萬州二中2023年高2023屆1月質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

全卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

一、單選題

1.已知向量a=(L2),%=(0,1),則。一6=()

A.(1,3)B.(3,1)C.(1,1)D.(-1,-1)

2.異面直線指的是()

A.兩條不相交的直線B.兩條不平行的直線

C.不同在某個(gè)平面內(nèi)的兩條直線D.不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

3.某研究機(jī)構(gòu)為了實(shí)時(shí)掌握當(dāng)?shù)匦略龈咚龠\(yùn)行情況，在某服務(wù)區(qū)從小型汽車中抽取了80名

駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段：[60,65),[65,70),

[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列結(jié)論錯(cuò)誤的

A.這80輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計(jì)值為77.5

B.這80輛小型車輛車速的中位數(shù)的估計(jì)值為77.5

C.這80輛小型車輛車速的平均數(shù)的估計(jì)值為77.5

D.在該服務(wù)區(qū)任意抽取一輛車，估計(jì)車速超過75km/h的概率為0.65

4.如圖，在四棱錐P-A8CD中，AB=AD=\,其余的六條棱長均為2,則該四棱錐的體

積為()

B

A而口而「而「屈

6633

22

5.設(shè)雙曲線C5■-方=1（“>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為環(huán)，工，以工為圓心的圓恰好

與雙曲線C的兩漸近線相切，且該圓恰好經(jīng)過線段。心的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是（）

A.空B.&C.逑D.迪

333

6.過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則圓柱的側(cè)

面積是（）

A.12近兀B.16TTC.8乃D.10乃

7.一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為

M,GH的中點(diǎn)為M下列結(jié)論正確的是（）

A.MV〃平面ABEB.MV〃平面A￡）E

C.MN//平面BDHD.MV//平面CDE

38

8.已知正數(shù)x,y滿足正而+際萬=i'則孫的最小值是（）

二、多選題

9.函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,它的導(dǎo)函數(shù)y=_f（x）的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論正確的

A.在（1,2）上函數(shù)/（x）為增函數(shù)B.在（3,5）上函數(shù)為增函數(shù)

C.在（1,3）上函數(shù)“X）有極大值D.x=3是函數(shù)在區(qū)間［1,5］上的極小值點(diǎn)

10.（多選）如果函數(shù)f（x）在口,可上單調(diào)遞增，對于任意的4電1aH%），下列

結(jié)論中正確的是()

/(A))-/(X)

a.2，uB.(5一&)[/(3)-/⑸]>。

%一七

D,?(%)二〃/<0

c./(a)</(^)</(-^)<f(b)

不一々

11.己知正數(shù)x,九z滿足2"=4>'=6：,則()

A.x=2yB.x<2y

C.x<3zD.y<3z

12.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件,

則下列結(jié)論正確的有（）

A.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；8種

B.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C；C%+C；C9；種

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C'^-C1種

三、填空題

13.在銳角J1BC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若C=45J8=4石，sinB=半,

則°=

14.若隨機(jī)變量X~N（0,l）,已知P（—l<X<l）=a,則P（X>1）=.

15.若不等式爐+2彳_1±/_3"對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

16.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z上，有一個(gè)等邊三角形ABC,其中點(diǎn)A在z軸上.已知該等邊

三角形的邊長為2,重心為G,點(diǎn)8,C在平面xOy上，若OG在z軸上的投影是z,則

|OG『=（用字母z表示）.

四、解答題

17.已知點(diǎn)4（5,-2）,8（-1,4）,。（3,3）,“是線段48的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)M和前的坐標(biāo)；

（2）若D是x軸上一點(diǎn)，且滿足訪//?？?，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

18.己知函數(shù)〃力=/+以+3.

（1）若“X）有一個(gè)零點(diǎn)為x=3,求a；

（2）若當(dāng)xsR時(shí)，/（x）2a恒成立，求a的取值范圍.

19.新型冠狀病毒感染的肺炎治療過程中，需要某醫(yī)藥公司生產(chǎn)的某種藥品.該公司每年產(chǎn)

生此藥品不超過300千件，此藥品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件需另投入成本為

C（x）=^x2+10x（萬元）.每千件藥品售價(jià)為50萬元，在疫情期間，該公司生產(chǎn)的藥品能

全部售完.

（I）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，在這一藥品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？利潤最大是多少？

（II）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，每千件藥品的平均利潤最大？并求最大平均利潤.

20.已知正四棱柱A8CD-A/B/G。/的底面邊長為2,側(cè)棱長為4,E,尸分別為々G，AD

的中點(diǎn).

（I）求證：BE平面CiFDi；

（II）求直線BE到平面CiFD1的距離.

21.已知橢圓C:￡+g"=l(a>6>0)兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，心，離心率為正，且過點(diǎn)(2,四).

ab-2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

TT

(2)P是橢圓C上的點(diǎn)，且鳥=三，求三角形耳尸鳥的面積.

22.已知函數(shù)/(司=W.

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線斜率為T,求。的值；

萬州二中2023年高2023屆1月質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題參考答案

1.C

【詳解】由題設(shè)，=2)-(0,1)=(1,1).

故選：C.

2.D

【詳解】由異面直線定義知：異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

故選：D.

3.C

【詳解】解：對于A：由圖可知，眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對應(yīng)的值歿^=77.5,

故A正確.

對于B：[60,65),[65,70),[70,75)所對應(yīng)的矩形的面積分別為0.05,0.1,0.2,其和為

0.35<0.5,而[75,80)對應(yīng)的矩形面積為0.3,因此中位數(shù)的估計(jì)值為

535

75+0-~2-X5=77.5,故B正確.

0.3

對于C：平均數(shù)的估計(jì)值為

62.5x0.05+67.5xO.l+72.5x0.2+77.5x0.3+82.5x0.25+87.5x0.1=77,故C錯(cuò)誤.

對于D：估計(jì)車速超過的概率為(0.06+0.05+0.02)x5=。.65,故D正確.

故選：C.

4.C

【詳解】連接4C,8。，交點(diǎn)為E,如圖所示:

AB=AD,CB=CD,且AC是公共邊,

ABC^ADC,:.ZCAB=ZCAD,

易得AE哈AED,^AEB=ZAED=90°,BE=DE,

即3O_LAC,又PB=PD,:.BDLPE,

ACPE=E,AC,PEu平面%C,

平面PAC,又5￡>u平面ABC。，

???平面PAC1平面ABCD.

過點(diǎn)尸作PO1平面ABC。，垂足為O,連接08,

PA=PC,：.OA=OC,

OAOBu平面A3CD,/.PO1OA,POVOB,

由PA=PB,P。是公共邊，.工POA^POB,

即有OA=O8=OC,

，A,8,C三點(diǎn)在以AC為直徑的圓周上，

.?.ZABC=90。，AC=JC+22=6OA當(dāng),

：.PO=yJpA'-OA2=布=浮，

$ABCD=2SABC=2xlx2x—=2,

,,1ns1「而而

^P-ABCD=§XSABCDXPO=-X2X.

故選：c

5.A

【詳解】由題意知：漸近線方程為由焦點(diǎn)鳥（。,）2

y=±?x,0,c=a2+〃，

a

以行為圓心的圓恰好與雙曲線C的兩漸近線相切，

則圓的半徑，?等于圓心到切線的距離,

又該圓過線段。鳥的中點(diǎn)，故］=廠=6,

所以離心率為￡=

a

故答案為：”.

3

6.B

【詳解】如圖所示，過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是正方形ABCD,

面積為16,故邊長A8=AC=4,

即底面半徑R=2,側(cè)棱長為AC=4,

則圓柱的側(cè)面積是S=2TCR-AC=16TT,

故選：B.

B

D

【解析】根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點(diǎn)的標(biāo)記字母，取M的中點(diǎn)。,連接ON,BO,

可以證明MM80,利用B0與平面ABE的關(guān)系可以判定MN與平面48E的關(guān)系，進(jìn)而對選

擇支A作出判定；根據(jù)MN與平面8CF的關(guān)系，利用面面平行的性質(zhì)可以判定與平面

AOE的關(guān)系，進(jìn)而對選擇支B作出判定;利用線面平行的判定定理可以證明與平面BCE

的平行關(guān)系，進(jìn)而判定C；利用在平面CDE尸的兩側(cè)，可以判定與平面CQE的關(guān)

系，進(jìn)而對D作出判定.

【詳解】根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點(diǎn)的標(biāo)記字母如圖所示，取尸”的中點(diǎn)0,

連接0N,B0,

易知ON與8M平行且相等，，四邊形。NMB為平行四邊形，.?.MMB0,

：B。與平面ABE（即平面ABFE）相交，故與平面A8E相交，故A錯(cuò)誤；

?:平面AO回平面BCEMNC平面BCF=M,：.MN與平面AOE相交，故B錯(cuò)誤；

：B0u平面8。，尸,即80卜平面平面平面故C正確；

顯然M,N在平面CDEF的兩側(cè)，所以MN與平面CDEF相交，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.D

［詳解］「=——+------,

x?y=xy(7x--+---2--y-)-y-----(--3-x--+---2--y-)xJ%+2y3x+2y

.八rcm?n—m3m-n

令x+2y="z,3x+2y=n,貝(jx=---,y=---,

3x8y3n6m7_13n6m75

xy=---------1-----------=------1---------->2A----------=一,

x+2y3x+2y2nin2V2mn22

當(dāng)且僅當(dāng)擠黑且屋石十西與X,即x=By當(dāng)時(shí)，等號成立，

所以^之!，故孫有最小值?

故選：D.

9.AC

【解析】根據(jù)圖象判斷出/(x)的單調(diào)區(qū)間、極值(點(diǎn)).

【詳解】由圖象可知“X)在區(qū)間。,2)和(4,5)上/(x)>0,f(x)遞增;在區(qū)間(2,4)上

/(x)<0,/(x)遞減.

所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

在區(qū)間(1,3)上,〃力有極大值為/(2),C選項(xiàng)正確.

在區(qū)間［1,5］上，x=4是的極小值點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

10.AB

【詳解】由函數(shù)單調(diào)性的定義，可知若函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間上單調(diào)遞增，則芭-與與

/&)-/(%)同號，由此可知，選項(xiàng)A,B正確，D錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C,因?yàn)槊?，巧的?/p>

小關(guān)系無法判斷，所以/(由)，/(9)的大小關(guān)系也無法判斷，故C錯(cuò)誤，

故選：AB.

11.ACD

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x,九z滿足2，=4、'=6二，

由2,=43所以x=2y,即A正確，B錯(cuò)；

由2、=6;兩邊同時(shí)取以2為底的對數(shù)，可得x=z-log26Vz/。8那二？％,即C正確;

由4,=6;兩邊同時(shí)取以4為底的對數(shù)，可得y=z-log46Vz?log_l43=3z,即D正確;

故選：ACD.

12.ACD

【詳解】對于A,B,抽1件不合格品有C；種，再抽2件合格品有C短種，由分步計(jì)數(shù)乘法

原理知，

抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；8種，A正確，B不正確；

對于C,至少有1件是不合格品有兩類：1件是不合格品的抽法有種，2件是不合格品

的抽法有C<%種，

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C；C￡+C；C9；種，C

正確；

對于D,至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，從100件產(chǎn)品中任意抽出3件有

種，

抽出3件全是合格品有Cl種，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有（C：0c-《8）種，

D正確.

故選：ACD

13.5忘

【詳解】由正弦定理可得，仁h=」c廣，

sinBsinC

,?r475x—

…妁叫—4阻

sinB2V5

"I-

故答案為：5近.

14.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布X~N（0,l）,所以正態(tài)曲線關(guān)于x=0對稱，

又因?yàn)镻（—l<X<l）=a,所以=

故答案為：-（（-?）.

15.1<?<2##[1.2]

【詳解】解：因?yàn)椴坏仁蕉?2X-12/一3”對任意實(shí)數(shù)x恒成立，

所以只需(Y+Zx-lLnNY-Sa,

X?+2x—1=(x+1)—22—2,

所以當(dāng)％=-1時(shí)，(42+2元-1)=-2,

\fmin

所以/—3a4-2,解得14a42,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是區(qū)。42.

故答案為：

4,,4

16.——3Z2##-3Z2+-

33

【詳解】如圖，設(shè)8c的中點(diǎn)為M,連接A",因?yàn)榈冗吶切蜛8C的重心為G,所以

GM=-AM,

3

設(shè)OG在z軸上的投影是ON,則ON=goA

又。G在z軸上的投影是z,所以|0A|=3z,該等邊三角形的邊長為2,

在RV04B中，|O8|=，4-9Z2,同理可得|OC|=J4-9Z?,

因?yàn)?G=g(0A+08+0C),

所以

\0G^=^(OA+OB+OC^=-(0^+Olf+0C2+2OAOB+2OAOC+2OCOB^

=-(9z2+4-9z2+4-9z2+0+0+2>/4-9z2->/4-9z2-4-9z2+4-9￡^￡

912X/4-9Z2-V4-9Z2J

故答案為：--3z2

17.(1)例(2,1),^=(-6,6):(2)(-3,0).

【詳解】解：(1)4(5,-2),3(-1,4),知是線段48的中點(diǎn)，，加(2,1)

——>—>

AB=OB-=(-1,4)-(5,-2)=(-6,6)

(2)設(shè)。(x,0),貝I]訪=(x+l,-4),C心=(-1,-2)，

BD^CM'.?.(X+1).(_2)-(Y>(T)=0,解得x=—3,

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)是(—3,0).

18.(1)a=-4；(2)[-6,2].

【詳解】解：(1)因?yàn)閒(x)有一零點(diǎn)x=3,

所以32+ax3+3=0,

所以a=Y.

(2)因?yàn)楫?dāng)xeH時(shí)，f+以+3-aNO恒成立，

需△=/一4(3-。)40,即a。+4〃—12《0,

解得-6WaW2,

所以〃的取值范圍是[-6,2].

19.(I)當(dāng)年產(chǎn)量為200千件時(shí)，所獲利潤最大為3750萬元；(II)當(dāng)年產(chǎn)量為50千件時(shí),

每千件藥品的平均利潤最大為30萬元.

【解析】(I)根據(jù)題意可得利潤y=-、(x-20())2+3750,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最

大值；

(II)利用基本不等式可求出最大值.

【詳解】（i）設(shè)所獲利潤為y萬元,

則由題可得y=50X-(木d+10x)-250=-±x?+40x-250=-木(x-200)2+3750

(0<x<300),

當(dāng)x=200時(shí)，％=3750,

所以當(dāng)年產(chǎn)量為200千件時(shí)，在這一藥品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為3750萬元;

11

（II）可知平均利潤為一而X+40X-250_（X?250]“。工,'.空+*30，

xuox）Viox

當(dāng)且僅當(dāng)==空，即x=50時(shí)等號成立，

10x

所以當(dāng)年產(chǎn)量為50千件時(shí)，每千件藥品的平均利潤最大為30萬元.

20.（I）證明見解析；（H）生叵.

17

【詳解】解：（I）證明：取AjD,的中點(diǎn)G,分別連接AG,GE,

因?yàn)镚E〃A與且GE=4用，AB//A4且AB=AB1,所以AB〃GE且AB=GE,

所以四邊形A8EG為平行四邊形，所以AG〃3E,

因?yàn)锳尸//RG且AF=RG,所以四邊形AFDG為平行四邊形,

所以4G//。/，所以BE//D,F,

因?yàn)锽E仁平面CIFDI,D、Fu平面C/FD/.

所以BEII平面GFD.

（II）因?yàn)锽E〃平面CiFDi,

所以E到平面GF0的距離即為BE到平面GFD的距離，

設(shè)E到平面。尸功的距離為h,

因?yàn)镃/￡>/_L平面AiADD/fFRu平面4耳?！海?，得FQ+4?=而

又VR-CRF=VF-CRE，

所以g?〃gG分FR=gx4x；CQ?GE,解得〃=辭,

所以8E到平面C/F。/的距離為士叵.

17

7

c

21.(1)—+—=1(2)空

843

叵e-=泛=也

(1)解：因?yàn)闄E圓的離心為2,則a\a22,

所以4=’,即〃=?2,

a22

4942

又］+￥=1'即/+"=1'所以a』,**

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+二=1：

8