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文檔簡介

計算方法習題課2022.10.26第三章非線性方程求根二分法（介值定理）不動點迭代(收斂的充分條件，一個區(qū)間的導數絕對值小于1)Newton迭代（收斂階、方程

、方程組）弦截法（用差商近似導數）不動點迭代收斂性，驗證導數第五章求解線性方程組的迭代方法Jacobi迭代G-S迭代SOR迭代迭代收斂條件充要條件：迭代收斂條件充分必要條件：Jacobi迭代:充分條件(定理5.2)：Gauss-Seidel迭代:充分條件1(定理5.3)：充分條件2(定理5.4)：SOR迭代:必要條件：充分條件1：A對稱正定且充分條件2：A對角優(yōu)且

不滿足充分條件也可能收斂對比二范數：

第四章求解線性方程組的直接法這一題其實是用實例來說明選取列主元對于整個算法在數值穩(wěn)定性上的幫助。為了體現(xiàn)這一點，題目要求了一個較低的精度下求解（四位有效數字）。由于方程比較病態(tài)，（2）中是否采用列主元會導致結果會有很大不同，沒采用列主元的Gauss消元會由于舍入誤差導致結果與理論解產生較大偏差。還有一點要注意的是（2）中需要先將原始方程取四位有效數字。只進行初等行變換不改變行列式的值，進行Gauss消元直至對角陣，再計算行列式特征值、特征向量數值求解特征值冪法（求解模最大特征值）反冪法（求解模最小特征值，通過求逆矩陣的最大特征值，逆矩陣通過求解線性方程組的方法實現(xiàn)）Jacobi方法（通過正交矩陣，將實對稱方陣非對角元的值減少，多次迭代后得到一個接近對角陣的矩陣，其對角元都是矩陣的特征值）QR分解（利用householder變換）第八章計算矩陣的特征值和特征向量特征值與特征向量

冪法與反冪法冪法是迭代法，書上證明了冪法的收斂性。經過多次迭代，迭代的向量會收斂于模最大特征值的特征向量，前后兩次迭代間的向量接近平行，兩個向量之間的比值會收斂于最大特征值。反冪法是通過對A的模最小特征值與A的逆的模最大特征值乘積為1，在利用冪法來實現(xiàn)計算A的模最小特征值Jacobi方法

作業(yè)這章作業(yè)主要以理解算法流程為主，都只要求算了三步。嚴格按照算法計算即可一些問題：冪法與反冪法的規(guī)范化，是將x向量除以x的模長（通常是無窮模。模長都是正數），目的是防止數值溢出冪法與反冪法的特征值結果，兩次相鄰迭代中向量任一對應向量的比值都可以認為是對特征值的估計Jacobi方法，每一步必定將選擇的位置變成0，但是其他變成0的地方一般又回變成非0，但是非對角部分的總模長是變小的，非對角部分的模長會隨著迭代增加到對角元上。如果發(fā)現(xiàn)計算完之后對應部位仍是非0肯定是算錯了。差商拉格朗

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