江西省三新協(xié)作體2024屆高三下學期5月聯(lián)考數學模擬考試試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.拋物線y=2/的焦點坐標為

A.(1,0)B.(―,0)C.(0,—)D.(0,—)

2.“生活里沒有書籍，就好像沒有陽光；智慧里沒有書籍，就好像鳥兒沒有翅膀.”某學校開

展書香校園活動，甲、乙兩學生統(tǒng)計某一周內的讀書時長數據.若學生甲一周內每天的讀書

時長(單位：小時)分別為3，3,…，%,其均值和方差分別為或和$2,學生乙該周內

每天的讀書時長均比學生甲多半個小時，則學生乙該周內每天讀書時長的均值和方差分別為

()

A.x>s2B.0.5+x-0.25+52

C.0.5+10.25+52D.0.5+x-s2

3.設隨機變量4?N(2,l),若尸6>3)="則P(l<€<3)等于()

1

A.--2mB.1-mC.l-2mD.——m

22

4.設2018a=3,2018b=6,2018c=12,則數列“，b,

A.是等差數列，但不是等比數列B.是等比數列，但不是等差數列

C.既是等差數列又是等比數列D.既非等差數列又非等比數列

5.已知函數/(%)=2fr(l)x-x3+Inx-2,/(%)是/(%)的導函數,則〃1)=(

11

A.1B.2C.-D.——

22

fv21

6.已知實數X,》滿足：L+匕=1,則X-的最大值為()

342

A.V3B.2C.V5D.5

7.已知函數/(可和g(x)的導函數/'(x)、g<x)圖象分別如圖所示，則關于函數

蚱g(x)-的判斷正確的是()

試卷第1頁，共4頁

B.有3個極小值點

C.有1個極大值點和2個極小值點D.有2個極大值點和1個極小值點

8.已知函數/（X）=2COS（3+9）-6（?>0,0<夕<§）在x=0處的切線斜率為-0,若

/（x）在（0,兀）上只有一個零點％,則。的最大值為（）

二、多選題

9.公差為"的等差數列{%},其前〃項和為S",S”>0,512<0,下列說法正確的有（）

A.d<0B.a7>0C.{$,}中最大D.同<同

10.已知函數/■（x）=ln|x|-x+J,給出下列四個結論，其中正確的是（）

A.曲線y=在x=l處的切線方程為x+y+l=0

B./（尤）恰有2個零點

C./⑺既有最大值，又有最小值

D.xtx2>0JL/（X1）+/（x2）=0,則工好2=1

11.設圓C:（x-針+（y-l）2=3,直線/：3x+4y+3=0,尸為/上的動點，過點尸作圓C

的兩條切線尸4尸8,切點為4用MJV為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有（）

A.|尸/|的取值范圍為［1,+s）

B.四邊形上4c5面積的最大值為百

C.滿足//尸5=60°的點尸有兩個

試卷第2頁，共4頁

D./XC/B的面積最大值為壬

4

三、填空題

12.已知成對樣本數據(%,%),(％力)，…,(％,%)(〃23)中演,々,…,/互不相等,且所有樣本

點(x,…)都在直線丁=_；x+1上，則這組成對樣本數據的樣本相關系數

r=.

13.已知函數〃x)=hu,g(x)=ex+左J(x)4g(x),則左的取值范圍為

14.甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方

獲勝，否則本次平局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為:和且每次活動中甲、

乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響.隨機變量X表示在3次活動中甲獲勝的次數,

則尸(X22)=_；D(X)=_.

四、解答題

15.已知函數/(X)=/+ox-21nx(aeR)

⑴當。=0時，求函數/⑺的極值；

(2)若函數/卜)在區(qū)間［1,2］上是減函數，求實數。的取值范圍；

16.已知正項數列｛%｝的前〃項和為S",且滿足：q=1,a^+l=S?+1+S?.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

()設,求數列他,｝的前"項和人

2(2~%~-1J)(2%,+加1)

17.為了考察學生對高中數學知識的掌握程度，準備了甲、乙兩個不透明紙箱.其中，甲箱

有2道概念敘述題，2道計算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計算題(所有題目均不

相同).現有48兩個同學來抽題回答；每個同學在甲或乙兩個紙箱中逐個隨機抽取兩道

題作答.每個同學先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答(不在題目上

作答).兩道題答題結束后，再將這兩道題目放回原紙箱.

(1)如果/同學從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；

(2)如果/同學從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中.3同學接著抽取

試卷第3頁，共4頁

題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個題目抽取概念敘述題的概率.

18.某公園有一個矩形地塊/5CD（如圖所示），邊長近千米，ND長4千米.地塊的

一角是水塘（陰影部分），已知邊緣曲線/C是以A為頂點，以所在直線為對稱軸的拋物

線的一部分，現要經過曲線/C上某一點P（異于A,C兩點）鋪設一條直線隔離帶

點分別在邊N8,8C上，隔離帶占地面積忽略不計且不能穿過水塘.設點尸到邊/。的

距離為1（單位：千米），ABAW的面積為S（單位：平方千米）.

（1）請以A為原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，求出S關于t的函數解析式;

（2）是否存在點P,使隔離出來的ABAW的面積S超過2平方千米？并說明理由.

19.公元263年，劉徽首創(chuàng)了用圓的內接正多邊形的面積來逼近圓面積的方法，算得〃值為

3.14,我國稱這種方法為割圓術，直到1200年后，西方人才找到了類似的方法，后人為紀

念劉徽的貢獻，將3.14稱為徽率.我們作單位圓的外切和內接正3x2"邊形（"=1,2,3--），記

外切正3x2"邊形周長的一半為%,內接正3x2〃邊形周長的一半為4.通過計算容易得

至U：a“=3x2"tanQ（其中是正3x2"邊形的一條邊所對圓心角的一半）

⑴求｛"｝的通項公式；

（2）求證:對于任意正整數小，、上、5依次成等差數列

a”an+ibn

⑶試問對任意正整數〃也、2記區(qū)用是否能構成等比數歹（］?說明你的理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DDCAABDCADBD

題號11

答案AC

1.D

【分析】根據拋物線標準方程，可求得p,進而求得焦點坐標.

【詳解】將拋物線方程化為標準方程為,可知P=J

所以焦點坐標為(0,￡|

所以選D

【點睛】本題考查了拋物線的基本性質，屬于基礎題.

2.D

【分析】根據均值、方差的性質求新數據集的均值和方差.

【詳解】由題意，若學生甲每天的讀書時長毛，則學生乙該周內每天的讀書時長乂=再+0.5,

所以E(Y)=E(X)+0.5=2+0.5,D(Y)=D(X)=s2.

故選：D

3.C

【分析】根據正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.

【詳解】依題意〃=2,。=1,

根據正態(tài)分布的對稱性可知：

尸(1<4<3)=1-2尸(《>3)=1-2牝

故選：C

4.A

【分析】將指數式化為對數式，再根據對數的運算得到6=。-人即可判斷。、6、。是

等差數列，而2-9,所以。、b、。不是等比數列.

ab

【詳解】解：因為2018“=3,2018"=6,2018c=12,所以a=log2-3,b=log20186,

C=1°§201812,

-^b-a=log20186-log20183=log20182,c-b^log201812-log20186=log20182,

答案第1頁，共11頁

所以b-a=c-6,數列〃、b、c為等差數列；

而2甘2,所以數列。、b、c不為等比數列.

故選：A

5.A

【分析】對給定函數求導，賦值求出，'⑴的值，再求出函數值即可.

【詳解】函數/(x)=2/⑴x-/+inx-2,求導得/(x)=2/⑴

取x=l,得/⑴=2,/(x)=4x-x3+Inx-2,

所以〃1)=1.

故選：A

6.B

122

【分析】令加=X-：V,問題化為2x-y-2加=0與土+匕=1有交點情況下，直線在X軸上

2,34

截距最大，聯(lián)立方程求相切情況下〃?值，即可得最大值.

1f2

【詳解】令機=X-彳了，則直線2xr-2w=o與二+乙=1有交點情況下，直線在X軸上截

234

距最大，

假設直線與橢圓相切，則/+3(X-/M)2=3,BP4x2-6mx+3m2-3=0,

所以A=36加之—48(加之—1)=o,可得加2=*即加=±2,

要使2x-y-2加=0在1軸上截距最大，即冽=2.

故選：B.

7.D

【解析】根據題中圖像可知，/'(x)、g'(無)的圖像有三個不同交點，其交點橫坐標按從小到

大的順序，依次記為為、工2，尤3，其中z=o；結合題中函數圖像，判定函數v=g(x)-/(x)

的單調性，進而可得極值點.

【詳解】由題中圖像可知，/'(x)、g'(x)的圖像有三個不同交點，其交點橫坐標按從小到大

的順序，依次記為X］、％,W,其中工2=0,

由圖像可得，當X<花時，g'(x)>r(x),即了=8'。)-/'(》)>0,則函數N=g(x)-7'(X)單

答案第2頁，共11頁

調遞增;

當石<x<0時,g'[x)<f'[x),BPy=g，(x)-/V)<0,則函數y=g(x)-/(x)單調遞減;

當0<x<w時,g'[x｝>f'(x),即。=g，(x)-八x)>0,則函數y=g(x)-〃x)單調遞增；

當時，g,(x)</,(x),即)/=g，(x)-/(x)<0,則函數y=g(x)-/(x)單調遞減；

所以V=g(x)-/(X)有兩個極大值點X]和退；有一個極小值點0.

故選：D.

【點睛】本題主要考查導函數圖像與原函數之間的關系，考查極值點個數的判定，屬于基礎

題型.

8.C

【分析】求出函數的導函數，由/'(0)=-。求出。，由x的取值范圍求出ox+F的范圍，再

根據〃尤)在(0,兀)上只有一個零點X。得到坐<071+=V孚，即可求出。的取值范圍，從

666

而得解.

【詳解】由題意得，/'(x)=-20sin(0x+。)，則/'(0)=-2后119=一0,即sin9=；,

又0<夕<?解得0=巴，.?"(X)=2COS[OX+￡]-J5,

26I6/

由f(X)二°得COS(ox+聿]=,*,*XE.(0,71),a)>09cox-\--G1%,口兀+?),又COS—=,

??"(X)在(0㈤上只有一個零點%,兀+9粵，解得；<OV2,

6663

。的最大值為2.

故選：C.

9.AD

【分析】利用等差數列性質結合給定條件可得。6>0,R+。7<0，再逐項分析判斷作答.

【詳解】由九=11(丁")=]叱>0,得3>0,

又幾=電5產1=6(&+%)<0,得，&+%<0,

所以&>0,?7<0,數列｛%｝是遞減數列，其前6項為正，從第7項起均為負數，

等差數列｛%｝,公差d<0,A選項正確；%<0,B選項錯誤；前6項和最大，C選項錯誤；

答案第3頁，共11頁

由%>0,。9<0，有|。4卜|%|=。4+。9=。6+。7<0，則EkEI，D選項正確.

故選：AD.

10.BD

【分析】A選項，利用導數求了=/(x)在x=l處的切線斜率，進而得切線方程，A錯誤；C

選項，由y=〃x)的導數推導函數y=〃x)的單調性，利用函數y=/(x)的單調性來判定

“X)既無最小值也無既最大值；B選項，由函數了=/1)的單調性及/(—1)=/(1)=0,可

得“X)恰有2個零點；D選項,根據西七>0分類討論，利用/(%1)+/(%)=0得/&)=/『］

再根據函數的單調性可得士赴=1，D正確.

【詳解】對于A,當x>0時，由于函數/(x)=lnx-x+L

x

所以/=

XX

所以/⑴=0,r(i)=1-^-i=-i.

所以曲線了=〃X)在X=1處的切線方程為了=-l(x-l),

即x+y-1=0,故A錯誤；

對于B、C,因為x>0時，r(x)=--^-1=-^--y—<0,

XXX24

所以“X)在區(qū)間(0,+8)上單調遞減.

X<0時，f(x)=ln(—x)—x-\"—,f\x)----z■—1

xx尤'

同理可知〃尤)在區(qū)間(一'0)上單調遞減，所以C錯誤；

又"-1)=0,/(1)=0,

所以“X)恰有2個零點，所以B正確；

對于D,若為>0,x2>0,由/(占)+/(%2)=0,

即/'(再)=)

因為/(x)在(0,+8)上單調遞減，所以國=J,即占々=1.

同理可證當王<0,迎<0時，命題也成立.故D正確.

答案第4頁，共11頁

故選BD.

II.AC

【分析】根據切線長公式即可求解A,B,C,根據三角形的面積公式可求解D.

|3+4+3|

【詳解】圓心C(l,l)到直線/:3x+4y+3=0的距離d=12,

A/32+42

所以|尸C|2d=2,因為圓的半徑為一百，

根據切線長公式可得訓=^\PCf-r2>1,

當尸C，/時取得等號，

所以1PH的取值范圍為［1,+⑹，A正確；

因為尸/_LNC,

所以四邊形PACB的面積等于2xS,c=|尸/卜|/C|=五口匕6,

四邊形上4cB面積的最小值為百，故B錯誤；

因為N4P2=60°,所以N4PC=30°,

AC\1,,

在直角三角形/PC中，-^=sin300=-,所以|"|=2百r，

設尸3一如「)，因為仁尸|=j("l)2+1_即=26，

整理鬻25/+10。-127=0,

則有A=100+12700>0,所以滿足條件的點P有兩個，C正確；

13

因為Jew=51CN|IsinNNC8=5sinNACB

3

所以當sin//C2=l,即NNC2=90°,面積有最大值為二，

此時四邊形R4C5為正方形，則|尸C|=可與=癡>2,滿足要求，

故D錯誤，

故選:AC.

12.-1

【分析】根據給定條件，利用相關系數的定義求解作答.

【詳解】因為所有樣本點(X",)"=1,2,…)都在直線y=-+1上，顯然直線y=-$+1的

答案第5頁，共11頁

斜率一；<0,

所以樣本數據成負相關，相關系數為T.

故答案為：-1

13.k>-2

【分析】令尸(x)=/(x)-g(x),然后求導,找到尸(X)最大值，當〃x)Wg(x)恒成立時，F(x)

最大值小于等于零，解出匕

【詳解】令尸(無)=/(x)-g(x)=lnx-er-M_x>0),

-、1

有尸(x)=_—e=1----e--x--,

XX

當時，F"(x)<0,當時，Fr(x)>0,

ee

所以尸(尤)在［%上單調遞減，在(o.)上單調遞增，

所以尸(無)在x=：處取得最大值，為-2-左，

若〃尤)Wg(x)恒成立，則-2-140,即左2-2.

故答案為：k>-2.

,202

14.——

273

【分析】首先根據甲猜對乙沒有猜對可求出一次活動中，甲獲勝的概率，進而可計算在3

次活動中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解.根據二項分布的方差公式求

D{X}.

【詳解】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為=54=2

653

則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為C^xf-Yxl+f-Y=—；

3⑶3U)27

2

根據題意可知，X?5(3*),

~212

所以Q(X)=-P)=3x§x§=§,

故答案為：W20；2

273

15.(1)極小值為1,無極大值

(2)a<-3

答案第6頁，共11頁

【分析】(1)求定義域，求導，根據導函數求出單調區(qū)間，從而得到極值情況；

(2)由題意得在區(qū)間［1,2］上((x)VO,參變分離，構造函數g(x)=q-2x,求出最小值,

得到答案.

【詳解】(1)a=0時，/(x)=x2-21nx,定義域為(0,+e),

令/(x)>0,解得x>l,令/'(x)<0,解得0<x<l,

故/'(x)在x=l處取得極小值，/(1)=1,

\/㈤的極小值為/⑴=1,無極大值.

(2)???/(尤)在區(qū)間［1,2］上為減函數，

在區(qū)間［1,2］上/'(x)W0,

22

f'(x\—2x+ci—<0aW--2x,

xx

2一

令g(x)=1-2x,只需aVg&Ln，

2

顯然g(x)=1-2x在區(qū)間［1,2］上為減函數，

g(x)mm=g(2)=>4=-3,

/.aW—3

Yl

16.(1)a,=n.(2)T=-~-

n2M+1

【分析】(1)利用4=S,-Sa可得數列｛%｝是等差數列，即可求出通項公式;

(2)由裂項相消法可求出.

【詳解】解：⑴由。=S〃M+S“，

又有a；=S“+S“_i，(?>2),兩式相減得“3-a；=%+］+%(〃22),

因為?！?gt;0，所以《+1-g=1(〃22),

又6=1,*=%+/+%,解得a2=2,滿足

答案第7頁，共11頁

因此數列｛與｝是等差數列，首項為1,公差為1,

所以?！?1+5-1）x1=〃，

b?-1O______—

⑵"=（2〃—+2?+1

所以

NW〉［+…+貴］己

1

17.（D-

【分析】（1）設4表示“第i次從甲箱中抽到概念敘述題”，分別求出概率，根據全概率公式

計算即可；

（2）先設事件，然后求出相關概率，再根據全概率公式計算即可.

【詳解】（1）設4表示“第，次從甲箱中抽到概念敘述題”，，=1，2

則尸（4）=；，尸（414）=；，尸（a㈤等

所以第二題抽到的是概念敘述題的概率

p（a）=p（4）x尸區(qū)的）+「后卜尸他"卜*F0

（2）設事件4表示同學甲從甲箱中取出的兩道題都是概念敘述題，事件鳥表示同學甲從甲

箱中取出的兩道題都是計算題，事件層表示同學甲從甲箱中取出1個概念敘述題1個計算

題，事件C表示8同學從乙箱中抽取兩道題目，第一個題目抽取概念敘述題，

尸（⑷尸出）="=，尸（員”詈京2

3

尸（C⑻尸（C心尸⑹員

.?.JP（C）=P（51）XP（C|S1）+P（52）XP（C|52）+JP（J83）XJP（C|53）

答案第8頁，共11頁

18.(1)5=1?3-2>/2?2+4?(0<?<V2)

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)由題意設拋物線方程為y=ax7然后將點C的坐標代入可求出。，則可求得拋

物線的方程，再利用導數的幾何意義求出切線"N的方程，從而可求出兩點坐標，進

而可表示出ABMN的面積；

(2)利用導數求出S=?3一20〃+書(0＜/＜的最大值與2比較即可.

【詳解】(1)如圖建立平面直角坐標系，則/(0,0),5(&,0),C(衣4),。(0,4),

由題意設拋物線方程為＞=ax2,代入點C(C,4),得4=2a,解得a=2,

所以拋物線方程為＞=2/,

由題意知直線為拋物線的切線，

因為點P到邊40的距離為＜0＜彳＜0)，所以切點P的坐標為億2產)，

由y=2f,得y=4x,所以直線aW的斜率為4f,

所以直線A/2V的方程為y-2產=4/(xT),即y=4tv-2「，

令k0,得x=；,所以

令x=0，得＞=4萬一2產，所以y=N(收,46一〃2),

所以S=卜［0-(卜(4后一22)=3-2^2+4,

(2)因為S=；-一2后「+4*0＜/＜行),

答案第9頁，共11頁

Q1

所以5'=5〃_4"+4=3,_2頂)(3/_2夜)，

因為0<"血，所以t-2啦<0，

所以當0</<迪時，S'>0,當迪也時，s'<0,

33

所以S=；/+書在卜上遞增，在—^―,A/2上遞減，

所以當”孚時，s取得最大值3/1竿］_2及x產J+4'專=二|￡<2,

所以不存在點尸，使隔離出來的ABMN的面積S