第第頁（北師大版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第4章基本平面圖形》4.2角知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一角的概念、表示方法◆1、角的概念：靜態(tài)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，叫做角.動(dòng)態(tài)定義：如圖（1）角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.①如圖（2），當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)到起始位置OA與終止位置OB在一條直線上時(shí)，形成平角；②如圖（3），繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB與OA重合時(shí)，又形成周角；◆2、角的表示方法：角的幾何符號(hào)為“∠”，角的表示方法有以下四種：∠AOB∠O）∠1∠α表示方法溫馨提示用三個(gè)大寫表示頂點(diǎn)的在中間.用一個(gè)大寫一個(gè).用一個(gè)阿拉伯弧線，用一個(gè)小寫希臘弧線，知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二角的度量單位及換算方法◆1、角的度量單位是：度、分、秒.我們常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量單位.把一個(gè)周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″.◆2、角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.◆3、平角與周角的概念平角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)終邊與始邊成一條直線時(shí),所成的角叫作平角；周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)終邊與始邊重合時(shí),所成的角叫作周角.1周角＝360°1平角＝180°◆4、度、分、秒是角的基本度量單位，它們的換算關(guān)系如下：160′1′＝60″1″＝知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三角的比較與運(yùn)算◆1、角的比較有兩種方法：方法一：度量法，測(cè)量度數(shù)大的那個(gè)角就大，反之，度數(shù)小的那個(gè)角就小.方法二：疊合法：利用尺規(guī)作圖把其中的一條邊重合，通過觀察另一條邊的位置作比較①若邊OB在內(nèi)部，則∠AOB＜∠A'O'B'②若邊OB與重合，則∠AOB＝∠A'O'B'③若邊OB在外部，則∠AOB＞∠A'O'B'◆2、角的平分線：一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠AOC＝∠BOC＝12◆3、角的和、差∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC－∠BOC；類似地，∠AOC－∠AOB=∠AOC知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角◆作一個(gè)角等于已知角.已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.題型一角的定義及角的表示方法解題技巧提煉（1）角的定義：有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．（2）角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時(shí)形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時(shí)，形成周角．1．（2023春?肥城市期中）如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示【分析】根據(jù)角的表示方法進(jìn)行判斷．【解答】解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本選項(xiàng)說法正確；B、∠COB不能用∠O表示，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；C、∠2也可用∠OBC表示，本選項(xiàng)說法正確；D、∠CDB也可用∠1表示，本選項(xiàng)說法正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角的概念，角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．2．（2024春?聊城月考）下列說法中正確的是（）A．直線是平角 B．角的大小與角的兩邊長(zhǎng)有關(guān) C．角的兩邊是兩條射線 D．用放大鏡看一個(gè)角，角的度數(shù)變大了【分析】分析題意，根據(jù)“有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角”即可判斷A、C選項(xiàng)的正誤；放大鏡是將物體整體放大，但不改變角的大??；角的大小只與它的兩邊張開的大小有關(guān)據(jù)此解答．【解答】解：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故A錯(cuò)誤，不符合題意，C正確，符合題意；角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)，只與它的兩邊張開的大小有關(guān)，故B錯(cuò)誤，不符合題意；放大鏡是將物體整體放大，所以不改變角的大小，故D錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的概念，關(guān)鍵是角的概念的熟練應(yīng)用．3．下列關(guān)于角的說法中，正確的個(gè)數(shù)為（）①兩條有公共點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個(gè)端點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線，它們的端點(diǎn)重合時(shí)，可以形成角；④角的大小與邊的長(zhǎng)短有關(guān)．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】首先正確理解角的概念：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，注意不要忽略“公共端點(diǎn)”，還應(yīng)注意角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)，與度數(shù)的大小一致；然后結(jié)合角的定義的理解，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤答案即可．【解答】解：角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線所構(gòu)成的圖形，故①③正確，②錯(cuò)誤；角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)，只與兩條邊張開的角度有關(guān)，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是角的知識(shí)，熟練掌握角的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?晉江市期末）如圖，下列說法不正確的是（）A．∠BAC和∠DAE是同一個(gè)角 B．∠ABC和∠ACB不是同一個(gè)角 C．∠ABC可以用∠B表示 D．∠AED可以用∠E表示【分析】根據(jù)角的定義解答即可．【解答】解：A、∠BAC和∠DAE是同一個(gè)角，正確，不合題意；B、∠ABC和∠ACB不是同一個(gè)角，正確，不合題意；C、∠ABC可以用∠B表示，正確，不合題意；D、∠AED可不以用∠E表示，不正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是角的定義，有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．5．（2023秋?唐縣期末）下列四個(gè)圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)角的表示方法和圖形選出即可．【解答】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、圖中的∠1和∠AOB不是表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圖中的∠1和∠AOB不是表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、圖中∠1、∠AOB、∠O表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和觀察圖形的能力．6．（2024春?淄川區(qū)期末）下列圖中的∠1也可以用∠O表示的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)頂點(diǎn)只有一個(gè)角時(shí)可用一個(gè)大寫字母表示角，所以可判定答案．【解答】解：選項(xiàng)A：∠1的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角（小于平角），可用∠O表示，符合題意；選項(xiàng)B：∠1頂點(diǎn)處有三個(gè)角（小于平角），不能用∠O表示，不符合題意；選項(xiàng)C：∠1頂點(diǎn)處有2個(gè)角（小于平角），不能用∠O表示，不符合題意；選項(xiàng)D：∠1頂點(diǎn)處有4個(gè)角（小于平角），不能用∠O表示，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角的概念，關(guān)鍵是掌握角的表示方法．題型二角的換算解題技巧提煉角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．1．（2024春?張店區(qū)校級(jí)月考）把2.36°用度、分、秒表示，正確的是（）A．2°21′36′′ B．2°18′36′′ C．2°30′50′′ D．2°3′6′′【分析】根據(jù)大單位化小單位除以進(jìn)率，可得答案．【解答】解：2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，進(jìn)行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，注意以60為進(jìn)制．2．（2023秋?新樂市期末）若∠α＝5.12°，則∠α用度、分、秒表示為（）A．5°12' B．5°7'12'' C．5°7'2'' D．5°10'2''【分析】利用度分秒之間的換算關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：∠α＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了度分秒的換算，解題的關(guān)鍵是掌握1°＝60′，1′＝60″．3．（2023秋?永年區(qū)期中）下列各式中，正確的是（）A．35.5°＝35°50′ B．15°12′36″＝15.48° C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′【分析】按照角的度量單位進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可判斷．【解答】解：A．35.5°＝35°30′，不符合題意；B．15°12′36″＝15.21°，不符合題意；C．28°18′18″＝28.305°，不符合題意；D．65.25°＝65°15′，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的單位轉(zhuǎn)化，解題關(guān)鍵是明確1°＝60′，1′＝60″．4．下列式子中錯(cuò)誤的是（）A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42'＝50.7° C．98°45'+2°35'＝101°20' D．108°18'﹣57°23'＝51°55'【分析】根據(jù)“1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”進(jìn)行度分秒的換算和度分秒間的加減計(jì)算．【解答】解：A、38.78°＝38°46′48''，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)不符合題意．B、50°42'＝50.7°，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)不符題意．C、98°45'+2°35'＝（98°+2°）+（45′+35′）＝100°+80′＝101°20'，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)不符合題意．D、108°18'﹣57°23'＝（107°﹣57°）+（78′﹣23′）＝50°55'，計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查了度分秒的換算，角的度量單位度、分、秒之間是60進(jìn)制，將高級(jí)單位化為低級(jí)單位時(shí)，乘以60，反之，將低級(jí)單位轉(zhuǎn)化為高級(jí)單位時(shí)除以60．同時(shí)，在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時(shí)也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法．5．（2024春?張店區(qū)校級(jí)月考）1.16°＝°′″；45°57′18″＝°【分析】度、分、秒之間是60進(jìn)制，將高級(jí)單位化為低級(jí)單位時(shí)，乘以60，反之，將低級(jí)單位轉(zhuǎn)化為高級(jí)單位時(shí)除以60．【解答】解：①∵0.16°＝0.16×60′＝9.6′，0.6′＝0.6×60″＝36″，∴1.16°＝1°9′36″；②∵18″＝18÷60＝0.3′，57.3′＝57.3÷60＝0.955°，∴45°57′18″＝45.955°；故答案為：1，9，36；45.955．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了度、分、秒之間的換算，掌握相關(guān)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．6．計(jì)算：（1）8.76°＝°′″；（2）540″＝°．【分析】（1）根據(jù)1°＝60'，1'＝60''進(jìn)行換算即可；（2）根據(jù)1°＝3600''進(jìn)行換算即可．【解答】解：（1）0.76°×60＝45.6'，0.6'×60＝36''，所以8.76°＝8°45'36''，故答案為：8，45，36；（2）540''÷3600＝0.15°，故答案為：0.15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握單位之間的換算關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型三角度的運(yùn)算解題技巧提煉1、度、分、秒的加減運(yùn)算．在進(jìn)行度分秒的加減時(shí)，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進(jìn)位，相減時(shí)，要借1化60．2、度、分、秒的乘除運(yùn)算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進(jìn)位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級(jí)單位進(jìn)一步去除．1．（2024春?坊子區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（1）47°53′43″+53°47′42″；（2）92°56′3″﹣46°57′54″．【分析】（1）先度分秒分別相加，再根據(jù)滿60進(jìn)1的原則求出即可；（2）先進(jìn)行單位的換算，再度分秒分別相減即可．【解答】解：（1）47°53′43″+53°47′42″＝100°100′85″＝101°41′25″；（2）92°56′3″﹣46°57′54″＝91°+115′+63″﹣46°﹣57′﹣54″＝45°+58′+9″＝45°58′9″．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了度分秒之間的換算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?孝南區(qū)期末）計(jì)算：（1）48°39'+67°31'；（2）23°53'×2﹣17°43'．【分析】（1）根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）48°39'+67°31'＝115°70′＝116°10′；（2）23°53'×2﹣17°43'＝46°106′﹣17°43′＝29°63′＝30°3′．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?譙城區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）89°35'+20°25'（結(jié)果用度、分、秒表示）．（2）123°24'﹣60°36'（結(jié)果用度表示）．【分析】（1）根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）89°35'+20°25'＝109°60′＝110°；（2）123°24'﹣60°36'＝123.4°﹣60.6°＝62.8°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．4．如圖，AB是一條直線，如果∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，求∠3的度數(shù)．【分析】根據(jù)已知條件可得∠3＝180°﹣∠1﹣∠2；接下來將∠1與∠2的度數(shù)，代入計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣65°15′﹣78°35′＝36°10′．故∠3的度數(shù)是36°10′．【點(diǎn)評(píng)】本題側(cè)重考查度分秒的換算．掌握度、分、秒之間的進(jìn)率和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?羅山縣校級(jí)月考）計(jì)算：①180°﹣18°15'×6；②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．【分析】①先計(jì)算乘法，再計(jì)算減法即可；②先計(jì)算除法和括號(hào)內(nèi)的減法，再計(jì)算減法即可．【解答】解：①180°﹣18°15'×6＝180°﹣109°30'＝70°30'；②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）＝90°﹣（78°36'﹣3°17'30″）＝90°﹣75°18'30″＝14°41'30″．【點(diǎn)評(píng)】此類題考查了度、分、秒的換算，是角度計(jì)算中的一個(gè)難點(diǎn)，注意以60為進(jìn)制即可．6．計(jì)算．（1）56°18'+61°35'（2）19°26'﹣7°33'（3）78°14'+25°46'（4）108°11'5'﹣22°38'26″【分析】利用度分秒的進(jìn)制，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）56°18'+61°35'＝117°53'；（2）19°26'﹣7°33'＝18°86'﹣7°33'＝11°53'；（3）78°14'+25°46'＝103°60'＝104°；（4）108°11'5″﹣22°38'26″＝107°70'65″﹣22°38'26″＝85°32'39″．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．7．計(jì)算：（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″；（2）13°53′×3﹣32°5′31″．【分析】（1）先進(jìn)行度、分、秒的除法計(jì)算，再算加法．（2）先進(jìn)行度、分、秒的乘法計(jì)算，再算減法．【解答】解：（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″＝51°37′11″+12°25′40″﹣30°30′30″＝63°62′51″﹣30°30′30″＝33°32′21″；（2）13°53′×3﹣32°5′31″＝39°159′﹣32°5′31″＝7°153′29″．＝9°33′29″．【點(diǎn)評(píng)】此類題是進(jìn)行度、分、秒的混合運(yùn)算，是角度計(jì)算中的一個(gè)難點(diǎn)，注意以60為進(jìn)制即可．計(jì)算除法時(shí)，度的余數(shù)化為分，分的余數(shù)化為秒再計(jì)算．計(jì)算乘法時(shí)，秒滿60時(shí)轉(zhuǎn)化為分，分滿60時(shí)轉(zhuǎn)化為度．兩個(gè)度數(shù)相加，度與度，分與分對(duì)應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿60，則轉(zhuǎn)化為度．兩個(gè)度數(shù)相減，被減數(shù)可借1°轉(zhuǎn)化為60′，借一分轉(zhuǎn)化為60″，再計(jì)算．題型四鐘表中的角度問題解題技巧提煉1、鐘面一周平均分60格，相鄰兩格刻度之間的時(shí)間間隔是1分鐘，時(shí)針1分鐘走1122、計(jì)算鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)，一般先從鐘面上找出某一時(shí)刻分針與時(shí)針?biāo)幍奈恢?，確定其夾角，再根據(jù)表面上每一格30°的規(guī)律，計(jì)算出分針與時(shí)針的夾角的度數(shù)．3、鐘面上的路程問題分針：60分鐘轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：360°÷60＝6°時(shí)針：12小時(shí)轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：360°÷12÷60＝0.5°．1．（2023秋?梁山縣期末）鐘表8時(shí)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為（）A．110° B．75° C．105° D．90°【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：2×30°+1＝60°+15°＝75°，∴鐘表8時(shí)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為75°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?西山區(qū)期末）從下午13：00到當(dāng)天下午13：30，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度度數(shù)是（）A．90° B．120° C．180° D．150°【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：6×30°＝180°，∴從下午13：00到當(dāng)天下午13：30，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度度數(shù)是180°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵．3．（2024春?泰山區(qū)期中）如圖，1時(shí)30分的時(shí)候，鐘表的時(shí)針與分針?biāo)M成的小于平角的角的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．135° D．150°【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：4.5×30°＝135°，∴1時(shí)30分的時(shí)候，鐘表的時(shí)針與分針?biāo)M成的小于平角的角的度數(shù)是135°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?烏魯木齊期末）鐘表上的分針和時(shí)針經(jīng)過40分鐘，分針和時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度分別是（）A．40°和20° B．240°和20° C．240°和40° D．40°和40°【分析】畫出圖形，利用鐘表表盤的特征解答．【解答】解：如圖，從6：50到7：30，鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，鐘表上的分針經(jīng)過40分鐘旋轉(zhuǎn)的角度是30°×8＝240°，鐘表上的時(shí)針經(jīng)過40分鐘旋轉(zhuǎn)的角度是240°×1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查鐘表時(shí)針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)1°時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（1125．（2023秋?金臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)時(shí)針指向上午10：15時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是°．【分析】根據(jù)時(shí)針一分鐘轉(zhuǎn)360°÷12÷60＝0.5°，分鐘一分鐘轉(zhuǎn)360°÷60＝6°，求出從10：00到10：15，時(shí)針和分針?biāo)叩亩葦?shù)，進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵時(shí)針一分鐘轉(zhuǎn)360°÷12÷60＝0.5°，分鐘一分鐘轉(zhuǎn)360°÷60＝6°，∴從10：00到10：15，時(shí)針轉(zhuǎn)過的度數(shù)為：15×0.5°＝7.5°，分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)為15×6°＝90°，∵十點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為60°，∴時(shí)針與分針的夾角是90°+60°﹣7.5°＝142.5°；故答案為：142.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查鐘面角，解題的關(guān)鍵是理解時(shí)針一分鐘轉(zhuǎn)360°÷12÷60＝0.5°，分鐘一分鐘轉(zhuǎn)360°÷60＝6°．6．知識(shí)的遷移與應(yīng)用問題一：甲、乙兩車分別從相距180km的A、B兩地出發(fā)，甲車速度為36km/h，乙車速度為24km/h，兩車同時(shí)出發(fā)，同向而行（乙車在前甲車在后），后兩車相距120km？問題二：將線段彎曲后可視作鐘表的一部分，如圖，在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面上，OA表示時(shí)針，OB表示分針（O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）．下午3點(diǎn)時(shí)，OA與OB成直角．（1）3：40時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕嵌龋唬?）分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為；（3）在下午3點(diǎn)至4點(diǎn)之間，從下午3點(diǎn)開始，經(jīng)過多少分鐘，時(shí)針與分針成60°角？【分析】問題一：分兩種情況解答：①乙車在前甲車在后，②甲車在前乙車在后；列出方程求解即可；問題二：（1）根據(jù)鐘面的特點(diǎn)，平均分成12份，可得每份30°，根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．（2）鐘表上的刻度是把一個(gè)圓平均分成了12等份，每一份是30°，分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角是15分，即1（3）分①當(dāng)分針在時(shí)針上方時(shí)②當(dāng)分針在時(shí)針下方時(shí)兩種情況列出方程解答即可．【解答】解：?jiǎn)栴}一：設(shè)xh后兩車相距120km，若相遇前，則36x﹣24x＝180﹣120，解得x＝5，若相遇后，則36x﹣24x＝180+120，解得x＝25．故兩車同時(shí)出發(fā)，同向而行（乙車在前甲車在后），5或25后兩車相距120km；（1）30°×（5?40故3：40時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕嵌?30°；（2）分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為0.5°；（3）設(shè)在下午3點(diǎn)至4點(diǎn)之間，從下午3點(diǎn)開始，經(jīng)過x分鐘，時(shí)針與分針成60°角．①當(dāng)分針在時(shí)針上方時(shí)，由題意得：（3+x60）×30﹣6解得：x=60②當(dāng)分針在時(shí)針下方時(shí)，由題意得：6x﹣（3+x解得：x=300答：在下午3點(diǎn)至4點(diǎn)之間，從下午3點(diǎn)開始，經(jīng)過6011或300故答案是：5或25；130°；6°；0.5°．【點(diǎn)評(píng)】問題一：考查了一元一次方程的應(yīng)用，主要利用了相遇問題等量關(guān)系，追及問題等量關(guān)系，熟練掌握行程問題的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于分情況討論．問題二：考查了鐘面角，時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)．題型五角的計(jì)數(shù)與規(guī)律探究解題技巧提煉數(shù)角的個(gè)數(shù)的方法類似于數(shù)線段的方法,當(dāng)∠AOB內(nèi)部有n條射線時(shí)，射線的總數(shù)就有（n+2）條，共有（n+11．（2023秋?青龍縣期中）如圖所示，圖中共有多少個(gè)小于平角的角（）A．10個(gè) B．9個(gè) C．8個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)角的定義即可解決．【解答】解：圖中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB，∠AOB共10個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的概念，是基礎(chǔ)題，難點(diǎn)在于計(jì)算角的個(gè)數(shù)時(shí)要分單個(gè)的角與復(fù)合角兩個(gè)部分查出．2．（2023秋?興城市期末）如圖①，若在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)為端點(diǎn)做一條射線OA1，得到3個(gè)角；如圖②，若在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)為端點(diǎn)做兩條射線OA1和OA2，得到6個(gè)角……，以此類推，如果在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)為端點(diǎn)做n條射線，則圖③中角的個(gè)數(shù)為（）A．n（n+1） B．(n+1)(n+2)2C．n(n+1)2 D．【分析】根據(jù)角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，根據(jù)圖①，圖②得出規(guī)律，即可．【解答】解：圖①：有3條射線，組成1+2個(gè)角；圖②：有4條射線，組成1+2+3個(gè)角；∴當(dāng)有a條射線，組成1+2+3+?+(a?1)=1∵圖③有n+2條射線，即a＝n+2，∴組成12故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的定義，解題的關(guān)鍵是理解角的定義，觀察上述圖形，找出規(guī)律．3．（2023秋?泗縣期末）如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)逐一畫射線，下面三個(gè)圖中分別有3個(gè)、6個(gè)、10個(gè)角（不大于平角的角）．當(dāng)∠MON內(nèi)有n條射線時(shí)，角的個(gè)數(shù)為（）A．n22 B．C．n(n?1)2 D．【分析】畫1條、2條、3條射線時(shí)可以數(shù)出角的個(gè)數(shù)分別有3個(gè)、6個(gè)、10個(gè)角，當(dāng)畫n條時(shí)，由規(guī)律得到角的個(gè)數(shù)的表達(dá)式．【解答】解：畫n條射線所得的角的個(gè)數(shù)為：1+2+3+…+（n+1）=(n+1)(n+2)故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)角的概念的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)求出結(jié)果得出規(guī)律．4．（2023秋?連城縣期末）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個(gè)銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個(gè)銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個(gè)銳角．照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個(gè)數(shù)為（）A．165 B．186 C．199 D．210【分析】分別找出各圖形中銳角的個(gè)數(shù)，找出規(guī)律解題．【解答】解：∵在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得1+2＝3個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫2條射線，可得1+2+3＝6個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫3條射線，可得1+2+3+4＝10個(gè)銳角；…∴從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是1+2+3+…+（n+1）=12×（n∴畫19條不同射線，可得銳角12故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角的概念，解決改題的關(guān)鍵是找到規(guī)律，從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是12×（n+1）×（5．觀察如圖，回答下列問題：（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有個(gè)不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有個(gè)不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖中有個(gè)不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE…則圖中有個(gè)不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE…則圖中有個(gè)不同的角．【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（2）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（3）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（4）有1+2+3+…+9+10+11＝66個(gè)角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可．【解答】解：（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個(gè)不同的角，故答案為：3．（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有6個(gè)不同的角，故答案為：6．（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖中有10個(gè)不同的角，故答案為：10．（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+10+11＝66個(gè)不同的角，故答案為：66．（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=(n+1)(n+2)故答案為：(n+1)(n+2)2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的有關(guān)概念的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出規(guī)律．題型六角的比較解題技巧提煉角的大小比較（1）比較角的大小有兩種方法：①測(cè)量法，即用量角器量角的度數(shù)，角的度數(shù)越大，角越大．②疊合法，即將兩個(gè)角疊合在一起比較，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，觀察另一邊的位置．1．（2023春?岱岳區(qū)期末）在∠AOB內(nèi)取一點(diǎn)C，作射線OC，則一定成立（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC【分析】由角的大小比較方法，即可判斷．【解答】解：A、只有OC平分∠AOB時(shí)，∠AOC＝∠BOC，故A不符合題意；B、∠AOC不一定大于∠BOC，故B不符合題意；C、∠BOC不一定大于∠AOC，故C不符合題意；D、∠AOB＞∠AOC，正確，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的大小比較，關(guān)鍵是掌握角的大小比較方法．2．（2023秋?呼和浩特期末）如圖所示，正方形網(wǎng)格中有∠α和∠β，如果每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，估測(cè)∠α與∠β的大小關(guān)系為（）A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．無法估測(cè)【分析】將∠α平移，讓∠α與∠β兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合，即可解答．【解答】解：將∠α平移，使∠α與∠β兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合，可得：∠α在∠β的內(nèi)部，所以∠α＜∠β，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的大小比較，利用平移的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?渠縣校級(jí)期末）如圖，射線OC，OD分別在∠AOB的內(nèi)部、外部，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC【分析】依據(jù)疊合法，將兩個(gè)角疊合在一起比較，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，觀察另一邊的位置，即可得出結(jié)論．【解答】解：A．由題可得，∠AOB＜∠AOD，故本選項(xiàng)正確；B．由題可得，∠BOC＜∠AOB，故本選項(xiàng)正確；C．由題可得，∠COD＜∠AOD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．由題可得，∠AOB＞∠AOC，故本選項(xiàng)正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的大小比較，關(guān)鍵是掌握疊合法判斷角的大小關(guān)系．4．（2023秋?紅橋區(qū)期末）如圖，用同樣大小的三角板比較∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．沒有量角器，無法確定【分析】由圖知/A∠45°，∠B＞45°，故可比較大?。窘獯稹拷猓骸邎D中三角尺為等腰直角三角形，∴∠A＜45°，＜B＞45°，∴∠A＜∠B，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的大小比較，掌握利用中間角比較角的大小是關(guān)鍵．5．（2023秋?長(zhǎng)安區(qū)期末）∠A＝40.4°，∠B＝40°4'，關(guān)于兩個(gè)角的大小，下列正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．無法確定【分析】先換算單位，再進(jìn)行比較．【解答】解：∵40.4°＝40°24′，∴40°24′＞40°4'，∴∠A＞∠B．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的大小比較，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握度分秒的換算．6．（2024春?莘縣期末）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，則下面說法正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等【分析】據(jù)觀察題中的角表示方法，只要把∠1轉(zhuǎn)化為度的形式，即可比較三個(gè)角的大小．【解答】解：∵∠1＝251260∴∠1＝∠3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查比較的大小，把∠1轉(zhuǎn)化為度的形式是解本題的關(guān)鍵．7．（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，O是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么∠AOB與∠COD的大小關(guān)系是∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】連接OE，根據(jù)題意可得：∠COE＝∠AOB，然后進(jìn)行比較即可解答．【解答】解：如圖：連接OE，由題意得：∠COE＝∠AOB，∵∠COE＞∠COD，∴∠AOB＞∠COD，故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的大小比較，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．題型七角的和、差、倍、分解題技巧提煉角的和、差、倍、分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠1．（2023秋?駐馬店期末）如圖，下列結(jié)論中，不能說明射線OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正確；B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正確；C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正確；D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，利用了角平分線的性質(zhì)．2．（2023春?陽谷縣期中）如圖∠AOB，以O(shè)B為邊作∠BOC，使∠BOC＝2∠AOB，那么下列說法正確的是（）A．∠AOC＝3∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOC＞∠BOC D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB【分析】一種可能OA是∠COB的角平分線，另一種可能是OA在∠COB的外邊．【解答】解：如圖：有兩種可能：①；②；∠AOC＝3∠AOB不一定，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∠AOC＝∠AOB不一定，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∠AOC可能等于∠BOC，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵考慮到兩種可能的情況，再對(duì)選項(xiàng)一一判斷．3．（2023秋?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如圖，OB平分∠AOC，則∠AOD﹣∠BOC等于（）A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC【分析】根據(jù)角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵OB平分∠AOC，∴∠AOB＝∠BOC，∴∠AOD﹣∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB＝∠BOD，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線，理解角平分線的定義，掌握?qǐng)D形中角的和差關(guān)系是正確解答的前提．4．（2023秋?肥西縣期末）如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是（）A．∠COD=12∠AOB B．∠AOD=2C．∠BOD=12∠AOD D．∠BOC=【分析】根據(jù)角平分線定義，得出角與角的關(guān)系．再根據(jù)選項(xiàng)選取正確答案．【解答】解：∵OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，∴∠BOC＝∠AOC=12∠AOB，∠BOD=12∠AOC∴∠BOC=23∠故選：D．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解．5．（2023秋?松桃縣期末）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，將直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，若OC是∠MOB的平分線，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC【分析】先求出2∠BON＝180°﹣2∠AOM，利用角平分線的定義再求解，∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，從而可得答案．【解答】解：∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝90°﹣∠BON，∴2∠BON＝180°﹣2∠AOM，∵OC是∠MOB的平分線，∴∠MOC＝∠BOC=12∠∴∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，∴∠AOM＝180°﹣（180°﹣2∠AOM）﹣2∠CON，∴∠AOM＝2∠NOC，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的和差運(yùn)算，角的平分線定義，熟練運(yùn)用角的和差關(guān)系探究角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．【分析】①根據(jù)OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，∠AOF=∠BOF=12∠AOB，求出∠DOE=12∠AOB，即可得出結(jié)論；②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，即可得出結(jié)論；③無法證明∠AOD＝∠BOC【解答】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，∴∠AOD=∠COD=12∠AOC∠AOF=∠BOF=1∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=1即∠DOE=12∠AOB②∵∠DOF＝∠DOE﹣∠EOF，=1=1=1=1=1=1∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，∴2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF，故②正確；③∠AOD與∠BOC不一定相等，故③錯(cuò)誤；④根據(jù)解析②可知，∠DOF=1∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠COF+∠DOF＝∠COD，∵∠COF+∠BOF＝∠COF+∠AOF＝∠AOC＝2∠COD，∴∠EOF=12(∠COF+∠BOF)綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出∠DOF=1題型八角的平分線的應(yīng)用解題技巧提煉1.角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．2.性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線：則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠1．（2024春?濰城區(qū)期中）如圖，已知OB是∠AOC內(nèi)部的一條射線，下列說法一定正確的是（）A．∠AOC＝2∠BOC B．∠BOC＜∠AOB C．∠AOC可以用∠O表示 D．∠1與∠AOB表示同一個(gè)角【分析】根據(jù)角的大小比較及角的概念進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：A．∠AOC≠2∠BOC，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∠BOC可能大于∠AOB，也可能小于∠AOB，也有可能等于∠AOB，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∠AOC不可以用∠O表示，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∠1與∠AOB表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的大小比較及角的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．2．A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC【分析】分兩種情況，∠BOC在∠AOB的外部，∠BOC在∠AOB的內(nèi)部．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)∠BOC在∠AOB的外部，如圖：∵∠BOC=12∠∴∠AOC＝3∠BOC，當(dāng)∠BOC在∠AOB的內(nèi)部，如圖：∵∠BOC=12∠∴∠AOC＝∠BOC，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的大小比較，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．3．（2023?大慶開學(xué)）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分線，OC為∠BOE的平分線，∠BOC＝．【分析】依據(jù)題意，設(shè)∠BOC＝x°，結(jié)合題意，可得∠BOE＝2x°，∠DOE＝90°﹣x°，再由OE是∠BOD的平分線，即可得解．【解答】解：由題意，設(shè)∠BOC＝x°，∵OC為∠BOE的平分線，∴∠COE＝∠BOC＝x°．∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝2x°．又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣x°．又OE是∠BOD的平分線，∴∠BOE＝2x°＝∠DOE＝90°﹣x°．∴x＝30．故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．4．（2023秋?南明區(qū)期末）如圖所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，則∠BOE的大小為．【分析】先根據(jù)已知的三個(gè)角計(jì)算∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求得∠AOE的度數(shù)，最后根據(jù)角的和差關(guān)系計(jì)算∠BOE的大?。窘獯稹拷猓骸摺螦OB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，∴∠AOD＝96°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=1∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝48°﹣30°＝18°．故答案為：18°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的定義，注意：角平分線把角分成相等的兩個(gè)角，這是解題的主要依據(jù)．5．（2023秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）已知如圖，∠AOB：∠BOC＝5：3，OD是∠BOC的平分線，OE是∠AOC的平分線，且∠BOE＝16°，求∠DOE的度數(shù)．【分析】設(shè)∠BOC＝x°，則∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°，再根據(jù)角平分線的定義用x表示出∠COE，通過∠BOE＝∠COE﹣∠COB解出值，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解問題．【解答】解：設(shè)∠BOC＝3x°，則∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°，∵OE是∠AOC的平分線，∴∠COE=12∠AOC＝4∵∠BOE＝∠COE﹣∠COB，∴16°＝4x°﹣3x°，解得x＝16．∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=12∠BOC＝1.5∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+16°＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的定義，分析出角的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型九角的尺規(guī)作圖解題技巧提煉角的尺規(guī)作圖是利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角.1．（2023秋?橋西區(qū)期末）如圖，用尺規(guī)作出了∠NCB＝∠AOC，作圖痕跡中弧FG是（）A．以點(diǎn)C為圓心，OD為半徑的弧 B．以點(diǎn)C為圓心，DM為半徑的弧 C．以點(diǎn)E為圓心，OD為半徑的弧 D．以點(diǎn)E為圓心，DM為半徑的弧【分析】運(yùn)用作一個(gè)角等于已知角的方法可得答案．【解答】解：根據(jù)作一個(gè)角等于已知角可得弧FG是以點(diǎn)E為圓心，DM為半徑的弧．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖﹣基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握作一個(gè)角等于已知角的方法．2．（2024春?遼陽期末）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排亂的作圖過程：則正確的作圖順序是（）①以C為圓心，OE長(zhǎng)為半徑畫MN，交OB于點(diǎn)M．②作射線CD，則∠BCD＝∠AOB．③以M為圓心，EF長(zhǎng)為半徑畫弧，交MN于點(diǎn)D．④以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫EF，分別交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)．A．①﹣②﹣③﹣④B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣②D．④﹣③﹣①﹣②【分析】根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作圖過程即可判斷．【解答】解：根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的過程可知：④以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫EF，分別交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)．①以C為圓心，OE長(zhǎng)為半徑畫MN，交OB于點(diǎn)M．③以M為圓心，EF長(zhǎng)為半徑畫弧，交MN于點(diǎn)D．②作射線CD，則∠BCD＝∠AOB．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握作一個(gè)角等于已知角的作圖過程．3．（2023秋?裕華區(qū)期末）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答符號(hào)代表的內(nèi)容（）如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心◎長(zhǎng)為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D（3）以點(diǎn)D為圓心⊙長(zhǎng)為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點(diǎn)F（4）作⊕，∠DEF即為所求作的角A．●表示點(diǎn)E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射線EF【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角的方法即可判斷．【解答】解：作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q；（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)D為圓心PQ長(zhǎng)為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點(diǎn)F；（4）作射線EF，∠DEF即為所求作的角．所以A，B，C選項(xiàng)都錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一個(gè)角等于已知角）是解題的關(guān)鍵．4．（2024春?芝罘區(qū)期末）如圖，用尺規(guī)作圖作出∠OBF＝∠AOB，則作圖痕跡弧MN是（）A．以點(diǎn)B為圓心，以O(shè)D長(zhǎng)為半徑的弧 B．以點(diǎn)B為圓心，以DC長(zhǎng)為半徑的弧 C．以點(diǎn)E為圓心，以O(shè)D長(zhǎng)為半徑的弧 D．以點(diǎn)E為圓心，以DC長(zhǎng)為半徑的弧【分析】根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的步驟判斷即可．【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法：①以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點(diǎn)C，D；②以點(diǎn)B為圓心，以O(shè)C為半徑畫EF，交射線BO于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以CD為半徑畫MN，交EF于點(diǎn)N，連接BN即可得出∠OBF，則∠OBF＝∠AOB．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查尺規(guī)作圖，熟知作一個(gè)角等于已知角的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．題型十三角板中角的計(jì)算解題技巧提煉三角板中的角的計(jì)算主要是利用特殊角30°，45°，60°，90°進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.1．（2023秋?廣州期末）如圖，把一副三角板疊合在一起，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．30° D．70°【分析】因?yàn)榈妊前逯械匿J角為45°，而直角三角板板中較大的銳角為60°，直接相減就可求得結(jié)果．【解答】解：由圖形可知，∠AOB＝60°﹣45°＝15°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握三角板各角的度數(shù)，每副三角板中，都有一個(gè)等腰直角三角板和一個(gè)直角三角板，再根據(jù)角的度數(shù)進(jìn)行計(jì)算．2．（）A．24° B．25° C．26° D．27°【分析】先利用角的和差關(guān)系求出∠ACD，再利用角的和差關(guān)系求出∠2．【解答】解：由直角三角板知∠BCA＝45°，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠1＝45°﹣9°＝36°．∴∠2＝∠ECD﹣∠ACD＝60°﹣36°＝24°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，掌握三角板各個(gè)角的度數(shù)及角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023春?滕州市校級(jí)期末）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合放置于A處（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)），下列結(jié)論一定成立的是（）A．∠CAE+∠DAB＝90° B．∠BAE﹣∠DAC＝45° C．∠BAE+∠DAC＝180° D．∠DAC＝2∠BAD【分析】根據(jù)題意，利用角的和差判斷正誤．【解答】解：根據(jù)題意可知：∠CAE+∠DAC＝90°，∠BAE﹣∠DAB＝90°，∠BAE+∠DAC＝180°，∠DAC+∠BAD＝90°，∴A、B、D選項(xiàng)不成立，只有C選項(xiàng)成立，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握角的和差計(jì)算．4．（2023秋?市北區(qū)期末）如圖，一副三角板中，將一個(gè)三角板60°角的頂點(diǎn)與另一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)重合，如果∠1＝23°，那么∠2的大小是度．【分析】根據(jù)∠1可以求出∠EAC，從而求出∠2即可．【解答】解：∵∠1+∠CAE＝∠BAC＝60°，∠1＝23°，∴∠CAE＝37°，又∵∠2+∠CAE＝∠DAE＝90°，∴∠2＝53°．故答案為：53．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的計(jì)算，合理運(yùn)用圖中各角的數(shù)量關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?江漢區(qū)期末）如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，OE平分∠AOC，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，若∠BOD＝20°，則∠AOE＝°．【分析】由題意可得∠COD＝90°，由補(bǔ)角的定義可求解∠AOC＝70°，再由角平分線的定義即可求∠AOE的度數(shù)．【解答】解：由題意得：∠COD＝90°，∵∠BOD＝20°，∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝70°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠故答案為：35．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查補(bǔ)角，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是明確互補(bǔ)的兩角之和為180°．6．（2023秋?荊門期末）如圖，將一副三角尺的兩個(gè)銳角（60°角和45°角）的頂點(diǎn)O疊放在一起，若∠AOD與∠BOC的和為35°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．70° D．75°【分析】根據(jù)題意可得：∠AOB＝60°，∠COD＝45°，從而可得∠AOD＝60°﹣∠DOB，∠BOC＝45°﹣∠DOB，再結(jié)合已知可得60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，然后求出∠DOB＝35°，從而求出∠BOC＝10°，最后利用角的和差關(guān)系求出∠AOC，即可解答．【解答】解：由題意得：∠AOB＝60°，∠COD＝45°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝60°﹣∠DOB，∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝45°﹣∠DOB，∵∠AOD+∠BOC＝35°，∴60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，∴∠DOB＝35°，∴∠BOC＝10°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．題型十一角度計(jì)算的解答題解題技巧提煉角度計(jì)算的解答題是綜合運(yùn)算角的和差倍分進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，有時(shí)要用到角分線的性質(zhì)。1．（2023秋?靈寶市期末）如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線．（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度數(shù)；（2）比較∠DOM和∠CON的大小，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠MOC=12∠AOC，∠NOD=1（2）根據(jù)角的和差關(guān)系解答即可．【解答】解：（1）∵OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOD=1∴∠MON=12（∠AOC+∠BOD）+∠COD=12（2）∠DOM＝∠CON，理由如下：∵∠MOC=12∠AOC，∠NOD=12∠BOD，∠∴∠MOC＝∠NOD，∴∠MON﹣∠NOD＝∠MON﹣∠MOC，∴∠DOM＝∠CON．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角的計(jì)算，掌握角的和差計(jì)算、正確認(rèn)識(shí)圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?德惠市期末）如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線．（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？（2）在（1）的條件下，如果∠COD＝20°31′，那么∠BOE是多少度？【分析】（1）由OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線，可得∠COE=12∠AOB（2）由∠BOE＝∠EOD＝∠EOC﹣COD，然后將∠COD＝20°31′，∠COE的度數(shù)代入即可．【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線，∴∠COD＝∠AOC=12∠AOD，∠DOE＝∠BOE=1∴∠COE＝∠COD+∠DOE=1=1=1=1＝65°；（2）∵∠COD＝20°31′，∠COE＝65°，∠DOE＝∠COE﹣∠COD，∴∠DOE＝65°﹣20°31′＝44°29′，∵∠BOE＝∠DOE，∴∠BOE＝44°29′．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：由角平分線的定義得到∠COE=13．（2023秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）自O(shè)點(diǎn)引射線OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)∠AOD＝2∠BOD可得∠AOD=23∠AOB，代入∠（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∴∠AOD=23∠∴∠AOD=23∠AOB（2）當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時(shí)，∵∠AOC：∠COB＝1：3，∴∠AOC=14∠∵∠AOB＝120°，∴∠AOC=1∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝80°﹣30°＝50°；當(dāng)OC在∠AOB外時(shí)，∵∠AOC：∠COB＝1：3，∴∠AOC：∠AOB＝1：2，∵∠AOB＝120°，∴∠AOC=1∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝80°+60°＝140°，綜上所述，∠COD的度數(shù)為50°或140°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算及角平分線，掌握角的特點(diǎn)及比例的意義是解決問題的關(guān)鍵．4．（2024春?萊州市期末）新定義：若∠α的度數(shù)是∠β的度數(shù)的n倍，則∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝10°21′，請(qǐng)直接寫出∠M的4倍角的度數(shù)；（2）如圖1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，請(qǐng)直接寫出圖中∠COD的2倍角；（3）如圖2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；（3）設(shè)∠AOB＝α，則∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根據(jù)∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是結(jié)論可得．【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；∴圖中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，設(shè)∠AOB＝α，則∠AOC＝3α，∠COD＝4α，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，∵∠BOD＝90°，∴6α＝90°，∴α＝15°，∴∠BOC＝2α＝30°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角的計(jì)算，度分秒的換算，準(zhǔn)確理解并熟練應(yīng)用題干中的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?江源區(qū)期末）如圖甲所示，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處．（1）①∠AOD和∠BOC相等嗎？說明理由．②∠AOC和∠BOD在數(shù)量上有何關(guān)系？說明理由．（2）若將這副三角尺按左圖乙所示擺放，三角尺的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處．①∠AOD和∠BOC相等嗎？說明理由．②∠AOC和∠BOD的以上關(guān)系還成立嗎？說明理由．【分析】（1）①根據(jù)角的和的關(guān)系解答，②利用周角的定義解答；（2）①根據(jù)同角的余角相等解答，②根據(jù)圖象，表示出∠AOC整理即可得到原關(guān)系仍然成立．【解答】解：（1）①∵∠AOD＝90°+∠BOD∠BOC＝90°+∠BOD，∴∠AOD和∠BOC相等．②∵∠AOC+90°+∠BOD+90°＝360°，∴∠AOC+∠BOD＝180°；（2）①∵∠AOD＝90°﹣∠BOD，∠BOC＝90°﹣∠BOD，∴∠AOD和∠BOC相等．②成立．∵∠AOC＝90°+90°﹣∠BOD，∴∠AOC+∠BOD＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的和、差關(guān)系，理清和或是差是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?斗門區(qū)期末）如圖①，OC是∠AOE內(nèi)部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝；（2）∠AOE與∠BOD的大小有什么關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由．（3）如圖②，如果OC是∠AOE外部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE與∠BOD的大小關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由角平分線的定義得出∠COD+∠COB=12∠AOE（2）由角平分線的定義得出∠COD+∠COB=12∠AOE，即∠AOE（3）由角平分線的定義得出得出∠AOB=∠BOC=12∠AOC，∠COD=∠EOD=12∠COE，根據(jù)∠AOE＝∠【解答】解：（1）∵OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC，∴∠COD=1∵∠AOE＝140°，∴∠COD+∠COB=1∵∠COD＝30°，∴∠BOC＝40°；故答案為：40°．（2）∵OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．∴∠COD=1∴∠COD+∠COB=12∠AOE即∠AOE＝2∠BOD，（3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下，∵OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．∴∠AOB=∠BOC=1∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，∠BOD=∠COD?∠BOC=1∴∠AOE＝2∠BOD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線，靈活利用角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．題型十二角度計(jì)算的動(dòng)態(tài)問題解題技巧提煉角度計(jì)算的動(dòng)態(tài)問題是化動(dòng)為靜，綜合運(yùn)算角的和差倍分進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，有時(shí)要用到方程思想和分類討論的思想.1．（2023秋?橋西區(qū)期末）已知直角三角形MON的直角頂點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠AON．（1）如圖1，若∠MOC＝34°，求∠AOM的度數(shù)；（2）如圖2，將三角形MON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若∠BON＝100°，求∠AOM的度數(shù)；（3）如圖3，將三角形MON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，試寫出∠BON和∠MOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)角的和差及互余的定義求解即可；（2）根據(jù)角的和差求解即可；（3）根據(jù)角平分線定義及鄰補(bǔ)角定義求解即可．【解答】解：（1）∠MOC＝34°，∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣34°＝56°，又∵OC平分∠AON，∴∠NOC＝∠AOC＝56°，∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝56°﹣34°＝22°；（2）∵∠BON＝100°，∴∠AON＝180°﹣∠BON＝180°﹣100°＝80°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝90°﹣80°＝10°；（3）∠BON＝2∠MOC，理由如下：∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC，∠AON＝2∠NOC，∵∠MON＝90°，∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，∴∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，即∠BON＝2∠MOC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角的概念，角度的計(jì)算，以及角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記概念是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?泊頭市期末）已知一副直角三角尺OAB和OCD，∠AOB＝90°，∠B＝45°，∠D＝90°，∠COD＝30°．（1）將兩個(gè)直角三角尺按如圖1擺放，點(diǎn)A在邊OC上，則∠BOD＝；（2）將直角三角尺OCD從圖1位置繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到圖2位置，使OB恰好平分∠COD，求∠AOC的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)三角尺OCD擺放在∠AOB內(nèi)部時(shí)，作射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD，若三角尺OCD在∠AOB內(nèi)部繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)（OC、OD均在∠AOB內(nèi)部），試判斷∠MON的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？通過計(jì)算說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠BOD＝∠AOB﹣∠COD即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)得∠COB＝15°，再根據(jù)∠AOC＝∠AOB﹣∠COB可得出答案；（3）先求出∠AOC+∠BOD＝60°，再根據(jù)角平分線定義得∠MOC+∠NOD＝30°，由此可得∠MON得度數(shù)．【解答】解：（1）依題意得：∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，故答案為：60°；（2）∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，OB恰好平分∠COD，∴∠COB=12∠∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣15°＝75°；（3）∠MON的度數(shù)不發(fā)生變化，始終等于60°，理由如下：∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，∵OM平分∠AOC