ)集的概念

對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A4相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱(chēng)為集

合/的補(bǔ)集，記作6%,即電4=卜B€。,且xeA}.

【例題分析】

例1.（2024?新高考I）已知集合4={回一5</<5},B={-3,-1,0,2,3},則40|2=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0）D.{-1,0,2}

例2.（2023?新高考I）已知集合/={-2,-1,0,1,2},N={x\x2-x-6..0],則M0|N=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

例3.（2022?新高考I）若集合M={x[&<4},N={尤|3尤..1},則M0|N=（）

A.[x10?%<2}B.{x|g,,x<2}C.{x\3?x<16}D.尤<16}

例4.（2021?新高考I）設(shè)集合A={x|-2<x<4},B=[2,3,4,5},則A0|8=（）

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{2,3}D.{2}

例5.（2022?乙卷）設(shè)全集U={1,2,3,4,5）,集合M滿(mǎn)足用/={1,3},貝“）

A.2eMB.3eMC.4eMD.5任M

例6.（2023?全國(guó)）集合A={-2,-1,0,1,2},B={2k\k&A],則A0|3=（）

A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{一2,0,2}

例7.（2024?湖北模擬）已知集合河=口|工=；+；,〃?2},N={x\x=^+^,neZ},則下列表述正確的是（）

A.Mp|N=0B.M|jN=RC.MJND.N三M

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?新高考U）已知集合4={-1,1,2,4},B={.x||.r-l|?l},貝）

A.{-1,2}B.{1,2）C.{1,4}D.{-1,4}

2.（2024?甲卷）集合4={1,2,3,4,5,9},B={x\^eA],則”（始8）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9）C.{1,2,3）D.{2,3,5）

3.（2023?天津）已知集合。={1,2,3,4,5},A={1,3},B=[1,2,4},則（gB）UA=（）

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5）

4.（2023?乙卷）設(shè)集合U=A,集合〃={尤[x<l},N={x|—1<尤<2},貝i]{x|x..2}=（）

A.樂(lè)（M|JN）B.MjA/MC.4（Mp|N）D.

5.（2021?乙卷）已知集合5=卜|5=2"+1,GZ},T=[t\t=4n+l,neZ},貝1|5口7=（）

A.0B.SC.TD.Z

6.（2021?上海）6知集合,={x|x>-l,xe（},B={x|%2-x-2..0,x&R],則下列關(guān)系中，正確的是（）

A.A^BB.RBC.AQB=0D.=R

7.（2023?甲卷）設(shè)集合A={x|x=3無(wú)+1,keZ],3={x|x=3k+2,%eZ},U為整數(shù)集，則4（A|jB）=（）

A.{x\x=3k,keZ}B.{x\x=?>k—\,kGZ]

C.{x\x=3k—2,k^Z]D.0

知識(shí)點(diǎn)四集合新定義與含參問(wèn)題

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.如果是離散型集合，要逐個(gè)分析集合的元素所滿(mǎn)足的條件，或者畫(huà)韋恩圖分析.

2.如果是連續(xù)型集合，要數(shù)形結(jié)合，注意端點(diǎn)能否取到.

3.在解集合的含參問(wèn)題時(shí)，一定要注意空集和元素的互異性.

4.由集合間關(guān)系求解參數(shù)的步驟；

①弄清兩個(gè)集合之間的關(guān)系，誰(shuí)是誰(shuí)的子集；

②看集合中是否含有參數(shù)，若A口3,且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；

③將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式(組)或方程(組)，求出相關(guān)的參數(shù)的取值范圍或值.

5.經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸巧妙解答.

【例題分析】

例1.(2024?鹽湖區(qū)一模)已知集合4={刈*一1|“左，左>0},B={x|-3>3},若4=8,貝心的最大值是()

A.4B.3C.2D.1

例2.(2024?大理州二模)已知{x|62-4尤+1=0}={。},其中a,beR,貝1=()

A.0B.」或』C.-D.-

4224

例3.(2024?歷城區(qū)校級(jí)模擬?多選)對(duì)于集合A中的任意兩個(gè)元素x,y,若實(shí)數(shù)d(x,y)同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:

①“)(x,y)=0”的充要條件為"x=y"；

②d(x,y)=d(y,x)；

③VzeA,都有d(x,y)?d(x,z)+d(y,z).

則稱(chēng)d(x,y)為集合A上的距離，記為北.則下列說(shuō)法正確的是()

A.d(x,y)=|尤-y|為“R

B.d(x,y)=|sinx-siny|為

C.若A=(0,+co),則d(x,y)=|力x—|為服

D.若d為(，則/t也為4/e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

例4.(2024?宜春模擬?多選)已知如果實(shí)數(shù)無(wú)。滿(mǎn)足對(duì)任意的a>0,都存在xeA,使得0<|尤-尤0|<a,則

稱(chēng)尤。為集合A的“開(kāi)點(diǎn)”，則下列集合中以。為“開(kāi)點(diǎn)”的集合有()

A.{x|%wO,xG7?}B.{x[%wO,xGZ}

1Y

C.{y|y=—,xeN+}D.{y[y=-----,x&N}

Xx+1+

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?上海）已知集合4={1,2},3={1,a},且A=8,則°=.

2.（2023?新高考U）設(shè)集合A={0,-a],B={1,a-2,2a-2},若4=8,貝!）“=（）

2

A.2B.1C.-D.-1

3

3.（2022?濱?？h校級(jí)模擬）已知集合4={2,-2）,B={x\x2-ax+4=0},若A（j8=A,則實(shí)數(shù)。滿(mǎn)足（）

A.{a\-4<a<4}B.{a\-2<a<2}C.{T,4}D.{a|-4漱女4}

4.（2024?曲靖模擬?多選）已知集合S,T,定義ST={x，|xeS,yeT},則下列命題正確的是（）

A.若5={1921,1949},T={0,1},則S，與K的全部元素之和等于3874

B.若5={2021},R表示實(shí)數(shù)集，K表示正實(shí)數(shù)集，則SR=R+

C.若5={2024},R表示實(shí)數(shù)集，則K=R

D.若5={2049},7T表示正實(shí)數(shù)集，函數(shù)/（無(wú)）=儂2。2/，無(wú)e（R*）s，則2049屬于函數(shù)/（無(wú)）的值域

5.（2024?河南模擬?多選）對(duì)于R的兩個(gè)非空子集A,B,定義運(yùn)算Ax8={（x,y）|xeA,yeB},貝|（）

A.AxB^BxAB.Ax（fiQC）=（AXB）Q（AXC）

C.若A=C,貝lJ（AxB）u（CxB）D.AxA表示一個(gè)正方形區(qū)域

知識(shí)點(diǎn)五常用邏輯用語(yǔ)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.充分條件與必要條件

一般地，“若p,則4”為真命題，是指由p通過(guò)推理可以得出q.這時(shí)，我們就說(shuō)，由.可推出q,記作〃nq,

并且說(shuō)p是q的充分條件，“是p的必要條件.

如果“若p,則q”為假命題，那么由"推不出4,記作pp4.此時(shí)，p不是4的充分條件，q不是"的必

要條件.

概括地說(shuō)，如果〃nq,則p是q的充分條件，4是p的必要條件.

如果puq,則p是4的必要條件，4是p的充分條件.

2.充要條件

一般地，如果既有夕nq,又有qnp,就記作p=q.此時(shí)，我們說(shuō)，p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要

條件.顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.

概括地說(shuō)，如果p=那么p與q互為充要條件.

3.從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件

從集合的觀(guān)點(diǎn)看，設(shè)集合A={x|x滿(mǎn)足條件p},8={x|x滿(mǎn)足條件4},

若A口3,則p是4的充分條件或“是p的必要條件；

若A衛(wèi)B,則p是q的必要條件或“是p的充分條件；

若A=B,則p是4的充要條件；

若且ABB，則P是4的既不充分也不必要條件.

4.命題的否定

短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中稱(chēng)為全稱(chēng)量詞，用符號(hào)“V”表示.含有全稱(chēng)量詞的命題叫做全稱(chēng)量詞

命題.短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中稱(chēng)為存在量詞，用符號(hào)“三”表示.含有存在量詞的命題叫做存在

量詞命題.

全稱(chēng)量詞命題：\/XGM，P(X),它的否定為：BxeM,^p(x).

存在量詞命題：Bx^M,p(x),它的否定為：.

【例題分析】

例1.（2024?新高考H）已知命題“VxeR,|x+l|>l,命題q:3x>0,x3=x,則（）

A.p和q都是真命題B.-p和q都是真命題

C.p和f都是真命題D.力和r都是真命題

例2.（2024?天津）設(shè)a,,則“/”是"3"=3"”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例3.（2024?北京）設(shè)4,B是向量，貝IJ"（萬(wàn)+6）?（萬(wàn)一5）=0”是“打=一5或訝=5”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例4.（2024?甲卷）已知向量為=（x+l,x）,5=（X,2）,貝IJ（）

A.“4,5”的必要條件是“x=-3”

B.“萬(wàn)//方”的必要條件是“x=—3”

C.aaLb"的充分條件是"x=0"

a

D.“G/區(qū)”的充分條件是X=-l+^/3^^

例5.（2015?新課標(biāo)I）設(shè)命題。與“eN,">2",則力為（）

A.NnwN,“2>2"B.Bn^N,n2?2"C.