4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式(1)復(fù)習(xí)引入1+2+3+…+50+51+…+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

……

50+51=101高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組，每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了，即高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列

1，2，3，???，n，???①前100項的和的問題.思考1:高斯在求和過程中利用了數(shù)列的什么性質(zhì)？你能從中得出求數(shù)列的前n項和的方法嗎？探究：等差數(shù)列的前n項和的公式據(jù)說，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：1＋2＋3＋???＋100=？高斯(1777—1855）德國著名數(shù)學(xué)家高斯的算法:(1+100)+(2+99)+???+(50+51)=101×50=5050.對于數(shù)列1，2，3，???，n，???，若設(shè)an=n，那么高斯的計算方法可以表示為可以發(fā)現(xiàn)，高斯在計算中利用了

這一特殊關(guān)系.這里用到了數(shù)列的性質(zhì)：若p+q=s+t，則ap+aq=as+at，它使不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化成了相同數(shù)(即101)的求和，從而簡化了運算.思考2：你能用高斯的方法求1+2+???+100+101嗎?(1+101)+(1+100)+???+(50+52)+51=102×50+51=5151.或(0+101)+(1+100)+???+(50+51)=101×51=5151.將上述方法推廣到一般:求1+2+???+n.于是有

當(dāng)n是偶數(shù)時，有

當(dāng)n是奇數(shù)時，有

∴對任意正整數(shù)n，都有思考3:我們發(fā)現(xiàn)，在求前n個正整數(shù)的和時，要對n分奇數(shù)、偶數(shù)進行討論，比較麻煩.能否設(shè)法避免分類討論?這種求和方法叫倒序相加法把這種倒序相加的方法推廣到求等差數(shù)列{an}的前n項和,可得(1)(2)思考4:不從公式(1)出發(fā)，你能用其他方法得到公式(2)嗎？等差數(shù)列的前n項和的公式：含a1和d含a1和an歸納總結(jié)說明：當(dāng)已知首項、末項和項數(shù)時，用前一個公式較為簡便；當(dāng)已知首項、公差和項數(shù)時，用后一個公式較好．公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前n

項和公式.a1(n-1)dna1anna1an例題例1：

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.課本P21例題例1：

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.練習(xí)根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn.(1)a1＝5,an＝95,n＝10;(2)a1＝100,d＝－2,n＝50;(3)a1＝－4,a8＝－18,n＝10;(4)a1＝14.5,d＝0.7,an＝32.課本P22根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn.(4)a1＝14.5,d＝0.7,an＝32.課本P222.等差數(shù)列－1,－3,－5,???的前多少項的和是－100?課本P22例2：已知一個等差數(shù)列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的首項和公差嗎?例題分析：把已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式

后，可得到兩個關(guān)于

與d的二元一次方程，解這兩個二元一次方程所組成的方程組，就可以求得

與d.課本P21歸納反思練習(xí)1.在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項的和，若S4＝6，S8＝20，求S16.課本P232.在等差數(shù)列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.課本P231.（2013·安徽高考）設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，，則a9=（）A.-6B.-4C.-2D.2解析：選A.由聯(lián)立解得，所以隨堂檢測3．設(shè){an}為等差數(shù)列，Sn

為{an}的前n項和，S7＝7，S15＝75，求Sn.4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S5＝a5＋a6＝25.(1)求{an}的通項公式；解：設(shè)公差為d，由S5＝a5＋a6＝25，∴a1＝－1，d＝3.∴{an}的通項公式為an＝3n－4.(2)求等差數(shù)列{an}的前n項和Sn.解：由(1)知an＝3n－4，得{an