PAGE一、核心素養(yǎng)引領(lǐng)類型一用數(shù)學(xué)的眼光視察世界——數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)1數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，相識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.【例1】(2024·北京卷)為滿意人民對美妙生活的憧憬，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W＝f(t)，用－eq\f(f（b）－f（a）,b－a)的大小評價在[a，b]這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理實力的強弱.已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示.給出下列四個結(jié)論：①在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理實力比乙企業(yè)強；②在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理實力比乙企業(yè)強；③在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標(biāo)；④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理實力最強.其中全部正確結(jié)論的序號是__________.解析－eq\f(f（b）－f（a）,b－a)表示在[a，b]上割線斜率的相反數(shù)，－eq\f(f（b）－f（a）,b－a)越大治理實力越強.對于①，在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)對應(yīng)圖象的割線斜率的相反數(shù)大，故甲企業(yè)的污水治理實力比乙企業(yè)強，正確；對于②，要比較t2時刻的污水治理實力，即看在t2時刻兩曲線的切線斜率，切線斜率的相反數(shù)越大，污水治理實力越強，故在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理實力比乙企業(yè)強，正確；對于③，在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達標(biāo)排放量以下，正確；對于④，甲在[t1，t2]這段時間內(nèi)的污水治理實力最強，錯誤.綜上，正確的序號為①②③.答案①②③【訓(xùn)練1】如圖，圓O的半徑為1，A，B是圓上的定點，OB⊥OA，P是圓上的動點，點P關(guān)于直線OB的對稱點為P′，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，將|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP′,\s\up6(→))|表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，π]上的圖象大致為()解析建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，則P(cosx，sinx)，P′(cos(π－x)，sin(π－x))，即P′(－cosx，sinx)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP′,\s\up6(→))＝(cosx，sinx)－(－cosx，sinx)＝(2cosx，0)，∴f(x)＝|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP′,\s\up6(→))|＝2|cosx|.故選A.答案A素養(yǎng)2直觀想象直觀想象主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象相識事物，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型解決問題.【例2】(多選題)(2024·海南新高考診斷)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)AA1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，異面直線AB1與C1F所成角的余弦值為m，則()A.m＝eq\f(\r(3),3) B.直線A1E與直線C1F共面C.m＝eq\f(\r(2),3) D.直線A1E與直線C1F異面解析連接EF，AC，A1C1，C1D，DF，因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC，所以EF∥A1C1，所以直線A1E與直線C1F共面.因為AB1∥C1D，所以異面直線AB1與C1F所成的角為∠DC1F.設(shè)AA1＝eq\r(2)，則AB＝eq\r(2)AA1＝2，DF＝eq\r(5)，C1F＝eq\r(3)，C1D＝eq\r(6).在△DC1F中，由余弦定理，得m＝cos∠DC1F＝eq\f(3＋6－5,2×\r(3)×\r(6))＝eq\f(\r(2),3).故選BC.答案BC【訓(xùn)練2】(2024·新高考山東卷)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是()A.(－2，6) B.(－6，2)C.(－2，4) D.(－4，6)解析如圖，取A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(2，0)，C(3，eq\r(3))，F(xiàn)(－1，eq\r(3)).設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,