第13講橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種基礎(chǔ)常考題型考點(diǎn)分析考點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)()，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距．注意：①若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；②若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形．考點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，，軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)離心率（注：離心率越小越圓，越大越扁）考點(diǎn)三：橢圓的通徑過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為．考點(diǎn)四：橢圓上一點(diǎn)的有關(guān)最值①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．距離的最大值為，距離的最小值為．題型目錄題型一：橢圓的定義題型二：利用橢圓定義的解題題型三：利用橢圓定義求范圍題型四：橢圓中有關(guān)三角形周長(zhǎng)、面積問(wèn)題題型五：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題題型一：橢圓的定義【例1】如果點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式，則點(diǎn)的軌跡是（）．A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線【例2】設(shè)為定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段【例3】已知△ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)B（0，﹣4），C（0，4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）【題型專練】1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足(為大于零的常數(shù))﹐則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線2.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡為（）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段3.（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，下列方程表示的曲線是橢圓的有（）A．B．C．D．4.已知△ABC的周長(zhǎng)為10，且頂點(diǎn)，，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．題型二：利用橢圓定義的解題在處理橢圓問(wèn)題的時(shí)候，要優(yōu)先思考定義，俗稱定義優(yōu)先原則，而非上來(lái)就直接設(shè)直線和橢圓聯(lián)立．所以在解題的時(shí)候如果看到點(diǎn)在橢圓上，要時(shí)刻思考橢圓定義，將該點(diǎn)和焦點(diǎn)連線，用上定義分析問(wèn)題．【例1】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，則等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【例2】橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，滿足方程：，點(diǎn)、是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)處，從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁（非橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)）反彈后，回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的最短路程是（）A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能【例3】（2021新高考1卷）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A.13 B.12 C.9 D.6【例4】（2023重慶市松樹(shù)橋中學(xué)校高二月考）設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，則（）A． B． C． D．【例5】（2023吉林高三其他模擬）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，其中，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn).若，，則（）A． B． C． D．【例6】設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，則的值為（

）A． B． C． D．【例7】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是（

）A． B． C． D．【例8】（2023福建省泰寧第一中學(xué)月考）、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，過(guò)作的角平分線的垂線，垂足為，則的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型專練】1.（2023武邑月考）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，如果的中點(diǎn)在軸上，那么是的（）A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍2.（2023深圳期中）已知橢圓，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)在上，則（）A．10 B．15 C．20 D．253.（2023重慶市第十一中學(xué)校高三月考）已知橢圓，焦點(diǎn)，.過(guò)作傾斜角為的直線L交上半橢圓于點(diǎn)A，以(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)B恰好也在橢圓上，則A． B． C． D．124.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．5.在平面直角坐標(biāo)系中，若△ABC的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則的值是（

）A． B．2 C． D．46.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上且在軸的下方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．7.設(shè)是橢圓：上一點(diǎn)，，分別是的左、右焦點(diǎn)，則A．5 B． C．4 D．8.橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，是的中點(diǎn)，則等于（）A．2 B．4 C．6 D．1.59.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．610．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)命題甲：是定值，命題乙：點(diǎn)的軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知A為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓一焦點(diǎn)，的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則（）A． B． C． D．題型三：利用橢圓定義求范圍若表示橢圓，則若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【例1】方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一個(gè)充分但不必要條件是（）A． B． C． D．【例2】“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【例3】方程表示橢圓的一個(gè)必要不充分條件是（）A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．m＜0【例4】（多選題）已知曲線A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上C．若，則是圓，其半徑為D．若，，則是兩條直線【題型專練】1.已知方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．2.若橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．3.是方程表示橢圓的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件4．已知p：方程表示橢圓，q：.則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件題型四：橢圓中有關(guān)三角形周長(zhǎng)、面積問(wèn)題【例1】已知△的頂點(diǎn)?在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則△的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【例2】（2023廣西欽州一中高三開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè)橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為.P是C上一點(diǎn)，且⊥.若的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【例3】橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則的面積為A．24 B．28C．40 D．48【題型專練】1.（2014安徽）設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，（Ⅰ）若的周長(zhǎng)為16，求；2.點(diǎn)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的取值范圍為（）A． B．C． D．3.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別是，過(guò)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，則（）A．4 B．6 C．8 D．104.（黃梅國(guó)際育才高級(jí)中學(xué)高二月考）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.5.（2020·正定縣弘文中學(xué)月考）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓焦距為8，兩個(gè)焦點(diǎn)為，弦AB過(guò)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A．20 B．28 C． D．題型五：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣5，0)和(5，0），橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26，則橢圓的方程為（）A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1【例2】已知橢圓：和橢圓：的離心率相同，則A． B．C． D．【例3】橢圓：的焦點(diǎn)在軸上，其離心率為，則A．橢圓的短軸長(zhǎng)為 B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4C．橢圓的焦距為4 D．【例4】橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離是A． B．C．1 D．【例5】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1），，焦點(diǎn)在y軸上；（2）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)【例6】（2020·四川青羊.樹(shù)德中學(xué)高三月考（文））已知橢圓的焦點(diǎn)為，．過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為8，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）．A． B． C． D．【例7】（2019全國(guó)1文12）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A． B． C． D．【例8】橢圓（>>0）的左、右焦點(diǎn)分別為,，且過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且．（Ⅰ）若|，|，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【例9】已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ)求的方程；【題型專練】1．到點(diǎn)和的距離之和為的點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．2.（鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高二月考）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸上，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（2）以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn).3.（多選）已知橢圓C：，則下列結(jié)論正確的是A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 B．焦距為C．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．離心率為4.已知橢圓的長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于A．3 B．5C．7 D．85.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，若△的周長(zhǎng)為，則C的方程為（

）A． B． C． D．6.（2019·山西高三開(kāi)學(xué)