第3章一階電路分析

3.1引言1、動(dòng)態(tài)電路電阻電路：電阻元件和電源構(gòu)成。描述這類電路電壓電流約束關(guān)系的電路方程是代數(shù)方程。動(dòng)態(tài)電路：含有動(dòng)態(tài)元件的電路叫做動(dòng)態(tài)電路，動(dòng)態(tài)元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對(duì)時(shí)間的微分或積分，描述動(dòng)態(tài)電路的方程是微分方程2、零輸入電路、零狀態(tài)電路、全響應(yīng)零輸入響應(yīng)：電路發(fā)生換路前，動(dòng)態(tài)元件中已儲(chǔ)有原始能量。換路時(shí)，外部輸入激勵(lì)為零，僅在動(dòng)態(tài)元件原始能量作用下引起的電路響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)：動(dòng)態(tài)元件的原始儲(chǔ)能為零，僅在外部輸入激勵(lì)的作用下引起的電路響應(yīng)。全響應(yīng)：電路中既有外部激勵(lì)，動(dòng)態(tài)元件的原始儲(chǔ)能也不為零，這種情況下?lián)Q路引起的電路響應(yīng)。換路：引起電路工作狀態(tài)變化的各種因素。如：電路接通、斷開或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化等。

3.2電容與電感1、電容（Capacitance）一般來說，電荷在電場(chǎng)中會(huì)受力而移動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體之間有了介質(zhì)，則阻礙了電荷移動(dòng)而使得電荷累積在導(dǎo)體上，造成電荷的累積儲(chǔ)存。最常見的例子就是兩片平行金屬板。也是電容器的俗稱。

常用的幾種電容器電容的符號(hào)是C在國際單位制里，電容的單位是法拉，簡(jiǎn)稱法，符號(hào)是F,常用的電容單位有毫法(mF)、微法(μF)、納法(nF)和皮法(pF)(皮法又稱微微法)

1法拉(F)=1000毫法(mF)＝1000000微法(μF)

1微法(μF)=1000納法(nF)=1000000皮法(pF)。電容存儲(chǔ)的電荷量q與極板電壓的線性關(guān)系：電容元件的電壓電流關(guān)系：

此式表明電容中的電流與其電壓對(duì)時(shí)間的變化率成正比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電容電流與此時(shí)刻電壓的數(shù)值之間并沒有確定的約束關(guān)系。在直流電源激勵(lì)的電路模型中，當(dāng)各電壓電流均不隨時(shí)間變化的情況下，電容元件相當(dāng)于一個(gè)開路(i=0)。電容（或稱電容量）是表征電容器容納電荷本領(lǐng)的物理量。我們把電容器的兩極板間的電勢(shì)差增加1伏所需的電量，叫做電容器的電容。

例：已知C=0.5

F電容上的電壓波形如圖（a）所示，試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)的電流iC(t),并畫出波形圖。

2.當(dāng)1s

t

3s時(shí)，uC(t)=4-2t，可以得到

1.當(dāng)0

t

1s時(shí)，uC(t)=2t，可以得到解：根據(jù)圖(a)波形，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算

3.當(dāng)3s

t

5s時(shí)，uC(t)=-8+2t，可以得到

4.當(dāng)5s

t時(shí)，uC(t)=12-2t，可以得到根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，畫出圖(b)所示的矩形波形。在已知電容電流iC(t)的條件下，其電壓uC(t)為其中稱為電容電壓的初始值,它是從t=-∞到t=0時(shí)間范圍內(nèi)流過電容的電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生的電壓。

上式表示t>0某時(shí)刻電容電壓uc(t)等于電容電壓的初始值uc(0)加上t=0到t時(shí)刻范圍內(nèi)電容電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個(gè)直流電壓源uc(0)和一個(gè)初始電壓為零的電容的串聯(lián)如圖所示。任意時(shí)刻T電容電壓的數(shù)值uC(T)，要由從-

到時(shí)刻T之間的全部電流iC(t)來確定。也就是說，此時(shí)刻以前流過電容的任何電流對(duì)時(shí)刻T的電壓都有一定的貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時(shí)刻的電流或電壓完全不同，我們說電容是一種記憶元件。例電路如圖(a)所示，已知電容電流波形如圖(b)所示，試求電容電壓uC(t)，并畫波形圖。解：根據(jù)圖(b)波形的情況，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算

1．當(dāng)t

0時(shí)，iC(t)=0，可以得到

2．當(dāng)0

t<1s時(shí)，iC(t)=1

A，可以得到圖7-6

3．當(dāng)1s

t<3s時(shí)，iC(t)=0，可以得到

4．當(dāng)3s

t<5s時(shí)，iC(t)=1

A，可以得到

5．當(dāng)5s

t時(shí)，iC(t)=0，可以得到

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以畫出電容電壓的波形如圖(c)所示，由此可見任意時(shí)刻電容電壓的數(shù)值與此時(shí)刻以前的全部電容電流均有關(guān)系。例如，當(dāng)1s<t<3s時(shí)，電容電流iC(t)=0，但是電容電壓并不等于零，電容上的2V電壓是0<t<1s時(shí)間內(nèi)電流作用的結(jié)果。電容的儲(chǔ)能在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，電容的吸收功率為

由此式可以看出電容是一種儲(chǔ)能元件，它在從初始時(shí)刻t0到任意時(shí)刻t時(shí)間內(nèi)得到的能量為

若電容的初始儲(chǔ)能為零，即u(t0)=0,則任意時(shí)刻儲(chǔ)存在電容中的能量為

此式說明某時(shí)刻電容的儲(chǔ)能取決于該時(shí)刻電容的電壓值，與電容的電流值無關(guān)。電容電壓的絕對(duì)值增大時(shí)，電容儲(chǔ)能增加；電容電壓的絕對(duì)值減小時(shí)，電容儲(chǔ)能減少。2、電感（Inductors）電感線圈：導(dǎo)線中有電流時(shí)，其周圍即建立磁場(chǎng)。通常我們把導(dǎo)線繞成線圈，以增強(qiáng)線圈內(nèi)部的磁場(chǎng)。電感線圈就是據(jù)此把導(dǎo)線（漆包線、紗包或裸導(dǎo)線）一圈靠一圈（導(dǎo)線間彼此互相絕緣）地繞在絕緣管（絕緣體、鐵芯或磁芯）上制成的。一般情況，電感線圈只有一個(gè)繞組。如果一個(gè)二端元件在任一時(shí)刻，其磁通鏈與電流之間的關(guān)系由i－

平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電感元件。系數(shù)L為常量，與直線的斜率成正比，稱為電感，單位是亨[利],用H表示。

實(shí)際電路中使用的電感線圈類型很多，電感的范圍變化很大，例如高頻電路中使用的線圈容量可以小到幾個(gè)微亨(

H，1

H=10-6H),低頻濾波電路中使用扼流圈的電感可以大到幾亨。電感線圈可以用一個(gè)電感或一個(gè)電感與電阻的串聯(lián)作為它的電路模型。在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個(gè)電容來構(gòu)成線圈的電路模型，如圖7－13所示。電感的電壓電流關(guān)系對(duì)于線性時(shí)不變電感元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到

此式表明電感中的電壓與其電流對(duì)時(shí)間的變化率成正比，與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電感電壓與此時(shí)刻電流的數(shù)值之間并沒有確定的約束關(guān)系。

在直流電源激勵(lì)的電路中，磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化,各電壓電流均不隨時(shí)間變化時(shí)，電感相當(dāng)于一個(gè)短路(u=0)。

已知電感電流i(t)的條件，用上式容易求出其電壓u(t)。例如L=1mH的電電感上，施加電流為i(t)=10sin(5t)A時(shí)，其關(guān)聯(lián)參考方向的電壓為

電感電壓的數(shù)值與電感電流的數(shù)值之間并無確定的關(guān)系，例如將電感電流增加一個(gè)常量k，變?yōu)閕(t)=k+10sin5tA時(shí)，電感電壓不會(huì)改變，這說明電感元件并不具有電阻元件在電壓電流之間有確定關(guān)系的特性。例電路如圖(a)所示，已知L=5

H電感上的電流

波形如圖(b)所示，求電感電壓u(t),并畫出波形圖。

2.當(dāng)0

t

3

s時(shí)，i(t)=2

103t，可以得到解根據(jù)圖(b)波形，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算

1.當(dāng)t

0時(shí)，i(t)=0，可以得到

3.當(dāng)3

s

t

4

s時(shí)，

i(t)=24

103-6

103t，可以得到

4.當(dāng)4

s

t時(shí)，i(t)=0，可以得到

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，畫出相應(yīng)的波形，如圖(c)所示。這說明電感電流為三角波形時(shí)，其電感電壓為矩形波形。

在已知電感電壓uL(t)的條件下，其電流iL(t)為

其中稱為電感電壓的初始值,它是從t=-∞到t=0時(shí)間范圍內(nèi)電感電壓作用于電感所產(chǎn)生的電流。任意時(shí)刻T電感電流的數(shù)值iL(T)，要由從-

到時(shí)刻T

之間的全部電壓來確定。也就是說，此時(shí)刻以前在電感上的任何電壓對(duì)時(shí)刻T的電感電流都有一份貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅取決于此時(shí)刻的電流或電壓完全不同，我們說電感是一種記憶元件。例

電路如圖(a)所示，電感電壓波形如圖(b)所示，試求電感電流i(t),并畫波形圖。解：根據(jù)圖(b)波形，按照時(shí)間分段來進(jìn)行積分運(yùn)算

1.當(dāng)t<0時(shí)，u(t)=0，可以得到

2.當(dāng)0<t<1s時(shí)，u(t)=1mV，可以得到

3.當(dāng)1s<t<2s時(shí)，u(t)=-1mV，根據(jù)式7－11可以得到

4.當(dāng)2s<t<3s時(shí)，u(t)=1mV，根據(jù)式7－11可以得到

5.當(dāng)3s<t<4s時(shí)，u(t)=-1mV，根據(jù)式7－11可以得到根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以畫出電感電流的波形如圖(c)所示，由此可見任意時(shí)刻電感電流的數(shù)值與此時(shí)刻以前的電感電壓均有關(guān)系。電感的儲(chǔ)能在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，電感的吸收功率為當(dāng)p>0時(shí)，電感吸收功率；當(dāng)p<0時(shí)，電感發(fā)出功率。

電感在從初始時(shí)刻t0到任意時(shí)刻t時(shí)間內(nèi)得到的能量為

若電感的初始儲(chǔ)能為零，即i(t0)=0,則任意時(shí)刻儲(chǔ)存在電感中的能量為

此式說明某時(shí)刻電感的儲(chǔ)能取決于該時(shí)刻電感的電流值，與電感的電壓值無關(guān)。電感電流的絕對(duì)值增大時(shí)，電感儲(chǔ)能增加；電感電流的絕對(duì)值減小時(shí)，電感儲(chǔ)能減少。由于電感電流確定了電感的儲(chǔ)能狀態(tài)，稱電感電流為狀態(tài)變量。也可以理解為什么電感電流不能輕易躍變，這是因?yàn)殡姼须娏鞯能S變要伴隨電感儲(chǔ)存能量的躍變，在電壓有界的情況下，是不可能造成磁場(chǎng)能量發(fā)生突變和電感電流發(fā)生躍變的。

1.兩個(gè)線性電容并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個(gè)線性電容，其等效電容的計(jì)算公式如下：電容的串聯(lián)和并聯(lián)

2.

兩個(gè)線性電容串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個(gè)線性電容，其等效電容的計(jì)算公式推導(dǎo)如下：電感的串聯(lián)和并聯(lián)

1.

兩個(gè)線性電感串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個(gè)線性電感，其等效電感的計(jì)算公式如下：

2.

兩個(gè)線性電感并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個(gè)線性電感，其等效電感的計(jì)算公式推導(dǎo)如下：圖7－193.3電路初始值的計(jì)算換路：引起電路工作狀態(tài)變化的各種因素。如：電路接通、斷開或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化等。

3.3.1

換路定律由于能量不能發(fā)生躍變，與能量有關(guān)的iL和uC，在電路發(fā)生換路后的一瞬間，其數(shù)值必定等于換路前一瞬間的原有值不變。

換路發(fā)生在t=0時(shí)刻，(0-)為換路前一瞬間，該時(shí)刻電路還未換路；(0+)為換路后一瞬間，此時(shí)刻電路已經(jīng)換路。

電阻電路電阻元件是耗能元件，其電壓、電流在任一瞬間均遵循歐姆定律的即時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，電阻元件上不存在暫態(tài)過程。(t=0)US_＋SRIIt0暫態(tài)過程產(chǎn)生的原因R-L電路電感元件是儲(chǔ)能元件，其電壓、電流在任一瞬間均遵循微分(或積分)的動(dòng)態(tài)關(guān)系。它儲(chǔ)存的磁能：(t=0)US_＋SLiLiLt0R因?yàn)槟芰康拇鎯?chǔ)和釋放需要一個(gè)過程，所以有電感的電路存在過渡過程。電容元件也是儲(chǔ)能元件，其電壓、電流在任一瞬間也遵循微分(或積分)的動(dòng)態(tài)關(guān)系。它儲(chǔ)存的電能：

因?yàn)槟芰康拇鎯?chǔ)和釋放需要一個(gè)過程，所以有電容的電路也存在過渡過程。(t=0)US_＋SCiCuCt0RuC_＋USR-C電路電路初始值的確定1.2.根據(jù)換路后的等效電路，應(yīng)用電路基本定律確定其它電量的初始值。初始值（起始值）：電路中u、i

在t=0+時(shí)的大小。求解要點(diǎn)根據(jù)換路前一瞬間的電路，應(yīng)用電路基本定律確定iL(0+）和uC(0+）。例1解已知iL(0

)=0，uC(0

)=0，試求S

閉合瞬間，電路中所標(biāo)示的各電壓、電流的初始值。(t=0)_＋S0.1Hu2u120Ω10Ω1μF20ViC_＋_＋iiLuL_＋uC_＋根據(jù)換路定律可得：可得t=0+時(shí)等效電路如下

iL(0+)=iL(0–)=0，相當(dāng)于開路

uC(0+)=uC(0–)=0，相當(dāng)于短路_＋S0.1Hu2u120Ω10Ω1μF20ViC_＋_＋iuL_＋其他各量的初始值為：例2換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)S打開，求iC(0+)。解根據(jù)換路前電路求uC(0+）R1＋40k10kSiCuC－i＋－10VR2畫出t=0+等效電路圖如下：R140k10kSic(0+）＋－10VR2＋－8V根據(jù)t=0+等效電路可求得iC(0+）為：例3解根據(jù)換路前電路求iL(0+）換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)S閉合，求uL(0+)。畫出t=0+等效電路圖如下：根據(jù)t=0+等效電路可求uL(0+)為R1＋1ΩSiLuL－＋－10VR24ΩR1＋1ΩSuL－＋－10VR24ΩiL(0+）

uL(0+)為負(fù)值，說明它的真實(shí)方向與圖上標(biāo)示的參考方向相反，即與iL(0+)非關(guān)聯(lián)，實(shí)際向外供出能量。求初始值的一般步驟1、由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0-)和iL(0-)；2、由換路定律得uC(0+)和iL(0+)；3、畫出t=0+的等效電路圖：

uC(0+)=0時(shí)相當(dāng)短路；uC(0+)≠0時(shí)相當(dāng)電壓源；

iL(0+)=0時(shí)相當(dāng)開路；iL(0+)≠0時(shí)相當(dāng)電流源；電壓源或電流源的方向與原電路假定的電容電壓、電感電流的參考方向應(yīng)保持相同。4、由t=0+的等效電路圖進(jìn)而求出其它響應(yīng)的0+值。電容原先帶有電壓Uo,求開關(guān)閉合后電容電壓隨時(shí)間的變化。通解：代入初始條件得：在動(dòng)態(tài)電路分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。R－+CiuC(t=0)3.4一階電路分析1、一階電路暫態(tài)分析的解微分方程法

如用f(t)表示電路的響應(yīng)，f(0+)表示響應(yīng)的初始值，f(∞)表示響應(yīng)的穩(wěn)定值，τ表示電路的時(shí)間常數(shù)，則電路的全響應(yīng)可表示為：上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應(yīng)的三要素公式。式中初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)值f(∞)

和時(shí)間常數(shù)τ稱為一階電路的三要素，按三要素公式求解響應(yīng)的方法稱為三要素法。由于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)是全響應(yīng)的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應(yīng)，具有普遍適用性。2、一階電路暫態(tài)分析的三要素法一階電路三要素法應(yīng)用舉例圖中U1=3V，U2=6V，R1=1k

，R2=2k

，C=3F

，t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時(shí)的uC(t)，并畫出變化曲線。R1＋SiC

uC－（t=0）＋－U1CR2＋－U2先確定初始值uC(0+)：再確定穩(wěn)態(tài)值uC(

)：最后確定時(shí)間常數(shù)τ：電容電壓的變