專題16圓錐曲線中的范圍與最值問題

一、核心先導(dǎo)

考點再現(xiàn)

22

【考點1】、若橢圓方程為三+%=1（〃>6>0）,半焦距為c.,焦點6（-c,0）,月（c,0）,設(shè)

過耳的直線/的傾斜角為a,交橢圓于A、B兩點，則有：①

|M|=—-—，防=---.；②|陰=22；/

a-ccosaa+ccosaa-ccosa

22

若橢圓方程為，+5=1（a>6>0）,半焦距為c,焦點月（―c,0）,月（c,0）,設(shè)

ab

過工的直線/的傾斜角為a,交橢圓于A、B兩點，則有

同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為心.為長半軸，b為短半軸，c為半焦距）

lab1

-222?（焦點在X軸上）

a-ccosa

結(jié)論：橢圓過焦點弦長公式:AB\=<

2ab2

（焦點在y軸上）

〔a2-c2si?n2a

【考點2］、過橢圓1+1_=1（"6>0）左焦點的焦點弦為AB,則四=2。+6（/+%2）；過右焦

ab

點的弦.|AB|=2a-e（/+/）.

【考點3】、拋物線產(chǎn)=2內(nèi)（0〉0）與直線1="+”目交于4（%乂）,8（程％）且該直線與丁軸交于點

c（o,%），則有人+工='-

%%為

【考點4】、設(shè)AB為過拋物線/=2內(nèi)（0>0）焦點的弦，從石,乂）、3區(qū),為），直線AB的傾斜

角為。,則

①.刊=小%=-/；

?.\AF\=X,+^-=—e—，M=P_=_P_

1112l-cos6>21+cos0

③.|陰"+%+”檢;

112

\FA\\FB\P

3

⑤.OAOB=-^p2；

⑥.S^OB=^-\OA\\OB\smZAOB=L\OF\.hF=-^—

222sin9

三、解法解密

方法1.圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)

的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：

①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定取值范圍；

②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出取值范圍；

③利用基本不等式求出取值范圍；

④利用函數(shù)的值域的求法，確定取值范圍

方法2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用己知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5.)利用求函數(shù).的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

四、考點解密

題型(一)利用題設(shè)條件，結(jié)合幾何特征與性質(zhì)求范圍

22

例1、(1).已知K，工為雙曲線3-==1(?！?,匕＞0)的左、右焦點，過耳的直線/與圓必+丁=〃

相切于點且|及伍|=3|加片|,則雙曲線的離心率為()

A.V2B.2C.3D.73

（2）.（2022?陜西?乾縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓+上=1（10。＜14）的離心率為好

14-AA-63

為C的一個焦點，P為C上一動點，貝1]|竹|的最大值為（）

A.3B.5C.3+V5D.2+76

22

【變式訓(xùn)練『1】、（2021?陜西?咸陽市實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓C匕+土=1的下焦點為方，

95

點M在橢圓。上，點N在圓及f+（y_2）2=l上，貝陽十|MN|的最小值為（）

A.4B.5C.7D.8

2

【變式訓(xùn)練1-2]＞過雙曲線必—需=1的右支上一點P,分別向圓G：（x+4）2+y2=4和圓。2:

（x—4）2+/=1作切線，切點分別為則1PMi2—|PN『的最小值為（）

A.10B.13C.16D.19

題型（二）利用根的判別式或韋達定理或參數(shù)建立不等關(guān)系求范圍

例2、已知拋物線G：y2=4x與圓。2：三+：/—2x=0,直線y=日—左與G交于A，8兩點，與G交

于N兩點，且A,〃位于x軸的上方，^\AM-NB=.

22

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022?河南?宜陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）過橢圓C：a+方的右焦

點廠且與長軸垂直的弦的長為3亞，過點尸（2,1）且斜率為-1的直線與C相交于A,2兩點，若尸恰好是A8

的中點，則橢圓C上一點/到尸的距離的最大值為（）

A.6B.2忘+3C.2＞/3+3D.3直+3

題型（三）求解函數(shù)值域得范圍

22

例3、（2022?四川?樹德中學(xué)高二期中）己知P是橢圓G：,+七=l（4＞4＞0）和雙曲線

%b]

22

。2：*-2=1（電＞。也＞0）的交點，匕，總是G的公共焦點，q,e?分別為G，孰的離心率，若

a?/?2

）]]

NRPFLW，則——的取值范圍為______.

344

【變式訓(xùn)練3-1】、（2022?浙江?杭州四中高二期中）設(shè)P是橢圓+上的任一點，跖為圓

N：/+y2_y=0的任一條直徑，則PE.PF的最大值為.

例4、平面直角坐標(biāo)系X0V中，已知橢圓C：=+二=1（。〉6〉0）的離心率為且，左、右焦點分別是耳、

crb"2

F2.以耳為圓心以3為半徑的圓與以工為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓。上.

（I）求橢圓C的方程；

22

（II）設(shè)橢圓E：+=1,尸為橢圓C上任意一點，過點尸的直線y=Ax+相交橢圓E于兩

4。一45~

點，射線PO交橢圓E于點。.⑴求惜卸的值；（ii）求443。面積的最大值.

22

【變式訓(xùn)練4-1】、（2022?四川省成都市第八中學(xué)校模擬預(yù)測）已知橢圓+當(dāng)=1（。>6>0）的左、右

ab

焦點分別為月、居,￡=2，點在橢圓加上.

⑴求橢圓M的方程；

⑵如圖，四邊形ABCD是矩形，A3與橢圓M相切于點尸，AD與橢圓M相切于點E,3c與橢圓加相切

于點GCD與橢圓M相切于點//,求矩形ABCD面積的取值范圍.

題型（四）利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式求范圍

2,2

例5、【2018全國卷III】已知斜率為左的直線/與橢圓C：土+乙=1交于A,5兩點，線段A3的中點

43

為M（1，根）（相>0）.

（1）證明：k<；

⑵設(shè)尸為C的右焦點，尸為C上一點，且麗+麗+麗=0.證明：|西|,\FP\,|而|成等差數(shù)

列，并求該數(shù)列的公差.

22

【變式訓(xùn)練5-1】、（2021?陜西?安康市教學(xué)研究室三模）己知橢圓C:'+方長軸的頂點與雙

曲線。：工-衛(wèi)=1實軸的頂點相同，且C的右焦點尸到。的漸近線的距離為叵.

4b27

⑴求C與D的方程；

（2）若直線/的傾斜角是直線>=（君-2卜的傾斜角的2倍，且/經(jīng)過點/，/與C交于A、8兩點，與。交于

M、N兩點,r

1*2?i

【變式訓(xùn)練5-2】、（2021?廣東?一模）已知橢圓C:亍+}=1（。>6>0）的離心率為過橢圓C右焦點并

垂直于尤軸的直線交橢圓C于P,M（點尸位于x軸上方）兩點，且4OPM（。為坐標(biāo)原點）的面積為

2

2-

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

9

⑵若直線/交橢圓。于A,B（A,B異于點P）兩點，且直線B4與尸3的斜率之積為-二，求點尸到直線,

4

距離的最大值.

五、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

1.（2022?四川雅安?二模）已知雙曲線C的一條漸近線為直線瓜-y=0,C的右頂點坐標(biāo)為（1,0）.若點

〃（無”,％）是雙曲線C右支上的動點，點A的坐標(biāo)為（3,5）,則|M4|+2為的最小值為（）

A.V26-1B.726

C.V26+1D.726+2

22

2.（2021?江蘇?高二專題練習(xí)）已知尸是橢圓工+匕=1上的一點，。是坐標(biāo)原點，尸是橢圓的左焦點且

259

OQ=^（OP+OF）,|02|=4,則點尸到該橢圓左準(zhǔn)線的距離為。

A.6B.4C.3D.-

2

22

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:=-==l（a>0力>0）的右焦點為F，過F且斜率為出的

ab

直線交。于A、5兩點，若左=4而，則。的離心率為（）

A.9B.「D.2

8555

4.（2022?重慶市育才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知過拋物線C:y2=4x的焦點F且傾斜角為45。的直線交C于

A3兩點，。為弦A3的中點，P為C上一點,則|尸產(chǎn)|+|尸Q|的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

22

5.（2022?四川省平昌中學(xué)高二階段練習(xí)）知橢圓C:，+*=l（a>b>0）,C的上頂點為A,兩個焦點為G，8,

的面積為；片,點P是橢圓上任意一點（非頂點），Q是APFR的內(nèi)心，直線PQ交用且于M,則附?=

（）

A.&B.V3C.V2+1D.75-1

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）己知田用=1。，點P滿足|尸鳥|-|尸耳|=6,動點M,N滿足|MN|=2,兩=布,

則兩.麗的最小值是（）

A.3B.-C.4D.—

33

7.（2022?四川?石室中學(xué)模擬預(yù)測）已知拋物線C:/=2y上有兩動點P,Q,線段尸。的中點E到x軸距

離的是2,則線段尸。長度的最大值為.

22

8.（2022?山東?棗莊市第三中學(xué)高二期中）己知橢圓C:工+與=1（a>匕>0）,尸是橢圓C上的點，

ab

片（-c,o）,鳥（G。）是橢圓C的左右焦點，若居?兩恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是

9.（2022?福建?高二期中）弓琴，是弓琴彈撥弦鳴樂器（如下左圖）.歷史悠久，形制原始，.它脫胎于古代

的獵弓，也可以稱作“樂弓”，是我國彈弦樂器的始祖.古代有“后羿射十日”的神話，說明上古生民對善射者

的尊崇，樂弓自然是弓箭發(fā)明的延伸.古代傳說將“琴”的創(chuàng)始歸于伏羲，也正由于他是以漁獵為生的部落氏

族首領(lǐng).在我國古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”.常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于

臺灣原住民中的布農(nóng)、鄒等民族聚居地區(qū).弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正視圖即為

一橢圓面，它有多條弦，撥動琴弦，發(fā)音柔弱，音色比較動聽，現(xiàn)有某專業(yè)樂器研究人員對它做出改進，

安裝了七根弦，發(fā)現(xiàn)聲音強勁悅耳.如下右圖，是一弓琴琴腔下部分的正視圖.若按對稱建立如圖所示坐標(biāo)系,

耳（-c，0）恰為左焦點，斗，=1,2,3,4,5,6,7）均勻?qū)ΨQ分布在上半個橢圓弧上（4在A3上的投影把線段八等

22

分），￡耳為琴弦,記4=1月耳|（21,2,3,4,5,6,7）,數(shù)列｛4｝前”項和為昭橢圓方程為二+與=1,且

ab

〃+64c=4〃c,則￡+%-128的最小值為

22

10.（2022.河北?模擬預(yù)測）己知橢圓L:1+3=l（a>b>0）,橢圓上的點到兩焦點的距離和為2括，點

ab

在橢圓L上.

⑴求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵過點尸(0,2)作直線/交橢圓于A,5兩點，點E為點尸關(guān)于無軸的對稱點，求A①面積的最大值.

11.(2022?云南大理?模擬預(yù)測)己知用鳥為橢圓C的左、右焦點，點《1,|)為其上一點，且|町|+=4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點耳的直線/與橢圓C相交于P,。兩點，點尸關(guān)于坐標(biāo)原點。的對稱點R,試問△PQR的面積是否存

在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

B組能力提升

911

12.(2020?山西?太原五中模擬預(yù)測)已知圓C:(尤-1)一+/=7，一動圓與直線％=-彳相切且與圓C外切.

⑴求動圓圓心P的軌跡T的方程；

(2)若經(jīng)過定點2(6,0)的直線/與曲線T交于A3兩點，M是A3的中點，過M作x軸的平行線與曲線T相交

于點N,試問是否存在直線/，使得N4_LA??若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

13.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知橢圓/+y=1(。>1),過點(0,小)作橢圓的兩條切線，且兩切線垂直.

⑴求。；

⑵己知點「("/),〃亞2,Q(O,T),若存在過點尸的直線與橢圓交于M,N,且以肋V為直徑的圓過點。

不與。重合)，求直線MN斜率的取值范圍.

22

14.(2022?廣東?開平市忠源紀(jì)念中學(xué)模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xQv中，橢圓E：5+R=l(a>b>0)

ab

與橢圓1+4=1有相同的焦點X，F(xiàn)2,且右焦點用到上頂點的距離為

⑴求橢圓E的方程；

⑵若過橢圓E左焦點耳，且斜率為1的直線/與橢圓交于M,N兩點，求A居的面積.

15.(2022?湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測)已知橢圓C:《+/=i,和一條過定點〃(-1,0)且不與x軸重合的直

3'

線/相交于A、B兩點，線段AB的中點為點E,

(1)求點E的軌跡方程；

⑵射線OE交橢圓于點G,b為直線OE上一點，且QG|為|0尸|、|OE|的等比中項，過點/作圓

D(x-l)2+y2=i的兩條切線，切點為知、N,求AWWN面積的最小值.

16.(2022?黑龍江?雞西市第四中學(xué)三模)已知拋物線C：d=2py(p>0),圓。：x2+/=l.

⑴若拋物線C的焦點F在圓。上，且A為C和圓。的一個交點，求仙司；

（2）若直線/與拋物線C和圓。分別相切于點M,N,求|肱V|的最小值及相應(yīng)p的值.

17.（2022?河南開封?模擬預(yù)測（理））已知橢圓。:=+與=1（。>6>0）的離心率為。上的點尸與。外

的點。（4,0）距離的最小值為2.

⑴求橢圓。的方程；

⑵若直線/與橢圓。交于點A,8,當(dāng)直線/被圓。:1+丁2=/截得的弦長為2b時，求AOAB面積的取值范

圍.

18.（2022?江蘇?華羅庚中學(xué)三模）已知M,N分別是無軸，y軸上的動點，且|政7|=4+26，動點P滿足

MP=—PN,設(shè)點尸的軌跡為曲線C.

2

⑴求曲線C的軌跡方程；

（2）直線h3x-2y=0與曲線C交于A,8兩點，G為線段AB上任意一點（不與端點重合）,傾斜角為a的

直線4經(jīng)過點G,與曲線C交于E,P兩點.若，匚二，的值與點G的位置無關(guān),求|GE|：|GF|的值.

C組真題實戰(zhàn)練

22

19.（2021?全國?高考真題（理））設(shè)8是橢圓C:'+當(dāng)=l（a>b>0）的上頂點，若C上的任意一點尸都滿

ab

足|P2|<26,則C的離心率的取值范圍是（）

A-制B—JcI。,1D-

20.（2017?全國?高考真題（理））已知產(chǎn)為拋物線C：>2=4x的焦點，過/作兩條互相垂直的直線"，12,

直線/I與C交于A、2兩點，直線/2與C交于￡>、E兩點，則IA2I+I。囿的最小值為

A.16B.14C.12D.10

21.（2008?江西?高考真題（文））已知耳、尸2是橢圓的兩個焦點，滿足麗?說'=0的點M總在橢圓內(nèi)

部，則橢圓離心率的取值范圍是

A.（0,1）B.（0,1]C.（0,日）D.佟,1）

22.（2017新課標(biāo)全國卷I文科）設(shè)A,8是橢圓C：W+￡=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足

3m

ZAMB=120°,則根的取值范圍是

A.（0,1]U[9,+OO）B.（0,V3]U[9,+OO）

C.（0,l]IJ[4,+oo）D.（0,A/3]U[4,+OO）

23.（2022?浙江?高考真題）已知雙曲線吞-1=l（a>0*>0）的左焦點為R過歹且斜率為之的直線交雙曲

。Z?4〃

線于點AG，yJ,交雙曲線的漸近線于點3（/，力）且為<0<%.若|FB|=3|E4|,則雙曲線的離心率是

22

24.（2009?重慶?高考真題（文））已知橢圓,+白=1（。>人>0）的左、右焦點分別為￡（-c,0）,鳥（c,0）,若

ab

橢圓上存在一點1使.篇口=,晨口，則該橢圓的離心率的取值范圍為__________.