《復(fù)數(shù)的幾何意義》講義3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義講義同學(xué)們，咱們之前學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的一些基本概念，今天呢，咱們來(lái)探究一下復(fù)數(shù)的幾何意義，這可是很有趣的內(nèi)容哦。一、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系1、知識(shí)點(diǎn)講解我們知道復(fù)數(shù)\（z＝a+bi\）（＼（a,b\inR\）），這里的\（a\）叫做復(fù)數(shù)\（z\）的實(shí)部，＼（b\）叫做復(fù)數(shù)\（z\）的虛部。那這個(gè)復(fù)數(shù)在平面上怎么表示呢？我們可以建立一個(gè)復(fù)平面，這個(gè)復(fù)平面和咱們以前學(xué)的直角坐標(biāo)平面很像哦。在復(fù)平面內(nèi)，＼（x\）軸叫做實(shí)軸，＼（y\）軸叫做虛軸。對(duì)于復(fù)數(shù)\（z＝a＋bi\），它就可以和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)\（（a,b)＼）一一對(duì)應(yīng)起來(lái)啦。就像我們有一個(gè)神奇的橋梁，把復(fù)數(shù)這個(gè)有點(diǎn)抽象的東西和平面上實(shí)實(shí)在在的點(diǎn)連接起來(lái)了呢。例如，復(fù)數(shù)\（z＝3+2i\），那么它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是\（（3,2)＼）。這就好比是給復(fù)數(shù)找到了一個(gè)在平面上的“家”。2、互動(dòng)環(huán)節(jié)那我來(lái)考考大家，復(fù)數(shù)\（z=－14i\）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是多少呢？（請(qǐng)同學(xué)回答）二、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系1、知識(shí)點(diǎn)講解每一個(gè)復(fù)數(shù)\（z＝a+bi\），除了對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)\（（a,b)＼），還可以對(duì)應(yīng)一個(gè)向量\（＼overrightarrow{OZ}＼），這個(gè)向量是以原點(diǎn)\（O\）為起點(diǎn)，點(diǎn)\（Z(a,b)＼）為終點(diǎn)的向量哦。向量的長(zhǎng)度\（＼vert\overrightarrow{OZ}＼vert\）叫做復(fù)數(shù)\（z\）的模，咱們用\（＼vertz\vert\）來(lái)表示。根據(jù)勾股定理，＼（＼vertz\vert=＼sqrt{a^｛2}＋b^｛2}｝＼）。比如說(shuō)復(fù)數(shù)\（z＝23i\），它對(duì)應(yīng)的向量\（＼overrightarrow{OZ}＼），這個(gè)向量的模\（＼vertz\vert=＼sqrt{2^｛2}＋（－3)＾｛2}｝＝＼sqrt{4＋9}＝＼sqrt{13}＼）。這就好像復(fù)數(shù)不僅有個(gè)“家”（對(duì)應(yīng)點(diǎn)），還有個(gè)“力量”（對(duì)應(yīng)向量的模）的表示呢。2、互動(dòng)環(huán)節(jié)現(xiàn)在我給一個(gè)復(fù)數(shù)\（z＝5+12i\），哪位同學(xué)能算出它對(duì)應(yīng)的向量的模呢？（請(qǐng)同學(xué)回答）三、復(fù)數(shù)模的性質(zhì)1、知識(shí)點(diǎn)講解復(fù)數(shù)模有一些有趣的性質(zhì)哦。對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)\（z_{1}＝a_{1}＋b_{1}i\），＼（z_{2}＝a_{2}＋b_{2}i\），＼（＼vertz_{1}z_{2}＼vert=＼vertz_{1}＼vert\vertz_{2}＼vert\）。咱們來(lái)推導(dǎo)一下，設(shè)\（z_{1}＝a_{1}＋b_{1}i\），＼（z_{2}＝a_{2}＋b_{2}i\），那么\（z_{1}z_{2}＝（a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}）＋（a_{1}b_{2}＋a_{2}b_{1}）i\），＼（＼vertz_{1}z_{2}＼vert=＼sqrt{（a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}）＾｛2}＋（a_{1}b_{2}＋a_{2}b_{1}）＾｛2}｝＼），經(jīng)過(guò)一系列的計(jì)算（這里計(jì)算過(guò)程有點(diǎn)復(fù)雜，大家可以課后自己推導(dǎo)一下哦）就可以得到\（＼vertz_{1}z_{2}＼vert=＼vertz_{1}＼vert\vertz_{2}＼vert\）。還有\(zhòng)（＼left\vert\frac{z_{1}｝｛z_{2}｝＼right\vert=＼frac{＼vertz_{1}＼vert}｛＼vertz_{2}＼vert}（z_{2}＼neq0)＼）。這就像復(fù)數(shù)模之間也有自己的小規(guī)則一樣。2、互動(dòng)環(huán)節(jié)假如\（z_{1}＝3＋4i\），＼（z_{2}＝1+2i\），咱們來(lái)一起算一下\（＼vertz_{1}z_{2}＼vert\）和\（＼vertz_{1}＼vert\vertz_{2}＼vert\），看看是否相等呢？（和同學(xué)們一起計(jì)算）四、課堂練習(xí)1、練習(xí)題目（1）寫出復(fù)數(shù)\（z＝－2＋5i\）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）已知復(fù)數(shù)\（z＝43i\），求它對(duì)應(yīng)的向量的模。（3）設(shè)\（z_{1}＝2＋3i\），＼（z_{2}＝1i\），計(jì)算\（＼vertz_{1}z_{2}＼vert\）和\（＼vertz_{1}＼vert\vertz_{2}＼vert\）。2、答案（1）＼（（－2,5)＼）。（2）＼（＼vertz\vert=＼sqrt{4^｛2}＋（－3)＾｛2}｝＝＼sqrt{16＋9}＝＼sqrt{25}＝5\）。（3）首先，＼（z_{1}z_{2}＝（2＋3i)（1i)＝22i+3i3i^｛2}＝5＋i\），＼（＼vertz_{1}z_{2}＼vert=＼sqrt{5^｛2}＋1^｛2}｝＝＼sqrt{25＋1}＝＼sqrt{26}＼）；＼（＼vertz_{1}＼vert=＼sqrt{2^｛2}＋3^｛2}｝＝＼sqrt{4＋9}＝＼sqrt{13}＼），＼（＼vertz_{2}＼vert=＼sqrt{1^｛2}＋（－1)＾｛2}｝＝＼sqrt{1+1}＝＼sqrt{2}＼），＼（＼vertz_{1}＼vert\vertz_{2}＼vert=＼sqrt{13}＼times\sqrt{2}＝＼sqrt{26}＼），所以\（＼vertz_{1}z_{2