青島實(shí)驗(yàn)高中數(shù)學(xué)期初檢測(cè)

一、單選題：本題共8小題，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

3

z=-l+-2-i

1.復(fù)數(shù)l—i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.

l+2i3_1_2i_(1-2i)(l+i)_3-i_31.

【詳解】—i

l—i—l—i—(l-i)(l+i)-〒—52

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，位于第四象限.

故選：D

2.已知向量機(jī)元的夾角為60°，若網(wǎng)=向沅_L（沅一方），則|同=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量垂直的條件及向量數(shù)量積的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)閼c，（比一同，

所以沅?（比一萬）=0,即恒「一海?方=0,

又因?yàn)閻?2,向量泣元的夾角為60°，

1

所以忻「一|同?同cos6（T=0,即22—2義同><5=0,解得同=4.

故選：D.

3.若cos[a—a]=,，則sin2a=(

717

A.—B.-C.一D.-----

525

【答案】D

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.

3

5

故選：D.

4.設(shè)施、〃為空間中兩條不同直線，，為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題正確的是()

A.若。_L尸，mua,nu/3，則〃zJ_〃

B.若加不垂直于a,“ua,則機(jī)必不垂直于〃

C.若ml/a，all(3,則血/萬

D.若機(jī)、〃是異面直線，mua,mlI/3,nu0,nila,則。//，

【答案】D

【解析】

【分析】A中加，〃可能平行、相交或異面；B中加有可能垂直于"；C中機(jī)//4或mu/7；D中結(jié)合線

面平行的性質(zhì)定理與面面平行的判定定理即可得.

【詳解】對(duì)于A,若。，用，mua,nu0,則m,〃可能平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若冽不垂直于a,且"ua,則加有可能垂直于〃，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若m//a且?！ǚ郑瑒t加//尸或相u〃，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若加、n異面直線，mua,mlI(3,nu0,nila,

則在直線加上任取一點(diǎn)P,過直線〃與點(diǎn)P確定平面7,設(shè)/口。=。，

又〃〃e,則“〃c,nu/3,c(tJ3,所以c〃尸，

又加///?,mua,cua,m^c=P,所以。〃尸，故D正確.

故選：D.

5.已知向量次，0B，花滿足：OA+OB+OC=Q^且|西|=|歷|=|元|=1,則三角形ABC的形狀

是(

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由三角形重心、外心性質(zhì)得到。是三角形ABC的重心、外心，從而得到三角形ABC為等邊三角

形.

【詳解】因?yàn)閲?guó)+屈+阮=0,所以。是三角形ABC的重心，又因?yàn)閨函|=］屈|=|反1=1,所以。

是三角形ABC的外心，

所以三角形ABC是等邊三角形.

故選：D.

6.已知平面向量"=（5,0）,方=（2,-1）,則向量工—1在向量區(qū)上的投影向量為（）

A.（2,-1）B.（5,0）仁［不一《］D.（4,-2）

【答案】A

【解析】

【分析】利用投影向量的定義求解即可.

【詳解】向量打一行=（5,0）_（2,_1）=（3,11

則向量在向量B上的投影向量是

（

.a-b\bba-b]-b2x3-1

a-b\}—?5=.（2,-1）=（2,-1）.

1\a-b\-\b\4+1

故選：A.

7.已知函數(shù)/（x）=J^sinZx+cosZx,把函數(shù)/（x）的圖象沿x軸向左平移七個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的

6

圖象，關(guān)于函數(shù)g（x），下列說法正確的是（）

n7tTT

A.在—上是增函數(shù)B.其圖象關(guān)于直線-一1對(duì)稱

_42_

712萬

C.函數(shù)g（x）是奇函數(shù)D.在區(qū)間—-上的值域?yàn)椋?2,1］

o3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，由函數(shù)圖象平移變換可求得函數(shù)g(x),結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與

性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).

【詳解】/(X)=2sin2x-f+cos2x4=2sin(2x+g],沿％軸向左平移工個(gè)單位，

I22)<6；6

得g(x)=2sin++?=2sin(2jr+/)=2cos2x.

對(duì)于A,當(dāng)xe三三,g(x)單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,g--k2cos-=0,則圖象關(guān)于-1，0對(duì)稱，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,g(x)是偶函數(shù).所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

JI27r7t47r

對(duì)于D,當(dāng)xe-,2xe—,貝！]2cos2xe[—2,1],所以D正確，

_63JL33_

綜上可知，正確的為D.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用，三角函數(shù)平移變換及余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)

用，屬于基礎(chǔ)題.

8.如圖，在RtZkABC中，ZA=90°,AB=2,AC=4,點(diǎn)尸在以A為圓心且與邊6c相切的圓上，則

麗?定的最小值為()

2456

C.——D.

5

【答案】C

【解析】

【分析】由幾何關(guān)系分解向量，根據(jù)數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則求解

【詳解】設(shè)AD為斜邊5c上的高，則圓A的半徑r=A￡>=^^=逑,8C=萬百=26,

V4+165

設(shè)E為斜邊3c的中點(diǎn)，（中，女）=8,則6e[0,7i],

因?yàn)榫W(wǎng)=竽，|周=氐

則兩定=（而+西.（西+硝=麗?+百”+呵=[+麗2衣

=—+2x^^-xV5cos6l=—+8COS61>故當(dāng)。=兀時(shí)，

555

PB-PC的最小值為彳—8=——.

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,…，9.從袋中任意抽取1張卡片，記

“抽出的卡片號(hào)為1,4,7”為事件A,“抽出的卡片號(hào)小于7”為事件3,“抽出的卡片號(hào)大于7”記為事件C.

下列說法正確的是（）

A.事件A與事件C是互斥事件B.事件4與事件5是互斥事件

C.事件A與事件3相互獨(dú)立D.事件3與事件C是對(duì)立事件

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)題意利用列舉法求Q,AB,C和P（A）,P（B）,結(jié)合互斥事件、獨(dú)立事件和對(duì)立事件的定義逐

項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可知:樣本空間由={1,2,3,4,5,6,7,8,9},4={1,4,7},3={1,2,3,4,5,6},7={8,9},

/、/、/、/X〃（A）1/、n（B\2

則n（Q）=9,?（A）=3,n（B）=6,可得P（A）==笠r⑻="

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)锳C=0,所以事件A與事件C是互斥事件，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)锳5={1,4}W0,所以事件A與事件3不是互斥事件，故B錯(cuò)誤;

71(AB)2

對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B可知〃（AB）=2,則P（AB）

“(Q)9

可知P（AB）=P（A）P（B）,所以事件A與事件3相互獨(dú)立，故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?uC={l,2,3,4,5,6,8,9}wQ,

所以事件3與事件C不是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

10.已知，為虛數(shù)單位，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z=3+4i的模為5；

B,復(fù)數(shù)z=3+4i,則三在復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限

C.復(fù)數(shù)+3〃z-4）+（m—l）i是純虛數(shù)，貝!|加=1或爪=-4

D.若目=1,則|z+l+i|的最大值為6'+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A,直接求復(fù)數(shù)的模判斷；對(duì)于B,先求出三再判斷；對(duì)于C,由實(shí)部為零虛部不為零求

解；對(duì)于D,利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解

【詳解】解：對(duì)于A,因?yàn)閦=3+4i,所以忖=g2+42=5,所以A正確；

對(duì)于B,由z=3+4i,得1=3—4i，則I在復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，所以B正確；

-2

對(duì)于C,因?yàn)閺?fù)數(shù)（“+3相—4）+（機(jī)—l）i是純虛數(shù)，所以＜二m=°，解得m=4所以C錯(cuò)

誤；

對(duì)于D,由目=1,可知z在復(fù)平面上表示的點(diǎn)在單位圓上，|z+l+i|表示在復(fù)平面上單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)

（-L-1）的距離，所以|z+l+i|的最大值為!（—以+（一1）2+1=0+1，所以D正確，

故選：ABD

11.如圖，在正方體ABC。-AgG°i中，若P為棱8月的中點(diǎn)，。點(diǎn)在側(cè)面（包括邊界）上運(yùn)

動(dòng),且〃平面PCR,下面結(jié)論正確的是（）

A.。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線段

7T

B.直線。。與AD所成角可以為一

4

C.三棱錐P-CRQ的體積是定值

9

D.若正方體的棱長(zhǎng)為1,則平面pen與正方體的截面的面積為每

【答案】ACD

【解析】

【分析】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,對(duì)于A：可證平面￡＞石尸〃平面PC〃，進(jìn)而可知QeET"即可得結(jié)

果；對(duì)于B：分析可知直線。。與A。所成角為NADQ,且tan/ADQ=AQ,分析AQ的長(zhǎng)度即可；對(duì)

于C：分析可知所〃平面尸C〃，根據(jù)平行的定值結(jié)合錐體體積公式分析判斷；對(duì)于D：分析可知平面

PCD,與正方體的截面為四邊形CDQP,求長(zhǎng)度即可得面積.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,

對(duì)于選項(xiàng)A：取AB,A4的中點(diǎn)及/，連接

由題意可知：ADi//BC,且42=3。，

可知ABCA為平行四邊形，則AXB//CDX,

又因?yàn)镋,歹分別為A3,A4的中點(diǎn)，則43〃E尸，可得E尸〃CR,

且平面PCR,CD]u平面PC〃，可得所〃平面PC。，

因?yàn)椤晔謩e為的中點(diǎn)，則EP〃AB,且FP=AB，

又因?yàn)镃D//AB>且CD=AB，可得I?尸〃CD，且FP=CD,

可知EPCD為平行四邊形，則。尸〃CP,

且平面PC0,CPu平面PCQ,可得。尸〃平面PCR,

由EFIDF=F,?￡/,。尸<=平面￡）石尸，可得平面。石戶〃平面尸eq,

若。。〃平面PCQ,可知DQU平面DEF,

且Qe側(cè)面A544，側(cè)面ABBiAPl平面￡>石尸=防，可知QeEF,

所以。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線段所，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段所，

則直線DQ與AD所成角為ZADQ,

因?yàn)锳DJJ則面A544，DQu側(cè)面則A。，。。，

在RtZ\AO0中，tanZADQ=^=AQ,

AD

1jr

又因?yàn)锳E=AF=—,NE4F=—,則有：

22

當(dāng)。為線段所的中點(diǎn)時(shí)，AQ取到最小值正；

4

當(dāng)。為線段所的端點(diǎn)時(shí)，AQ取到最大值,；

2

貝i]AQe]，,g；即tan/ADQ=AQwg<l,可知44OQ<￡,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)A可知：平面￡>石尸〃平面尸C。，且所u平面￡>￡戶,

則EF〃平面PCD、,

且Qe",可知點(diǎn)Q到平面PCD,的距離為定值,

即三棱錐Q-PC。的高）為定值，且VPC2的面積%,皿為定值,

所以三棱錐P-CD.Q的體積VP_CDiQ=VQ_PCDi=1/z-S&3是定值，故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：取A片的中點(diǎn)G,連接PG,。。,

因?yàn)镚,尸分別為4片,5片的中點(diǎn)，則GP〃A3,

由選項(xiàng)A可知：AXB//CD,,則GP〃C，，

所以平面PCR與正方體的截面為四邊形CD.GP,

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于證明平面DE尸〃平面尸CR,結(jié)合面面平行的性質(zhì)分析。點(diǎn)的運(yùn)

動(dòng)軌跡，進(jìn)而逐項(xiàng)分析求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.樣本數(shù)據(jù)17,13,22,16,11,20,14,24的80%分位數(shù)為.

【答案】22

【解析】

【分析】借助百分位數(shù)定義計(jì)算即可得.

【詳解】數(shù)據(jù)按從小到大排序：11,13,14,16,17,20,22,24,

8x80%=6.4,所以80%分位數(shù)為22.

故答案為：22.

13.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是.

【答案】24》

【解析】

【詳解】試題分析：正四棱柱的高是4,體積是16,則底面邊長(zhǎng)為2,底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為

d+2：所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為標(biāo)下=:而，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所

以球的半徑為，所以球的表面積為S=4萬/=4萬.6=24萬.

考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積.

7T

14.某地進(jìn)行老舊小區(qū)改造，有半徑為60米，圓心角為一的一塊扇形空置地（如圖），現(xiàn)欲從中規(guī)劃出一

3

塊三角形綠地PQR,其中尸在上，PQ-J-AB，垂足為。，PRLAC,垂足為A,設(shè)

=則PQ=（用1表示）；當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，這塊三角形綠地的最大

面積是.

【答案】①.60sine米②.225百平方米.

【解析】

【分析】由題可得PQ=APsino=60sinc,結(jié)合條件及面積公式可得

S：=9006sinesintz；再利用三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】在R3PAQ中，ZPAB=tzel0,11,AP=60米，

PQ=APsina=60sina(米),

在R3W?中，可得PA=60sin11-aJ,

由題可知NQPR=夸，

???^PQR的面積為：S“PQR=g?P。?PR?sinNQPR

=—x60sin^x60sin|--er|xsin^-

2[33

=900有sinasin

=450^3-^-sin2a+—cos2a~—

[222J

=45073sin|26z+^|-1

nn5?

eI0,—1,20+7￡

3~6,~6

.?.當(dāng)2a+J=W，即a=￡時(shí)，的面積有最大值2256平方米,

626

即三角形綠地的最大面積是2250平方米.

故答案為：60sine米；2250平方米.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.

15.在“LBC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,4c,向量加=(a,26+c),n=(cosC,cosA),且

m±n＞。為線段5c上一點(diǎn).

（1）求角A的大小;

(2)若為角A的角平分線，a=7,VA3C的周長(zhǎng)為15,求AD的長(zhǎng).

27r

【答案】(1)A=y

(2)AD=—.

8

【解析】

【分析】(1)由而得acosC+(2b+c)cosA=0,然后利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)

變形可求得角A；

(2)利用余弦定理結(jié)合已知條件可求得bc=15,再由AD為角A的角平分線，可得S△謝+%A8=ZABc，

利用三角形面積公式化簡(jiǎn)可求出AD的長(zhǎng).

【小問1詳解】

解：m=(a,2/7+c),n=(cosC,cosA),且

/.tzcosC+(2b+c)cosA=0,

由正弦定理得sinAcosC+2sinBcosA+sinCcosA=0,

/.sin(A+Q+2sinBcosA=0,

???sin(A+C)=sin(7i-B)=sinB,.?.sinB+2sin5cosA=0,

在三角形ABC中，sinBwO,

A1

.-.1+2cosA=0,/.cosA=——,

2

AG(0,7i),:.A=^j~.

【小問2詳解】

解：〃=7,Q+/?+C=15=>Z?+C=8,

由余弦定理得片=b2+c2-2bccosA^

即49=(b+c)2—2bc-26ccos—,解得be=15.

71

???4。為角八的角平分線，「./84。=/。1。=—,

3

?S4ABD+S4ACD=S/XABC，

.1A八.兀17.八.兀1j2兀

..—c-ADsin--b—b-AD-sin—=—c-Z??sin——,

232323

(Z?+c)AD=bc,得AD二卜

b+c

16.2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾病.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學(xué)

校開展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如

圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問題：

（1）若從成績(jī)低于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績(jī)，求5人中成績(jī)低于50分的人數(shù)；

（2）以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；

（3）首輪競(jìng)賽成績(jī)位列前10%的學(xué)生入圍第二輪的復(fù)賽，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(jī)（記為

K）.

【答案】（1）2人

（2）71

（3）K>88

【解析】

【分析】（1）利用分層抽樣的定義求解即可；

（2）利用平均數(shù)公式求解即可；

（3）根據(jù)題意設(shè)入圍復(fù)賽的成績(jī)的臨界值為Ke［80,90）,則（90—K）x0.025+0.05=0.1,求出K的值

即可.

【小問1詳解】

成績(jī)?cè)冢?0,50）的人數(shù)為0.01x10x200=20（人），

成績(jī)?cè)冢?0,60）的人數(shù)為0.015x10x200=30（人），

則按分層抽樣方法從成績(jī)低于60分的同學(xué)中抽取5人，

成績(jī)低于50分人數(shù)為5x-20=2（人）.

20+30

故5人中成績(jī)低于50分的人數(shù)為2人;

【小問2詳解】

由(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)xl0=l,得a=0.030,

貝ij平均數(shù)天=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,

故該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)約為71分；

【小問3詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖可知：

[90,100]的頻率為0.005x10=0.05,[80,90）的頻率為0.025xl0=0.25，

所以入圍復(fù)賽的成績(jī)一定在[80,90）,

可知入圍復(fù)賽的成績(jī)的臨界值為Ke[80,90）,

則（90—K）x0.025+0.05=0.1,解得K=88,

故估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(jī)?yōu)镵?88分.

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，M為AP邊上的中點(diǎn)，N為CP邊上的中點(diǎn)，平面平面

ZPBC=90°,AD/IBC,ZABC=9Q°,2AB=2AD=41CD=BC=2-

（1）求證：MN//平面ABC。；

（2）求證：CDJ_平面

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）由條件可得MV//AC,根據(jù)線面平行的判定推理得證.

（2）由條件結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得？5,CD,CD±DB,再利用線面垂直的判定推理得證.

【小問1詳解】

在四棱錐P—ABCD中，連接AC,

在△ACP中，由加、N為對(duì)應(yīng)邊上的中點(diǎn)，即MN為中位線，得MN//AC,

又肱V(z平面ABC。，ACu平面ABCD,所以"N//平面ABCD.

【小問2詳解】

在四邊形ABCD中，AD//BC,NABC=90°,貝|N&4￡)=90。，由AB=A￡),得BD=^AB，

而2AB=?CD=BC，貝=4.2=5。2,于是⑺上功，

由N?fiC=90。，得PBLBC,又平面平面ABCD,平面平面438=5。,

P5u平面P3C，于是直線平面ABCD，又CDu平面ABCD,則尸5LCD,

又PBcBD=B，PB,BDu平面PBD,所以平面PB￡).

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是正方形，上4,平面ABCD,且B4=AT>=2,E為

線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若石為的中點(diǎn)，求三棱錐O—AEC的體積;

(2)若麗=2而，問A3上是否存在點(diǎn)M，使得〃平面AEC?若存在，請(qǐng)指明點(diǎn)河的位置；若

不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)求平面MB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)-

3

(2)存在，AB的中點(diǎn)"

⑶—

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由條件可得點(diǎn)E與點(diǎn)P到平面AZJC的距離之比為工，再由錐體的體積公式，代

2

入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由線面平行的判定定理，即可證明；

(3)根據(jù)題意，由二面角的定義可得NAPD是面/VLD與面B鉆所成銳二面角的平面角，代入計(jì)算，即

可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E與點(diǎn)尸到平面AOC的距離之比為

2

故力-A￡C=^E-ADC=^P-ADC=萬義§乂2*萬X4=§.

【小問2詳解】

存在，取的中點(diǎn)連接。/交AC于點(diǎn)G,連接EG,

則EG為面AEC與面PMD的交線.

易得MG=^G。，

2

PEMG

在三角形PMD中，一=——，所以PM//EG,所以〃平面EAC,

EDGD

即存在點(diǎn)M，且當(dāng)“為中點(diǎn)時(shí)，PM7/平面AEC.

【小問3詳解】

過點(diǎn)P作〃/AB,因?yàn)锳B〃CD,

所以〃/CD,面Q43c面PCD=/,

因?yàn)?4上面ABCD，所以B4LCD,又CDJ_A。，PAr>AD=A,

所以CD,面上4。，

又因?yàn)椤?CD,所以/，面MD,l±PA,l±PD,

所以NAPD是面QA。與面A鉆所成銳二面角的平面角,

因?yàn)椤鰽PD是等腰直角三角形，所以cosZAPD=cos45°=—.

2

19.在銳角VABC中，角A,B,C的對(duì)邊為。，b,c,若c=2,

(Z?+2)(sinC-sinB)=(a-/?)sinA.

(2)若E為AB的中點(diǎn)，且CE=A/L求VAfiC的面積S；

(3)如圖，過A點(diǎn)在VAfiC所在平面內(nèi)作且滿足4。。=空.求線段AO+OC的最大值.

3

JT

【答案】(1)-

3

(2)也

⑶4+2石