［摘要］乘法分配律變式較多，是小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算律教學(xué)中公認(rèn)的難點(diǎn)；突破這一難點(diǎn)的有效方式不是反復(fù)操練，而是幫助學(xué)生建立概念的基本模型，加深對概念原型的理解。以蘇教版四年級(jí)下冊“乘法分配律”教學(xué)為例，通過橫向?qū)Ρ?、縱向?qū)Ρ?、交叉對比，指出乘法分配律的核心切入點(diǎn)和路徑，以幫助學(xué)生建立清晰的概念結(jié)構(gòu)與模型建構(gòu)，形成靈活應(yīng)用的思路方法。［關(guān)鍵詞］小學(xué)數(shù)學(xué)；乘法分配律；對比教學(xué)；模型建構(gòu)；數(shù)學(xué)變式乘法分配律是運(yùn)算律教學(xué)中公認(rèn)的難點(diǎn)。為什么呢？因?yàn)樗兪蕉嗲覐?fù)雜，加之四年級(jí)的學(xué)生在“觀察”能力的精細(xì)度上本身有所欠缺。針對這樣的情況，課堂上教師常常會(huì)抓住各種變式，讓學(xué)生反復(fù)操練，但往往“力倍功半”。其實(shí)，變式越多，越要明晰概念的基本模型，加深對概念原型的辨識(shí)度。只有這樣，當(dāng)學(xué)生面對各種變式時(shí)，才能將它與“原型”對接，甚至是將它變回“原型”，這樣的學(xué)習(xí)過程學(xué)生經(jīng)歷的是一次次“轉(zhuǎn)化旅程”，尤其是在數(shù)系擴(kuò)張時(shí)，學(xué)生才能順利地實(shí)現(xiàn)“理”與“法”的轉(zhuǎn)化與遷移。基于以上分析，筆者在課堂實(shí)踐中著重采用對比教學(xué)法，從多個(gè)維度、不同路徑加深學(xué)生對“乘法分配律”概念的理解。一、橫向?qū)Ρ?，厘清“乘法結(jié)合律”和“乘法分配律”的模型在實(shí)際應(yīng)用中，“乘法結(jié)合律”和“乘法分配律”最容易發(fā)生混淆，為了加強(qiáng)概念原型的認(rèn)識(shí)和方法的指導(dǎo)，我們設(shè)計(jì)了一些合理的變式練習(xí)，有針對性地幫助學(xué)生形成一些簡算方法與策略，提高其運(yùn)算能力。出示三題計(jì)算，讓學(xué)生獨(dú)立完成，學(xué)生呈現(xiàn)出如下的作業(yè)情況：師：第二題可以簡便計(jì)算嗎？你怎么看出來的？生1：可以，算式中有25和4，相乘正好是100。生2：不可以，原式中沒有加法，下面卻出現(xiàn)了加法，上下兩個(gè)算式結(jié)果就不相等了。生3：這一題應(yīng)該使用乘法結(jié)合律使25和4湊整。所以原式=25×4×54=100×54=5400。（同學(xué)們紛紛表示贊同）師：再來看看第三題，它和第二題有什么聯(lián)系與區(qū)別？這一題能簡便計(jì)算嗎？為什么？生4：算式中的三個(gè)數(shù)都相同，也都含有括號(hào)，就是括號(hào)里的符號(hào)不同?？梢院啽阌?jì)算，因?yàn)樗闶街杏?5和4，相乘正好是100。師：黑板上的做法對嗎？生5：不對，使用乘法分配律應(yīng)該用25去乘括號(hào)里的每個(gè)數(shù)，所以原式=25×4＋25×54。【設(shè)計(jì)意圖】從上述學(xué)生的三個(gè)例證中，第一題的形式是標(biāo)準(zhǔn)的乘法分配律“a×c＋b×c=（a＋b）×c”，學(xué)生一下子就能找到簡便計(jì)算的竅門進(jìn)行計(jì)算。第二題和第三題的檢測點(diǎn)在于，學(xué)生在運(yùn)用中會(huì)不會(huì)出現(xiàn)結(jié)合律與分配律的混淆。從測試反饋看，果然不出所料，學(xué)生對于乘法分配律和乘法結(jié)合律的概念認(rèn)知還不夠清晰。這里的第二、第三題有意使用“控制變量”的方法，使算式中數(shù)字相同，符號(hào)不同。通過這樣的橫向?qū)Ρ?，更加?qiáng)化了乘法分配律與乘法結(jié)合律的區(qū)別，以便進(jìn)行接下來的教學(xué)。師：下面的兩題做法對嗎？（出示學(xué)生作業(yè)）比一比，怎樣區(qū)分乘法結(jié)合律和分配律？生：乘法分配律有乘有加，是二級(jí)運(yùn)算，乘法結(jié)合律只有乘法，是同級(jí)運(yùn)算。師：抓住乘法分配律與結(jié)合律的最大不同快速區(qū)分，是個(gè)好辦法。要判斷一個(gè)算式中是否存在“乘法分配律”，關(guān)鍵要尋找什么？生（齊說）：相同數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】第二題和第三題“外形”很相似，區(qū)別就在于小括號(hào)里的符號(hào)。班級(jí)里近一半的學(xué)生將此題做錯(cuò)，究其原因就是對“原型”的認(rèn)識(shí)不夠深入。通過這種“同屏對比”的方法，把學(xué)生的思維過程展示出來，使學(xué)生在對比中發(fā)現(xiàn)乘法分配律和乘法結(jié)合律的區(qū)別。但是在“找”了并“說”了之后，仍需要認(rèn)識(shí)到問題核心：怎樣區(qū)分乘法結(jié)合律和乘法分配律。通過上述兩組相對簡單卻又容易發(fā)生混淆題目的橫向?qū)Ρ?，來引?dǎo)學(xué)生體會(huì)“相同因數(shù)”是明確乘法分配律原型的關(guān)鍵要素，厘清“乘法結(jié)合律”和“乘法分配律”的模型，以期化解學(xué)生頭腦中的矛盾沖突，更清楚地建立乘法中這兩種運(yùn)算律的模型。二、縱向?qū)Ρ?，體現(xiàn)“乘法分配律”模型的深度乘法分配律是“運(yùn)算律”單元的重點(diǎn)，也是“運(yùn)算律”單元的難點(diǎn)，更是變式較多的知識(shí)點(diǎn)。在上述清楚地建立起這兩條運(yùn)算律的表象后，可以對乘法分配律進(jìn)行更為精細(xì)的深化練習(xí)，通過分配律各種題型的縱向?qū)Ρ?，促使學(xué)生突破乘法分配律的變式難點(diǎn)。出示題組1：口算下面各題，并用乘法分配律解釋算理。23×34×1216×52×48師：誰來說說你是如何計(jì)算“23×3”的？生：先算“3×3”，再算“十位上的2×3”，合起來就是69。師：能用乘法分配律解釋嗎？生：這樣的算法，其實(shí)就是把23拆分成20＋3，先算3個(gè)3是多少，再算20個(gè)3是多少，把兩個(gè)得數(shù)合在一起，就是23×3的結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】這里的兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法口算，是學(xué)生在數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊就掌握的內(nèi)容。當(dāng)時(shí)，雖然并沒有揭示“乘法分配律”的本質(zhì)內(nèi)涵，但在計(jì)算中已經(jīng)充分運(yùn)用了“乘法分配律”的原理。通過這一題組的計(jì)算，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將新、舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)，活躍計(jì)算思維，以期實(shí)現(xiàn)從“算出結(jié)果”向“理解算理”再向“知識(shí)建構(gòu)”的方向跨越發(fā)展。同時(shí)，即使有的學(xué)生不能像教師要求的那樣說得貼切、流利，但在這樣的思考過程中，也有助于他們跟上接下來的題組練習(xí)，輔助其思維向縱深邁進(jìn)。出示題組2：用自己的方法計(jì)算23×36。展示下面的學(xué)生作業(yè)：師：這里有4位同學(xué)的作業(yè)，他們用的方法各不相同，你能說說這些方法之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎？生1：前兩位同學(xué)用了豎式計(jì)算，后兩位同學(xué)用了乘法分配律的方法進(jìn)行計(jì)算。生2：我發(fā)現(xiàn)第一個(gè)豎式計(jì)算和第三個(gè)算法其實(shí)是一樣的。在第一個(gè)豎式中，先用個(gè)位上的6去乘23，再用十位上的3去乘23，然后把所得結(jié)果相加。相當(dāng)于把36拆分成了30和6，先算6個(gè)23是多少，再算30個(gè)23是多少，最后直接相加算出36個(gè)23是多少。師：的確，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理是可以用乘法分配律來解釋的。生3：照這樣的理解，第二個(gè)豎式和第四個(gè)算法也是相同的道理。不同的是，剛才是對36進(jìn)行拆分，這里是對23進(jìn)行拆分。師：是啊，不管是把哪個(gè)乘數(shù)拆分，使用乘法分配律都能使兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算變得更加簡便?！驹O(shè)計(jì)意圖】這是學(xué)生在三年級(jí)下冊就掌握的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算，之所以在這里設(shè)計(jì)本題，目的是讓學(xué)生從已有的豎式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)中跳出，引導(dǎo)其思考“既然兩位數(shù)乘一位數(shù)可以用乘法分配律解釋計(jì)算原理，那么，兩位數(shù)乘兩位數(shù)是否也可以呢？”通過這一題的練習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)乘兩位數(shù)，也蘊(yùn)含著乘法分配律，既可以解釋成36個(gè)23是多少，也可以解釋成23個(gè)36是多少，無論拆分哪個(gè)乘數(shù)，最后都能計(jì)算出23×36的結(jié)果。進(jìn)而，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，乘法運(yùn)算都可以用乘法分配律的原理進(jìn)行解釋，而用乘法分配律的思考過程其實(shí)就是豎式計(jì)算的過程。這樣的縱向?qū)Ρ染毩?xí)，不僅鞏固了乘法的算理，又能進(jìn)一步加深學(xué)生對乘法分配律的知識(shí)理解。出示題組3：64×9-14×912×（40-5）師：這兩題，可以簡便計(jì)算嗎？為什么？生1：不可以。雖然這兩題和乘法分配律很像，但是乘法分配律里面是加法，而這里是減法，和乘法分配律不一樣。生2：可以。算式中變了一個(gè)符號(hào)，但是也可以仿照乘法分配律進(jìn)行計(jì)算。比如第一題，實(shí)際上就是用64個(gè)9減去14個(gè)9，結(jié)果是50個(gè)9。所以原式=（64-14）×9。第二題也是相同的道理，原式=12×40-12×5?！驹O(shè)計(jì)意圖】當(dāng)學(xué)生第一次看到這類算式時(shí)，不免會(huì)跟“乘加”的算式進(jìn)行對比，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)“乘減”的算式中的減號(hào)不符合乘法分配律的模型時(shí)，就會(huì)給出否定的答案。此時(shí)，教師可以直接告訴學(xué)生，乘法分配律不僅可以在“乘加”的算式中使用，在“乘減”的算式中也同樣適用，再讓其嘗試計(jì)算并進(jìn)行檢驗(yàn)，這樣就能達(dá)到由“乘加”向“乘減”遷移的目的?？傊?，“乘法分配律”的變式較多，不少學(xué)生缺乏一些簡算的小技能，這也是他們覺得難學(xué)的原因之一。因此，在練習(xí)中不僅要呈現(xiàn)較為常見的變式題，還應(yīng)設(shè)計(jì)一些體現(xiàn)新方法與策略的變式題。在課堂上，將上述3個(gè)題組同時(shí)拋出，讓學(xué)生在實(shí)際操練、縱向?qū)Ρ忍釤捴蝎@得簡算的新技能，從建立概念結(jié)構(gòu)與原型，到變式練習(xí)推進(jìn)還原，有效提升學(xué)生在簡算中“靈活應(yīng)用”的能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，充分體現(xiàn)“乘法分配律”模型的深度。三、交叉對比，拓寬“乘法分配律”思維模型僅僅把乘法分配律的教學(xué)停留在以上層面仍然不夠，還應(yīng)加入思維含量更加豐富的題型，以充實(shí)學(xué)生對“乘法分配律”的認(rèn)識(shí)，提高他們思維的靈活性。例1：用簡便方法計(jì)算下面兩題。35×9876×99通過上述的兩個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，大部分學(xué)生都能想到使用拆分的方法進(jìn)行計(jì)算，例如下圖：通過計(jì)算，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這種算法并沒有使計(jì)算變得簡便，計(jì)算量也不小。那么，面對這樣類型的題目該如何計(jì)算呢？通過觀察“35×98”和剛才的“23×36”，發(fā)現(xiàn)“35×98”中的98非常接近整百數(shù)100，想到可以從“減法”的角度對本題展開思考：如果用“100-2”代替“98”，是不是可以使計(jì)算更加簡便呢？通過嘗試計(jì)算，結(jié)果果然如此，計(jì)算過程如下圖所示：這樣一個(gè)交叉對比練習(xí)，主要是打開學(xué)生思維的靈活性。其實(shí)，并不是所有的兩位數(shù)乘兩位數(shù)都只能使用“乘加”的方法進(jìn)行簡便計(jì)算，有時(shí)候使用“乘減”，反而更加簡便。如此一來，就可以打破學(xué)生的思維定式，培養(yǎng)其多角度思考問題的習(xí)慣。例2：用簡便方法計(jì)算下面兩題。360×52+480×36999×8+111×28出示這兩題，班級(jí)大多數(shù)同學(xué)都表示，難以進(jìn)行簡便計(jì)算，原因是題目中沒有相同的乘數(shù)，無法使用乘法分配律，同時(shí)乘法結(jié)合律也沒法使用。此時(shí)，教師可以給學(xué)生一些提示：提示1：算式中沒有相同的乘數(shù)，能否用以前學(xué)過的知識(shí)使得算式中出現(xiàn)相同的乘數(shù)？提示2：想一想，乘法中有沒有什么規(guī)律可以實(shí)現(xiàn)提示1的目的？通過這兩個(gè)提示，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：在“360×52+480×36”中，有兩個(gè)數(shù)比較特殊，即“360和36”。如果把這兩個(gè)乘數(shù)都變成360或者36，那么，本題就能使用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算。于是，我們想到，應(yīng)用積的變化規(guī)律可以把“360×52”轉(zhuǎn)化成“36×520”，或者把“480×36”轉(zhuǎn)化成“48×360”，這樣就能化解計(jì)算難點(diǎn)，如下圖所示：同理可得，“999×8+111×28”也可以應(yīng)用積的變化規(guī)律對原式進(jìn)行等積變形，使其滿足乘法分配律的形式，解題過程如下：【設(shè)計(jì)意圖】例2的教學(xué)要點(diǎn)，旨在達(dá)成用“相同因數(shù)”進(jìn)行靈活合理地簡算的目的。例1與例2變式難度逐級(jí)遞增，一部分學(xué)生無法用已有的認(rèn)知水平去解決沒有相同因數(shù)這類變式題。這兩道例題一前一后出現(xiàn)，學(xué)生一時(shí)難以參透其中的奧秘，這時(shí)，就需要放慢腳步，找尋困惑之處，然后通過交叉對比的方式，引導(dǎo)學(xué)生相互學(xué)習(xí)與思辨，討論可行的方法與策略。同時(shí)，也要讓他們再次嘗試與應(yīng)用，體會(huì)“變式”打回“原型”的意義。在加深概念理解的同時(shí)，真正獲得簡算技能，提升運(yùn)算能力。如此一來，就能拓寬“乘法分配律”思維模型。通過上面3個(gè)層次6個(gè)題組的對比教學(xué)，筆者獲得了以下四點(diǎn)啟示：一是結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)教學(xué)可以使數(shù)學(xué)知識(shí)更加立體；二是巧妙運(yùn)用“對比教學(xué)法”可以厘清概念，促進(jìn)知識(shí)意義建構(gòu)；三是從真實(shí)的問題出發(fā)，可以更適切地幫助學(xué)生“撥亂反正”，建立正確的概念；四是螺旋上升的教學(xué)方式可以打開學(xué)生思維的深度，拓展學(xué)生思維的廣度。史寧中教授指出，模型是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想本質(zhì)之一。因此，理解“乘法分配律”的原型，不能只停留在“外貌”上的認(rèn)識(shí)，更應(yīng)該在概念本質(zhì)上去建構(gòu)，這樣才能在應(yīng)用中體現(xiàn)靈活性。本文從學(xué)生常見的錯(cuò)題入手，按照由