2024北京房山高三（上）期中數(shù)學第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.A=x|x0xB=x2x1.已知集合或，集合，則AB為（）x?2x0x|x3A.C.B.D.或?≥4}x?2x0x0x2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A.y＝x2B.y＝|lnx|C.y2﹣xD.y＝xsinx6()=+fxtanx3.函數(shù)的最小正周期為（）D.A.B.C.32m和兩個不同的平面4.已知兩條不同的直線l，，，下列四個命題中正確的是（）A.若lm，m，則∥C.若⊥，則l⊥B.若∥，m，則lmD.若∥，l⊥，則⊥，lb=a=sinlog3a,c=4a，則a,b,c的大小關系為（5.設）A.abcB.D.baccabC.bca+)xAπ2y=Asin6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移()個單位長度，得到函數(shù)=()的圖象若函數(shù)=()為奇函數(shù)，則的最小值是（）tt0yfxyfxt.ππππA.B.C.D.6437.已知a0，b0+ab1”的（，則“ab2”是“）A.充分不必要條件C.充分必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件1+x1?x()=fx，下列說法錯誤的是（）8.已知函數(shù)．．()的定義域為(?)()的圖象關于y軸對稱fxfxA.C.B.D.()的圖象關于原點對稱fx()在()上單調(diào)遞增fx0,19.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，利用細沙全部流到下部容器所需要的時間進行計時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組2成.這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細管長度忽3略不計）.假設細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h的比值為（）8492313A.B.C.D.()﹐若集合fx()=(?中恰有個元素，則稱函數(shù)()是階準偶函fxkfxk“xxfx10.對于函數(shù)1x,xaf(x)=a是“2階準偶函數(shù)”，則的取值范圍是（）數(shù)”.若函數(shù)A.(?∞,0)2x2,xa0,2)4)4)B.C.D.第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.函數(shù)f(x)=x1的定義域為________．?12.已知角x的頂點在坐標原點，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點P，且點P的1=縱坐標為，則2____________．p：若為第二象限角，且p為假命題的一組，的13.已知命題，，則.能說明值為=__________，=________.2,x2()=x()=k有兩個不同的實根，則數(shù)的取值范圍kfxx，若關于的方程fx14.已知函數(shù)是______.(?)3x1,x2?ABCD上的一個動點，給出下列四個結(jié)論：115.如圖，在邊長為1的正方體中，E是棱1111B?①三棱錐的體積為定值；11BD⊥1BED；1②存在點E，使得平面③對每一個點E，在棱上總存在一點P，使得AP//平面BED；16DM，則截面④M是線段BC的截面A上的一個動點，過點垂直于1的面積的最小值為．12其中所有正確結(jié)論的序號是____________．三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.2=3，c?b=2，=16.在中，aCπ.3c（1）求b，的值和的面積S；B?C()的值.（2）求()=fxax3bx2在點x0處取得極大值，其導函數(shù)=()的圖象經(jīng)過點()，yfx1,05++17.已知函數(shù)(0)，如圖所示.求：x（1）的值；0ac（2），b，的值；（3）函數(shù)()在區(qū)間?1,3上的最大值和最小值.fx()=()從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)()存fxAxA0,0fx.18.已知函數(shù)在且唯一確定.（1）求()的解析式；fxππ44gx=fx?2cos（2）設()()2x+1，求gx()的單調(diào)遞增區(qū)間以及在區(qū)間?,上的最大值.π4f=1；條件①：條件②：()為偶函數(shù)；fx條件③：()的最大值為1；fxπ條件④：()圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為fx.2注：如果選擇的條件不符合要求，此題得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.?ABCDADDA⊥19.如圖，四棱柱的底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面底面ABCD，1111111D=3，E是BC的中點.1B//C；1（1）求證：平面D?1E?B（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件作為已知，使二面角唯一確1定，D?1E?B（i）求二面角（ii）判斷直線的余弦值；1AEC內(nèi)，說明理由.1是否在平面1CD=1條件①：；條件②：1B=；⊥1D條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.k()=(+)?+()k0.20.已知函數(shù)fx1xxx22y=fx()在點(f1())處的切線方程；（1）當k=2時，求曲線（2）求()的單調(diào)區(qū)間；fx1x3()fx?(=)ln20.693.=x0（3）當k時，求證：時，成立.參考數(shù)據(jù)ex2e2nnb=n21.已知{a是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為A，最小值記為B，令．nnn（Ⅰ）若a＝2nn＝，2，3，bb，b的值；n123（Ⅱ）證明：bn+1bn＝1，23???（Ⅲ）若{b是等比數(shù)列，證明：存在正整數(shù)n，當n≥naan+1an+2，…是等比數(shù)列．n00n參考答案第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】C【分析】利用交集的運算求解.A=x|x0x4B=x2x，【詳解】因為集合或，集合ABx2x0=?所以，故選:C.2.【答案】A【分析】根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】A.f（x）是偶函數(shù)，且在（，+∞）上是減函數(shù)，滿足條件.B.函數(shù)的定義域為（0+∞.C.函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.D.f（﹣x）＝﹣xsin（﹣）＝xsinx（xfx）為偶函數(shù)，在（0，+∞）不具備單調(diào)性，不滿足條件.故選：A.【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關鍵.屬于基礎題..3.【答案】C【分析】根據(jù)正切三角函數(shù)的周期公式求解即可fx=Atanx+【詳解】由題意得，利用函數(shù)()()的最小正周期為，得出結(jié)論.6fx=tanx+解：函數(shù)()=，的最小正周期為1故選：C.4.【答案】D【分析】根據(jù)直線與平面內(nèi)直線平行，判斷直線與平面的關系可判斷A，由線面平行的性質(zhì)可判斷B，由平面垂直的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)線面平行的性質(zhì)及面面垂直的判定判斷D.【詳解】若lm，m，則∥或l，故A錯誤；mlm或l,m若∥，若⊥，則為異面直線，故B錯誤；，則l⊥或l//或l與斜交，故C錯誤；，l若∥，則故選：D內(nèi)必有一直線l滿足l∥l，又⊥，所以l⊥，又l，所以⊥，故D正確.l5.【答案】B【分析】利用正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判定即可.=()=3bsin210asin201=()3b0a1c【詳解】易知.c=4a4=10故選：B6.【答案】By=Asinx+φ)的圖像距離原點最近的點的坐標，即可確定的值.t(【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出函數(shù)y=Asinx+φ()的部分圖像與軸的交點為,B,C，x【詳解】如圖設函數(shù)π6ππf?=?fπf?=a,fπ=?a由圖可知2，所以，26π6?,a,?a所以點與點關于點A對稱，2πππ(xA,0)?+=2xx=，解得A設，則，A626y=Asinx+φ()函數(shù)的圖象向左平移（t0y=()fx的圖象，t因為將函數(shù)）個單位長度，得到函數(shù)且圖象關于原點對稱，y=fx()為奇函數(shù)，即f(0)=0y=Asin(x+φ)的圖象與軸最近的交點x所以平移后的函數(shù)相當于把π6A,0平移到坐標原點即可，由圖可知此點為，π所以t=，6故選：B.7.【答案】A【分析】通過基本不等式可得充分性成立，舉出反例說明必要性不成立.a0，b0a+b2ab，【詳解】當時，則當ab2時，有+2aba+b2，解得ab1，充分性成立；15=b=ab1，但此時a+b=2，必要性不成立，當a2，時，滿足22+”“ab1”的充分不必要條件綜上所述，“ab2是故選：A..8.【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.1+x1+x【詳解】函數(shù)f(x)=(+)(?)，解得?1x1，0x1x1，即0所以函數(shù)的定義域為(?1)，故A正確；11?x1+x1+x1?x1+x1?x(?x)===?fx，=?()又f所以()的奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關于原點對稱，故B錯誤，C正確；fx1+x1?x?2x?1?2x?1()=fx=?1+在上單調(diào)遞增，()0,1y=因為，又y=x()上單調(diào)遞增，所以()在()上單調(diào)遞增，故正確fx0,1D.在定義域故選：B9.【答案】A【分析】23h，設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為2rh，求出細沙的體積，再設細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的高為，求出細沙的體積，由體積面半徑為3相等求解h，則答案可求.23h【詳解】解：細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，2設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為r，321228V=rh=r2h.∴細沙的體積為333細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設高為h，138則V=r2h=rh，2818=hh.得h8∴=.h故選：A.【點睛】此題考查圓錐體積公式的應用，屬于中檔題10.【答案】B【分析】根據(jù)“2階準偶函數(shù)”定義，分a0，a0，a=0三種情況分析即可得答案.1x,xaf(x)=【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)2是“2階準偶函數(shù)”，x2,xa()()中恰有個元素.2xxfx=f?x則集合1x,xa當a0時，函數(shù)f(x)=有一段部分為y=x2,xa，注意的函數(shù)yx2本身具有偶函數(shù)性2x2,xaxxfx=f(?x中不止有兩個元素，矛盾，()質(zhì)，故集合1x21?xa0時，根據(jù)“2fx=2x當階準偶函數(shù)”的定義得()的可能取值為fxx2或，(?)為2，故當1x()(中恰=f?x=2xx2=2x或x=2x=xxfx2，該方程無解，當，解得4，故要使得集合有2個元素，則需要滿足a2，即0a2；1x,x0?x1當a=0時，函數(shù)f(x)=，fx()的取值為，(?)為fx=2xx22x，根據(jù)題意得=2x22x2,x0滿足恰有兩個元素，故a=0滿足條件.0,2).a綜上，實數(shù)的取值范圍是故選：B【點睛】本題解題的關鍵是根據(jù)新定義的“2階準偶函數(shù)”，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)()，(?)可能取xfxf何值，進而根據(jù)x2=2x方程有兩個解x=2或x=4求解考查運算求解能力與綜合分析能力，是中檔題..第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.【答案】+)x0得函數(shù)的定義域.【分析】直接解不等式組x?10x0x0xe，所以函數(shù)的定義域是+).【詳解】由題得x?10xe故答案為e,+)312.【答案】?2【分析】由題設確定P的坐標，再由三角函數(shù)的定義求.313【詳解】由題設知：P(?,)，故cos=?.2223?故答案為：25ππ13.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）64【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)舉出反例即可.5ππ【詳解】如=，=，滿足為第二象限角，且，，64π5π3，==1，即tantanp，即命題為假命題，但是tan=5πtan=?463π故=，=符合題意（答案不唯一）（答案不唯一）645ππ故答案為：；64()0,114.【答案】22fx=k【分析】分類討論代入解析式，求出()x=2且1+k2可的兩個根為，x=1+3k，由3kk解得結(jié)果.22【詳解】當x2時，f(x)=k即為，=kx=，解得xk當x2時，f(x)=k即為(x?=k，解得x=1+33k，2()=有兩個不同的實根，所以fx且x因為關于的方程k2+2，13kk解得0所以0k1.0,1k1且k1，故答案為：().【點睛】本題考查了分段函數(shù)的應用，考查了由方程根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎題.15.【答案】①④【分析】根據(jù)題意作圖，并嘗試特殊位置，進行檢驗證明.【詳解】對于①，如下圖所示：?ABCDAA1//在邊長為1的正方體中，易知平面，1D1111121D=因為點E是棱上的一個動點，可設點E到平面的距離為h1，1212116=BDBB=B1?的體積V=Sh=且S，則三棱錐，11D1113221故①正確；對于②，連接BDBD,BDBDDB，，因為在平行四邊形中，11111BD=2,=1BD1BDBD1BED不垂直平面，1，所以不垂直，所以使得1111所以②不正確.BED對于③，當點E與點A重合時，無論點P在何位置，直線與平面相交，1故③錯誤；對于④，根據(jù)題意，作圖如下：?ABCDAC⊥1AC⊥DM1因為正方體中，易知平面，所以，11111G=x1+x，CG=(?)2=21x+1，設在，則G1+x2+x2?2x+2?3x2?x==中，，21+x2x2?2x+21+x22x?2x+22??2x+2x2x2x2sinGC=1?1+x=?2x+2，2x21+x2x2?2x+221234則該截面面積SAGCGsinAGC==2x2?2x+2=2x?+，11126x0,1，當x=時，S=由，故④正確；2故答案為：①④.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15316.1）b=c=7,S=443（2）?7）由余弦定理結(jié)合已知可求得b,c，結(jié)合三角形面積公式可得面積；（2）由余弦定理、平方關系依次求得【小問1B,sinB，結(jié)合兩角差的正弦公式即可求解.由余弦定理可得c2=a2+b?2abcosC，223注意到a=3，c?b=2，C=π，19b23b(+)b22=+2??所以，即b2b+4=bb9，解得b=5，+2++212131534進一步c=b+2=7,S=absinC=35=；22【小問2a2+c2?b29+49?2511B(π)由余弦定理可得，B===，因為，2ac23714121532所以sinB=1?=，而C=π，19614353111142142343(?)=?=??=?從而sinBCsinBcosCBsinC.7x=1017.1）（2）a2，=b=9，c=12（3）(=f3=9f(x)=(?)=?()，fxf123）根據(jù)導函數(shù)圖象可得原函數(shù)單調(diào)性，知()在x=1處取得極大值，求得0=1；fx（2）利用()=0，()=()=，f1f20f15構(gòu)造方程組可求得結(jié)果；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知(=f1,f3()()，()fx()(=f0,f2，求出函數(shù)fx值即可得到結(jié)果.【小問1由圖象可知：在(?)上，f(x)0；在1,2)上，f(x)0；在(+)f(x)0上，在(?)，(+)上單調(diào)遞增，在()上單調(diào)遞減，fx,11,2在x=1處取得極大值，0=1；【小問2因為()=2++()=，()=f2()=f15，，fxaxbxcf1且00a+b+c=012a+b+c=0a=2，b=9，c=12；得：，解得：a+b+c=5【小問3由（2）得f(x)=2x3?9x+12x，則2f(x)=6x218x12=6(x?)(x?2)，?+可知：()在()?)上單調(diào)遞增，在()(2,3上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，fx1,2()(f(x=f(),f(2fx=f1,f3，，，f1=5f3又()()=，(?)=???=?，()=49f1291223f2，fx()=()=f39，f(x=f(?)=?23.()=fxsin2x18.1）條件選擇見解析，π3π8π?,π+（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ，18A()=fxsinx，函數(shù)為奇函數(shù)，故②不能選，若①和③同時選，不1）由二倍角公式易得2滿足函數(shù)()存在且唯一；選擇條件①④，由相鄰兩條對稱軸之間的距離可得周期，即得的值，由fxπf=1代入即可得A的值；選擇條件③④，由最大值得A的值，進而得解析式.4π4gx=2sin2x?（2）通過公式化簡可得()，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【小問1AfxAsinxcosx=()=sin2x()fx，則為奇函數(shù)，故②不能選，因為2選擇條件①③：A因為函數(shù)()的最大值為1=1，即A=2，fx2π4π=1，所以sin=1，的值不唯一，故不能選.f因為2選擇條件①④：π2π因為函數(shù)()圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以=π，即=1，fx2A()=fxsin2x，所以2π4Aπf=1，所以sin=1，即A=2，因為22所以f(x)=sin2x.選擇條件③④：π2π因為函數(shù)()圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以=π，即=1，fx2A因為函數(shù)()的最大值為1=1，即A=2，fx2所以f(x)=sin2x.【小問2π()=()?fx22x+1=sin2x2x1sin2x2x?2+=?=2sin2x?gx因為，4ππππ3π2π?2x?2π+kZπ?xπ+kZ，，令，，解得24288π3π8所以函數(shù)()的單調(diào)遞增區(qū)間為π?,π+gx，kZ，82ππx?,π3πππ42x??,sin2x??當時，，所以，444442πππx=gx()取得最大值，且()gx1=.2x?=所以當，即時44419.1）證明過程見解析AE1C，理由見解析.1（2i）答案見解析（ii）平面）利用線面平行的判定定理找到//1B可證；=不能確定棱柱特點即可求解；選②③：證明1D⊥平面ABCD，建（2i）選①：說明條件1D立空間坐標系，求得二面角；AD1CE異面即可.1（ii）只需證明直線【小問1與直線?ABCD中，連結(jié)1CCO，在四棱柱，設111連結(jié)OE，在△1BC中，因為O、EC,分別為的中點，//1B，又因為OEC1BC，1所以所以平面，平面11B//C.1平面【小問2（i）選擇條件①：因為底面ABCD是正方形，所以CD⊥，ADDA⊥ADDAABCD側(cè)面平面，且側(cè)面平面ABCD=，CD平面ABCD，1111故CD⊥平面1A，又DD1平面1A，則CD⊥DD，1111DDD=CD=CD=2CD=，1即四邊形為矩形，因為，則1111與選擇條件①：1DD?1E?B=等價，故條件CD=1DD1,AD不能進一步確定的夾角大小，故二面角不能確定；1選擇條件②：1AABCD⊥是正方形，所以，連結(jié)，因為底面ADDA⊥ADDAABCD=又因為側(cè)面平面ABCD，且側(cè)面平面，BA平面ABCD，11111A⊥D,⊥DD所以BA平面⊥1A1,DD，又1平面，所以，1111Rt△1AB1A=13在在又中，因為1B=，2，所以=，中，因為AD2，1D=3，所以=⊥，1AB,AB,ADABCDDD1⊥ABCD⊥CD，平面，所以平面，又D?xyzD0)CE0)，C(0,2,0)，，，1所以如圖建立空間直角坐標系，其中且1=(0,2,3)，DE0)，易知DC(0,0)為平面1EB==的一個法向量，1，2y+3z=0nn=x,y,z()為平面C1即.設面的一個法向量，則x2y0+=n，3y=?3x=z=2n=2)，可得，所以DC,n=?不妨設，則，DCn4973D?1E?B的平面角是鈍角，設為cos=?因為二面角，故，1737D?1E?B?所以二面角的余弦值為.1選擇條件③：因為底面ABCD是正方形，所以⊥，⊥1DDCCD=D,DC,CDCDDC平面，11因為所以AD平面，且11⊥CDDC1D，且側(cè)面，CDDC⊥1D，，因為平面，所以1111ADDA⊥ADDAABCD=，1D因為側(cè)面平面ABCD平面平面ABCD，11111D⊥⊥CD所以平面ABCD，又D?xyz所以如圖建立空間直角坐標系.（ii）如圖所示，1EC，理由如下：1平面AD//BCBCCEAD1CE與直線異面，1，與相交，所以直線1111A,D,C,EAE1C平面.1這表明四點不共面，即1120.1）3x?2y+2ln2?3=0（2）答案見詳解3）證明見詳解）求出函數(shù)在x=1處的導數(shù)值，即切線的斜率，從而可得出切線方程；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，分k=0，k=1，0k1，k1四種情況討論，根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；x31（3）由（）可得f(x)?0.057()=gx()()=?gxg1，利用導數(shù)可得?,x0，構(gòu)建，對ex2e2e比分析即可.【小問111+xk=2fx=1+x?x+x()()2()=fx，?1+2x解：當時，，13()=?+=f112f)=2，則，223y?2=(?)，即3x?2y+2ln2?3=0.x1所以曲線?=?(?)在點(1,?(1)處的切線方程為【小問22(+?)xk111+x由題意可知：()的定義域為(?)，且，fx()=fx?1+=1+xx（i）當k=0時，()=?fx，1+x當x0時，?′(?)<0，當1x0時，?′(?)>0，所以()在(0,+∞)上遞減，在(?1,0)上遞增；fx(+?)xk1?1kf(x)==0，則x=0或x=（ⅱ）當k0時，令，1+xk1?k2x0，所以函數(shù)fx()在(?)上遞增；=00=()=①當②當，即k1時，fxk1+x1?k時，即0k1時，k1?k1?k0xx1x0和時，?′(?)>0，當時，?′(?)<0，當kk1?