對于微觀粒子，牛頓方程已不適用。一波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋

一個沿x

軸正向傳播的頻率為

的平面簡諧波:波函數(shù)薛定諤方程1、一維自由粒子的波函數(shù)用指數(shù)形式表示：波的強度取復(fù)數(shù)實部微觀粒子的運動狀態(tài)描述微觀粒子運動基本方程波函數(shù)薛定諤方程

對于動量為P

、能量為E

的一維自由微觀粒子，根據(jù)德布羅意假設(shè)，其物質(zhì)波的波函數(shù)相當(dāng)于單色平面波，類比可寫成：微觀粒子運動狀態(tài)

？量子力學(xué)中一維自由粒子波函數(shù)的一般形式這里的

和一般都為復(fù)數(shù)。二波函數(shù)的統(tǒng)計意義亮

波強

電子到達(dá)多暗

波弱

電子到達(dá)少電子雙縫衍射波的強度---------振幅的平方我想我可以有把握地說：沒有人懂得量子力學(xué)…，我來告訴你自然界的行為象什么…只要有可能，你就不要老是問自己：“它怎么會這樣呢？”如果那樣你就會被拋棄，走進一條死胡同，到現(xiàn)在還沒有人從這條死胡同走出來，因為沒有人知道自然界為什么會這樣。－費曼－dV=dx

dy

dz單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率玻恩（M..Born)的波函數(shù)統(tǒng)計解釋:出現(xiàn)在

dV

內(nèi)概率：概率密度：波函數(shù)本身無直觀物理意義，只有模的平方反映粒子出現(xiàn)的概率，在這一點上不同于機械波，電磁波。

t

時刻粒子出現(xiàn)在空間某點r

附近體積元dV

中的概率，與波函數(shù)平方及dV

成正比。三波函數(shù)滿足的條件1、單值：在一個地方出現(xiàn)只有一種可能性；2、連續(xù)：概率不會在某處發(fā)生突變；3、有限4、粒子在整個空間出現(xiàn)的總概率等于1即：波函數(shù)歸一化條件波函數(shù)滿足的條件：單值、有限、連續(xù)、歸一四薛定諤方程的建立1、一維自由粒子薛定諤方程的建立薛定諤方程是量子力學(xué)基本假設(shè)之一，不能理論推導(dǎo)證明一維自由粒子的含時薛定諤方程以一維自由粒子為例2、一維勢場

中運動粒子薛定諤方程一維運動粒子含時薛定諤方程一維自由粒子的含時薛定諤方程比較推廣到三維情況，薛定諤方程可寫為：拉普拉斯算符：一般的薛定諤方程可寫為：

薛定諤方程是非相對論量子力學(xué)的基本動力學(xué)方程，其地位與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓方程相同。3、定態(tài)薛定諤方程若勢能U與t無關(guān)，僅是坐標(biāo)的函數(shù)。粒子在空間各處出現(xiàn)的概率不隨時間變化的。定態(tài)：概率不隨時間變化的狀態(tài)1）定態(tài)2）定態(tài)薛定薛方程定態(tài)波函數(shù)可寫成：根據(jù)：一維定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定薛方程分離變量（常量）一一維無限深勢阱§13-8

勢阱中的粒子勢壘諧振子

BA金屬表面1勢阱2一維無限深勢阱00<x<a0ax金屬中自由電子的勢能曲線U

與t

無關(guān)，寫出定態(tài)定諤方程123

1=0

3=00ax1勢阱外E為有限值，所以2勢阱內(nèi)（1）解方程令:（2）確定常數(shù)A、

勢阱無限深~阱外無粒子

(x)=0（x0x

a

）由波函數(shù)連續(xù)性，邊界條件：

(0)=0

(a)=0

=0ka=n

Asin=0Asinka=0n=1，2，3，…n=0?n=1，2，3，……一維無限深勢阱中運動的微觀粒的能量只能取分立值。其中n

---被稱為量子數(shù)。由歸一化條件確定系數(shù)A歸一化條件為：（0<x<a

）

(x)=0（x

0x

a）ka=n

（0<x<a

）（x<0,x>a)考慮時間因子（0<x<a

）駐波？（x<0,x>a)n=1n=2n=30x0x一維無限深勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和概率密度1.能量只能取分立值是解薛定諤方程自然而然得到的結(jié)論。3.最低能量不為零（稱零點能）

———符合不確定關(guān)系。2.當(dāng)m很大（宏觀粒子）時，能量連續(xù)，量子

經(jīng)典。

4.勢阱內(nèi)各處粒子出現(xiàn)的概率呈周期性分布與經(jīng)典粒子不同。討論按經(jīng)典理論……粒子的“能量連續(xù)”；但量子力學(xué)……束縛態(tài)能量只能取分立值（能級）例題

求在一維無限深勢阱中粒子概率密度的最大值的位置.解:

一維無限深勢阱中粒子的概率密度為將上式對x求導(dǎo)一次，并令它等于零只有于是由此解得最大值得位置為例如最大值位置最大值位置最大值位置可見，概率密度最大值的數(shù)目和量子數(shù)n相等。（0<x<a

）只有0x例題粒子在一維無限深勢阱中運動，其波函數(shù)為若粒子處于n=1的狀態(tài)，在區(qū)間發(fā)現(xiàn)該粒子的幾率是多少？[解]：0xU0勢壘123經(jīng)典理論1.E>U0的粒子，越過勢壘。2.E<U0的粒子，不能越過勢壘。量子理論1.E>U0的粒子，也存在被彈回的概率——反射波。2.E<U0的粒子，也可能越過勢壘到達(dá)3區(qū)——

隧道效應(yīng)。二、勢壘隧道效應(yīng)oa1.勢函數(shù)m—振子質(zhì)量，

—固有頻率，x—位移2.定態(tài)薛定諤方程三、諧振子3.能量能量量子化能量間隔

最低能量(零點能)4．波函數(shù)和概率密度討論:

與經(jīng)典諧振子的比較量子：在x=0處概率最大經(jīng)典：在x=0處概率最小量子概率分布----經(jīng)典概率分布能量量子化----能量取連續(xù)值例5-13一個被關(guān)閉在一個一維箱子中的粒子的質(zhì)量為m0，箱子的兩個理想反射壁之間的距離為L，若粒子的波函數(shù)是:試由薛定諤方程求出粒子能量的表達(dá)式。其基態(tài)能量為解：該粒子的薛定諤方程為00<x<L§13-9

量子力學(xué)中的氫原子問題+r一氫原子的定態(tài)薛定諤方程氫原子中，電子的勢能函數(shù)：利用球坐標(biāo)采用分離變量法將方程分解為分別與變量r、

、

有關(guān)的三個常微分方程xyzθφ）r電子原核子求解方程時，直接可以得到氫原子的量子化條件二量子化條件和量子數(shù)1能量量子化和主量子數(shù)1）能量是量子化的2）當(dāng)時，En

連續(xù)值主量子數(shù)n2軌道角動量量子化和角量子數(shù)電子繞核運動的軌道角動量必須滿足量子化條件：角(副)量子數(shù)l

3軌道角動量空間量子化和磁量子數(shù)電子繞核運動的軌道角動量L

的方向在空間的取向是量子化的，角動量L

在外磁場方向的投影LZ必須滿足量子化條件：磁量子數(shù)

ml決定角動量方向,對應(yīng)一定的角量子數(shù)l

,ml=2l+1,角動量L在空間有2l+1個不同取向。B(z)m=0m=-1m=-2m=1m=2例：三氫原子中的電子的概率分布電子云：電子概率分布的一種形象化描述ezLz表示電子出現(xiàn)在到區(qū)間內(nèi)的概率。1.電子徑向概率分布o(jì)6010026420a1o204048o204048a220o404820o404820o4048a32.電子角向概率分布

為常數(shù)，概率的角向分布對于z軸具有旋轉(zhuǎn)對稱性。一斯特恩－格拉赫實驗（1921年）§13-10

電子的自旋原子的電子殼層結(jié)構(gòu)

Ns

由電磁學(xué)可知，原子磁矩在非均勻磁場中受到磁力矩及磁力的作用。實驗思想：若原子磁矩的空間取向連續(xù)，在底片上得到連成一片的原子沉積；若原子磁矩的空間取向是量子化的，在底片上得到分立的原子沉積，且為奇數(shù)條(2l+1)。實驗結(jié)果：在底片上沉積的不是奇數(shù)條痕跡，而是兩條！

(基態(tài)銀原子l=0銀原子無論有無磁場應(yīng)該都只有一條！)

電子還應(yīng)具有自旋角動量

設(shè)自旋角量子數(shù)為S自旋角動量與軌道角動量相似，也是量子化

的,自旋磁量子數(shù)S

只能取兩個值2s+1=2二電子的自旋自旋角動量的大小自旋角動量在z軸的分量1925年，烏倫貝克和古茲密特提出：（實驗結(jié)果）氫原子核外電子的狀態(tài)由四個量子數(shù)決定1)

主量子數(shù)n,n=1,2,3,…2)

軌道角量子數(shù)

l,

l=