專題07立體幾何小題綜合沖刺秘籍沖刺秘籍歐拉定理(歐拉公式)(簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.空間的線線平行或垂直設(shè)，，則；.夾角公式設(shè)，b＝，則.異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）直線與平面所成角，(為平面的法向量).二面角的平面角（，為平面，的法向量）.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，）.沖刺訓(xùn)練沖刺訓(xùn)練一、單選題1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是三條不同的直線，是三個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則．B．若與異面，，則存在，使得．C．若，則．D．若，則．【答案】D【分析】利用線線、線面、面面關(guān)系的判定與性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，若，則，又，∴．選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，在上取點(diǎn)，分別作的平行線，這兩條相交直線確定平面，因?yàn)?，則，同理可證，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，故B正確；

對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)，在平面內(nèi)任取一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，垂足分別為點(diǎn)．又因?yàn)?，，，，又，故，又因?yàn)槠矫妫瑥亩蔬x項(xiàng)C正確；

對(duì)選項(xiàng)D，直線的位置關(guān)系可以是任意的，比如設(shè)，且，，，則根據(jù)平行的傳遞性知，故D錯(cuò)誤.故選：D.2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是我國(guó)古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺(tái)，上、下底面邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm，側(cè)棱長(zhǎng)為cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝（

）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L【答案】C【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出正四棱臺(tái)的直觀圖，其中底面是邊長(zhǎng)為20的正方形，底面是邊長(zhǎng)為10的正方形，側(cè)棱，記底面和底面的中心分別為和，則是正四棱臺(tái)的高.

過(guò)作平面的垂線，垂足為，則且，，所以，，故，所以棱臺(tái)的高，由棱臺(tái)的體積公式得．故選：C.3．（2023·福建寧德·?？级＃┰陂L(zhǎng)方體中，和與底面所成的角分別為和，則異面直線和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合在直線三角形中銳角三角函數(shù)，求得棱長(zhǎng)，利用異面直線夾角的定義，根據(jù)余弦定理，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：則，，設(shè)，在中，易知，在中，，，，在長(zhǎng)方體中，易知，則為異面直線與的夾角或其補(bǔ)角，在中，，則，同理可得，，由余弦定理，則.故選：C.4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).如圖1，這是一種常見(jiàn)的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的兩個(gè)相對(duì)三角形面間的距離為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，由等體積轉(zhuǎn)化得出截去的三棱錐的高，由體對(duì)角線減去該高，計(jì)算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，如圖所示，由題意可知：，所以.故該正方體的棱長(zhǎng)為，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該小三棱錐幾何體的體積為，

所以該三棱錐的頂點(diǎn)D到面ABC的距離.易知魯班鎖兩個(gè)相對(duì)的三角形面平行，且正方體的體對(duì)角線MD垂直于該兩面，故該兩面的距離.故選：C5．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是a，且，，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基底向量，即可由空間向量的模長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】在平行六面體中，不妨設(shè)，，．,，，，所以，，，所以E到直線的距離為，故選：A6．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）車(chē)木是我國(guó)一種古老的民間手工工藝，指的是用刀去削旋轉(zhuǎn)著的木頭，可用來(lái)制作家具和工藝品，隨著生產(chǎn)力的進(jìn)步，現(xiàn)在常借助車(chē)床實(shí)施加工．現(xiàn)要加工一根正四棱柱形的條木，底面邊長(zhǎng)為，高為．將條木兩端夾住，兩底面中心連線為旋轉(zhuǎn)軸，將它旋轉(zhuǎn)起來(lái)，操作工的刀頭逐步靠近，最后置于離旋轉(zhuǎn)軸處，沿著旋轉(zhuǎn)軸平移，對(duì)整塊條木進(jìn)行加工，則加工后木塊的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先作出加工后木塊的橫截面的形狀，據(jù)此計(jì)算即可得加工后木塊的體積.【詳解】加工后木塊的橫截面的形狀如圖所示，

其中O為橫截面的中心，,，，計(jì)算可得,:,所以加工后木塊的體積為.故選：B.7．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架的邊長(zhǎng)均為2，活動(dòng)彈子在線段上移動(dòng)（包含端點(diǎn)），彈子分別固定在線段的中點(diǎn)處，且平面，則當(dāng)取最大值時(shí)，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意確定點(diǎn)的位置，再計(jì)算可求多面體的體積即可.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以為直角三角形，所以?dāng)最短時(shí)，取最大值，即時(shí)，取最大值，因?yàn)榉謩e固定在線段的中點(diǎn)處，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以多面體的體積為，故選：A8．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）風(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期，相傳墨翟以木頭制成木鳥(niǎo)，研制三年而成，是人類最早的風(fēng)箏起源.如圖，是某高一年上級(jí)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體為的中點(diǎn)，四邊形為矩形，且，當(dāng)時(shí)，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先證得平面，在中，利用余弦定理求得，再結(jié)合線面垂直判定定理證得平面，得到，設(shè)，利用，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】在中，因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，在中，因?yàn)榍?，所以，所以，且，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危傻?，又因?yàn)椋移矫妫云矫?，因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)，在直角中，可得，在直角中，可得，因?yàn)?，所以，即，解得，所以多面體的體積為：.故選：B.

9．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）在馬致遠(yuǎn)的《漢宮秋》楔子中寫(xiě)道：“氈帳秋風(fēng)迷宿草，穹廬夜月聽(tīng)悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個(gè)圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用圓錐側(cè)面積公式以及母線、底面半徑和高的關(guān)系得到方程組即可解出圓錐底面半徑，再利用圓柱側(cè)面積公式即可求圓柱的高，最后再根據(jù)相關(guān)體積公式即可得到答案.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積為，所以，即.因?yàn)椋月?lián)立解得（負(fù)舍）.因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以，即，解得，所以該氈帳的體積為.故選：A.10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取AC的中點(diǎn)M，可得即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過(guò)O1作平面ABC的垂線，過(guò)△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內(nèi)，它們的交點(diǎn)就是球心O，在平面ABC內(nèi)，設(shè)，然后表示出外接球的半徑，利用基本不等式可求出其最小值，從而可求得答案.【詳解】當(dāng)D在△ACD的外接圓上動(dòng)的時(shí)候，該三棱錐的外接球不變，故可使D點(diǎn)動(dòng)到一個(gè)使得DA=DC的位置，取AC的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)?，DA=DC，所以，，故即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過(guò)O1作平面ABC的垂線，過(guò)△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內(nèi)，它們的交點(diǎn)就是球心O，畫(huà)出平面BMD，如圖所示；在平面ABC內(nèi)，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，所?/p>

令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故選:B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了三棱錐外接球的求法、三角函數(shù)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出外接球的球心位置，考察學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，考查學(xué)生的推理運(yùn)算能力，屬于難題.二、多選題11．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿、將、翻折，使點(diǎn)、重合，記為點(diǎn)，翻折后得到三棱錐，則（

）

A．B．三棱錐的體積為C．三棱錐外接球的半徑為D．直線與所成角的余弦值為【答案】ACD【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A選項(xiàng)；利用錐體的體積公式可判斷B選項(xiàng)；求出的外接圓半徑，結(jié)合平面，可求出三棱錐的外接球半徑，可判斷C選項(xiàng)；利用空間向量法可求出直線與所成角的余弦值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，翻折前，，翻折后，則有，，因?yàn)?，、平面，所以平面，故A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，在中，，邊上的高為，所以，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，由余弦定理，可得，則，所以的外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，因?yàn)槠矫妫?，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，在中，，，則，所以直線與直線所成角的余弦值為，故D對(duì).故選：ACD.12．（2023·山東濰坊·三模）如圖所示的幾何體，是將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)，作平行于底面的截面所得，且其所有棱長(zhǎng)均為1，則（

）

A．直線與直線所成角為 B．直線與平面所成角為C．該幾何體的體積為 D．該幾何體中，二面角的余弦值為【答案】AC【分析】將該幾何體還原為原正四面體，對(duì)A：直線與直線所成角即為MQ與QN所成角；對(duì)B：直線與平面所成角為QN與底面MNS所成的角；對(duì)C：該幾何體的體積為大正四面體的體積減去4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四面體的體積；對(duì)D：二面角的大小與的大小互補(bǔ).【詳解】將該幾何體還原為原正四面體，棱長(zhǎng)為，設(shè)中心為O，連接OQ，ON，則,對(duì)A：因?yàn)?，所以直線與直線所成角即為MQ與QN所成角為，故A正確；對(duì)B：直線與平面所成角為QN與底面MNS所成的角，即為所求角，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：該幾何體的體積為大正四面體的體積減去4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四面體的體積，，故C正確；對(duì)D：二面角的大小與的大小互補(bǔ)，顯然的大小為銳角，所以二面角的大小一定為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：AC13．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為四邊形的中心，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若三棱錐的體積為定值，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】連接，交于點(diǎn)，連接，由題意可得平面，進(jìn)而可得為與的交點(diǎn)，可得，可求的值.【詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)闉樗倪呅蔚闹行?，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槿忮F的體積等于三棱錐的體積，且為定值，所以平面，所以平面與平面為同一平面，所以為與的交點(diǎn)，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以．故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．14．（2023·云南曲靖·校考三模）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（

）

A．直線為異面直線B．平面C．過(guò)點(diǎn)的平面截正方體的截面面積為D．點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面，則的取值范圍是【答案】BC【分析】A.根據(jù)平行關(guān)系的傳遞性，可證明，即可判斷；B.首先判斷平面平面,再利用線面垂直的判斷定理，即可證明；C.首先作出截面，再根據(jù)截面的形狀，求其面積；D.利用面面平行的形狀，確定點(diǎn)的軌跡，再求的長(zhǎng)度.【詳解】對(duì)于A，連接，

由題意可知，因?yàn)椋?，所以共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理，平面，且，平?所以平面平面,連結(jié)，因?yàn)?，，，且平面，所以平面，平面，所以，同理，，且，平面，所以平面，且平面平面，所以平面，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，連接，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，且，所以平面即為過(guò)點(diǎn)的平面截正方體的截面，該四邊形為等腰梯形，其上底，下底，腰,高為，所以截面面積為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，因?yàn)辄c(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，連接，

在中，，點(diǎn)到的距離為，的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于八個(gè)定理的熟悉，特別是選項(xiàng)D的判斷，先通過(guò)面面平行找到P的軌跡，從而得到的取值范圍.15．（2023·海南·海南中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，和交于點(diǎn)，將沿直線翻折，則正確的是（

）

A．存在，在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得B．存在，在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得C．存在，在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得平面D．存在，在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得平面【答案】ABC【分析】當(dāng)時(shí),可得面，從而可判斷選項(xiàng)A；可得面，判斷選項(xiàng)B；取，當(dāng)將沿直線翻折到時(shí)，可判斷選項(xiàng)C；若平面，又平面，則，則與與相矛盾，可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)矩形為正方形，則將沿直線翻折，若使得面面時(shí),由，面，面面，所以面,又面,所以，故選項(xiàng)A正確.對(duì)B，又，，且，所以面，又面，所以，故選項(xiàng)B正確，對(duì)C，在矩形中，,，所以將沿直線翻折時(shí)，總有，取，當(dāng)將沿直線翻折到時(shí)，有，即，且，則此時(shí)滿足平面，故C正確.對(duì)D，若平面，又平面，則，所以在中，為斜邊，這與相矛盾.故D不正確.故選：ABC16．（2023·廣東湛江·校考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為底面的中心，，，N為線段AQ的中點(diǎn)，則（

）

A．CN與QM共面B．三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)C．時(shí)，過(guò)A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為D．時(shí)，【答案】ABC【分析】由為的中點(diǎn)，得到，可判定A正確；由到平面的距離為定值，且的面積為定值，根據(jù)，可得判定B正確，由時(shí)，得到三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形，可判定C正確；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可判定D不正確．【詳解】在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以與共面，所以A正確；由，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)，所以B正確；當(dāng)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形，

所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，所以C正確；當(dāng)時(shí)，可得為的中點(diǎn),為的中點(diǎn)，則，所以不成，所以D不正確．故選：ABC

17．（2023·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)、滿足，，其中、，點(diǎn)是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，若平面，則的最大值為C．當(dāng)時(shí)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．過(guò)、、三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形可以為矩形【答案】AC【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷AC選項(xiàng)；分別取、中點(diǎn)、，連接、、、、，找出點(diǎn)的軌跡，結(jié)合圖形求出的最大值，可判斷B選項(xiàng)；作出截面，分析截面的形狀，可判斷D選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、，、、，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，則，因?yàn)槠矫?，故?dāng)時(shí)，平面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)，

分別取、中點(diǎn)、，連接、、、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)榍遥?，四邊形為平行四邊形，則，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，因?yàn)榍?，、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，可得且，又因?yàn)榍?，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)椋?、平面平面，?dāng)點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)（異于點(diǎn)）時(shí)，則平面，則平面，故點(diǎn)的軌跡為的邊（除去點(diǎn)），因?yàn)?，同理可得，結(jié)合圖形可得，B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，、分別為、的中點(diǎn)，如下圖所示：

此時(shí)點(diǎn)、、，，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中，，則，因?yàn)?，則，解得，設(shè)點(diǎn)的軌跡分別交棱、于點(diǎn)、，則、，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中，，，則，設(shè)點(diǎn)的軌跡交棱于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)的軌跡交棱于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，，同理可得，所以，四邊形為平行四邊形，且，，因此，點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度即為平行四邊形的周長(zhǎng)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，

題意可知，截面與平面重合，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，，同理可得，所以，四邊形為平行四邊形，易知，其中，所以，，，所以，，故與不可能垂直，故平行四邊形不可能為矩形，故過(guò)、、三點(diǎn)的截面不可能是矩形，D錯(cuò).故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用平面的性質(zhì)確定截面形狀的依據(jù)如下：（1）平面的四個(gè)公理及推論;.（2）直線與平面平行的判定與性質(zhì);（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì).18．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論成立的有（

）A．過(guò)的截面截正方體所得的截面多邊形為等腰梯形B．的最小值為C．當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的半徑為D．兩點(diǎn)間的最短距離為【答案】ABD【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可判斷A；將兩半平面折成一個(gè)平面，從而求得線段和的最小值，判斷B；確定三棱錐的外接球的球心位置，列式求解，可判斷C；求解異面直線的公垂線段的長(zhǎng)可判斷D.【詳解】在正方體中，平面平面，

設(shè)過(guò)的截面截正方體所得的截面為，M為截面與的交點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，又，故，即∽，而，則，又點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），，即過(guò)的截面截正方體所得的截面多邊形為等腰梯形，A正確；根據(jù)正方體性質(zhì)可知≌，

故可將沿轉(zhuǎn)到和重合位置，則的最小值為的長(zhǎng)，而正方體棱長(zhǎng)為1，故，即的最小值為，B正確；當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為N，連接，

由于，故，連接交于G，連接，則四邊形為矩形，故，平面，故平面，又，則N為的外心，故三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)為H，而,，則，設(shè)三棱錐的外接球半徑為r，則，解得，C錯(cuò)誤；當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，由C的分析可知Q位于N點(diǎn)位置，此時(shí)，即此時(shí)間距離最短，最短距離為，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了幾何體截面問(wèn)題、線段和最小以及外接球半徑和異面直線間的最短距離問(wèn)題，難度較大，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關(guān)系，特別是求外接球半徑時(shí)，要確定球心位置，再列式求解.19．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（

）

A．當(dāng)在上時(shí)，三棱錐的體積為定值B．與所成角正弦的最小值為C．過(guò)作垂直于的平面截正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，面積的最小值為【答案】ABD【分析】證明出平面，可知，可判斷A選項(xiàng)；利用線面角角的定義可判斷B選項(xiàng)；分別取線段、的中點(diǎn)、，連接、、、、、、，證明出平面，并計(jì)算出四邊形的周長(zhǎng)，可判斷C選項(xiàng)；分析可知，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)取最小值，可求出面積的最小值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接、，如下圖所示：

在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，?dāng)在上時(shí)，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接，

因?yàn)槠矫?，所以，與所成的最小角為直線與平面所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，與平面所成角為，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)?，，所以，，所以，，故與所成角正弦的最小值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取線段、的中點(diǎn)、，連接、、、、、、，

因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，在和中，，，，所以，，則，所以，，則，即，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，則、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)?，，，、平面，所以，平面，過(guò)作垂直于的平面截正方體所得截面，則截面為梯形，由勾股定理可得，同理可得，，，所以，截面周長(zhǎng)為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)槠矫妫矫?，則，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的長(zhǎng)取最小值，此時(shí)，，所以，，D對(duì).故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間幾何體體積的方法如下：（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．20．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)一中?？家荒＃┮阎拿骟w的棱長(zhǎng)為，其外接球的球心為.點(diǎn)滿足，，過(guò)點(diǎn)作平面行于和，平面分別與該正四面體的棱，，相交于點(diǎn)，，，則（

）A．四邊形的周長(zhǎng)為定值B．四棱錐的體積的最大值為C．當(dāng)時(shí)，平面截球所得截面的周長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，將正四體繞旋轉(zhuǎn)后與原四面體的公共部分體積為【答案】ABD【分析】將正四面體轉(zhuǎn)化為正方體，利用正方體的性質(zhì)分析運(yùn)算，對(duì)A：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理結(jié)合平行線的性質(zhì)分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)錐體體積公式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值；對(duì)C：根據(jù)球的性質(zhì)分析運(yùn)算；對(duì)D：根據(jù)正方體分析可得：兩個(gè)正四面體的公共部分兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成，利用錐體體積公式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于邊長(zhǎng)為2的正方體，則ABCD為棱長(zhǎng)為的正四面體，則球心O即為正方體的中心，連接，設(shè)，∵，，則為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，，平面，∴平面平面，對(duì)A：如圖1，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，則，即，同理可得：，，，，∴四邊形EMGH的周長(zhǎng)（定值），A正確；

對(duì)B：如圖1，由A可知：，，，，∵為正方形，則，∴為矩形，根據(jù)平行可得：點(diǎn)A到平面的距離，故四棱錐的體積，則，∵，則當(dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取到最大值，故四棱錐的體積的最大值為，B正確；對(duì)C：正四面體ABCD的外接球即為正方體的外接球，其半徑，設(shè)平面截球O所得截面的圓心為，半徑為，時(shí)，，平面過(guò)外接球球心，平面截球所得截面圓半徑為，截面圓周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；對(duì)D：如圖2，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后得到正四面體，設(shè)，∵，則分別為各面的中心，∴兩個(gè)正四面體的公共部分為，為兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成，根據(jù)正方體可得：，正四棱錐的高為，故公共部分的體積，D正確；故選：BD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于正四面體的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們常轉(zhuǎn)化為正方體，利用正方體的性質(zhì)處理相關(guān)問(wèn)題.三、填空題21．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰趫A臺(tái)中，是其軸截面，，過(guò)與軸截面垂直的平面交下底面于，若點(diǎn)到平面的距離是，則圓臺(tái)的體積等于.【答案】【分析】點(diǎn)到平面的距離即為與的距離，即點(diǎn)到的距離等于，故可以求得棱臺(tái)的高，進(jìn)而求得棱臺(tái)的體積.【詳解】∵，所以四邊形為平行四邊形，所以,則為正三角形∴，由題意得，平面平面平面，且平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為與的距離，在中，過(guò)點(diǎn)作的垂線,過(guò)點(diǎn)作的垂線，則，所以，則，則圓臺(tái)的體積為，所以圓臺(tái)的體積為.故答案為：22．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體中，，，，，則線段的長(zhǎng)為.

【答案】1【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律求解即可.【詳解】由題可得,，,所以,且,因?yàn)?所以，所以，故答案為:1.23．（2023·福建莆田·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長(zhǎng)方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底、長(zhǎng)方形足、器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm，口長(zhǎng)13.5cm，口寬12cm，底長(zhǎng)12.5cm，底寬10.5cm．現(xiàn)估算其體積，上部分可以看作四棱錐，高約8cm，下部分看作臺(tái)體.則其體積約為（精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【分析】根據(jù)題意利用臺(tái)體、錐體的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，，所以幾何體的體積.故答案為：.24．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面為平行四邊形，點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面與棱的交點(diǎn)為，若，則．【答案】2【分析】延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，根據(jù)，得到，連接交于點(diǎn)，得到過(guò)點(diǎn)的截面，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)，求得，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，由，且為的中點(diǎn)，所以，即，連接交于點(diǎn)，連接，則過(guò)點(diǎn)的截面即為截面，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，可得，即，所以，因?yàn)椋?故答案為：.

25．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面平面，又為等邊三角形，為的中點(diǎn)，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的正切值最小為.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成的角，可得直線與平面所成的角為，進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)闉槠矫鎯?nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以直線為平面上的任意直線，根據(jù)線面角的定義可得，平面的一條斜線與平面上任意直線所成的角中，斜線與它在平面上的射影所成的角為最小角，可轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成的角，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以直線在平面上的射影為，直線與平面所成的角為因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，所以直線與直線所成的最小角為，其正切值最小為.故答案為：26．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)的上底面的邊長(zhǎng)為，下底面的邊長(zhǎng)為，記該正四棱臺(tái)的側(cè)面積為，其外接球表面積為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值是.【答案】【分析】由球的表面積公式求解四棱臺(tái)的外接球表面積，并求出側(cè)面積，然后求解即可.【詳解】當(dāng)取得最小值時(shí)，則球心在正四棱臺(tái)的下底面內(nèi)，為上底面的中心，如圖所示，

由此可得外接球的半徑為，進(jìn)而可得，進(jìn)而可求側(cè)面的斜高.則側(cè)面的面積，又，所以.故答案為：.27．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點(diǎn)的棱錐的體積為.

【答案】【分析】利用已知作出截面，進(jìn)而利用分割法即可求得以平面截正方體所得截面為底面，為頂點(diǎn)的棱錐的體積.【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則平面即為平面截正