5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（1）問題1：高臺跳水運(yùn)動員的速度平均速度瞬時(shí)速度問題2：拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率——平均變化率——平均變化率——瞬時(shí)變化率——瞬時(shí)變化率復(fù)習(xí)引入思考1：解決這兩類問題時(shí)有什么共性？這兩類問題都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法.探究：平均變化率思考2：

一般地，對于函數(shù)

y＝f(x)，你能用“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法研究其在某點(diǎn)(如

x＝

x0）處的瞬時(shí)變化率嗎？追問1：為了研究函數(shù)

y＝f(x)在

x＝

x0處的瞬時(shí)變化率，我們可以研究哪個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值的平均變化率呢？為了研究函數(shù)

y＝f(x)在

x＝

x0處的瞬時(shí)變化率，我們可以選取自變量x的一個(gè)改變量Δx（可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為

0）.計(jì)算自變量x從x0變化到x0+Δx這個(gè)過程中函數(shù)值的平均變化率.追問2：函數(shù)

y＝f(x)的自變量

x從

x0變化到x0+Δx這個(gè)過程中，函數(shù)值的平均變化率如何表示呢？自變量

x：函數(shù)值

y：

函數(shù)

y＝f(x)從x0到的平均變化率：平均變化率對于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋?x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋?x).這時(shí)，x的變化量為?x，y的變化量為

?y＝f(x0＋?x)－f(x0).我們把比值

，即叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋?x的平均變化率.歸納總結(jié)追問3：函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0

處的瞬時(shí)變化率該如何表示呢？無限趨近于無限趨近于無限趨近于探究2：導(dǎo)數(shù)的概念取極限導(dǎo)數(shù)的概念如果當(dāng)?x→0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作或，即歸納總結(jié)說明：1.f′(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同；2.f′(x0)與?x的具體取值無關(guān)；3.瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同一概念的兩個(gè)名稱.

問題1高臺跳水運(yùn)動員的速度平均速度瞬時(shí)速度問題2拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率——瞬時(shí)變化率——瞬時(shí)變化率——平均變化率——平均變化率思考3：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，你能用導(dǎo)數(shù)來重述跳水運(yùn)動員速度問題和拋物線切線問題的結(jié)論嗎？實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)可以描述任何運(yùn)動變化事物的瞬時(shí)變化率，比如效率、國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長率等.例1：例題解：為了便于計(jì)算，我們可以按下述步驟進(jìn)行：解：課本P65（1）求函數(shù)值的增量:（2）求平均變化率:（3）取極限，得導(dǎo)數(shù):反思?xì)w納簡記：一差、二比、三極限.求函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0

處導(dǎo)數(shù)的步驟:1.設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則=(

)A.f′(x0)

B.f′(-x0)

C.-f′(x0)

D.-f′(-x0)解析：練習(xí)選C.解：課本P66例題例2：將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱.已知在第xh時(shí)，原油的溫度(單位:°C)為

.計(jì)算第2h與第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它們的意義.解：在第2h和6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f′(2)和f′(6).課本P65在第2h與第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－3℃/h與5℃/h.說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率上升.

一般地，f'(x0)(0≤x0≤8)反映了原油溫度在時(shí)刻x0附近

的變化情況.

f'(x0)為負(fù)，體現(xiàn)了下降的變化趨勢；

f'(x0)為正，體現(xiàn)了上升的變化趨勢.追問：

和在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？在例2中，計(jì)算第3h與第5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.

解：在第3h附近，原油溫度大約以1℃/h的速率下降；在第5h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率上升.練習(xí)課本P66解：在第2s和6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度就是v′(2)和

v′(6).例3：一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時(shí)汽車的速度(單位:m/s)為

，求汽車在第2s與第6s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義.在第2s與第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別為2m/s2與－6m/s2.說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加2m/s；在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少6m/s.例題課本P661.一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動，位移y(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)之間的關(guān)系為y(t)=2t2+1，求質(zhì)點(diǎn)A在t=2.7s時(shí)的瞬時(shí)速度.練習(xí)課本P662.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1.求:(1)當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率；(2)函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù).課本P66隨堂檢測1.已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則

等于（

）A.4 B.4x C.4＋2ΔxD.4＋2(Δx)22.已知f(x)＝

，且f′(m)＝－

，則m的值等于（

）A.－4 B.2 C.－2 D.±24.已知函數(shù)f(x)＝

，則f′(1)＝____.5.一條水管中流過的水量y(單位：m3)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝f(t)＝3t.求函數(shù)y＝f(t)在t＝2處的