緒論數(shù)字信號(hào)處理的對(duì)象是數(shù)字信號(hào).數(shù)字信號(hào)處理是采用數(shù)值計(jì)算的方法完成對(duì)信號(hào)的處理.數(shù)字信號(hào)處理的特點(diǎn)靈活性高精度和高穩(wěn)定性便于大規(guī)模集成可以實(shí)現(xiàn)模擬系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的諸多功能第1章時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)掌握常見(jiàn)時(shí)域離散信號(hào)的表示及運(yùn)算。掌握時(shí)域離散系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性、因果性及穩(wěn)定性的含義及判別方法。掌握采樣定理。1.1引言信號(hào)的定義：

載有信息的，隨時(shí)間變化的物理量或物理現(xiàn)象。信號(hào)的分類：

時(shí)域連續(xù)信號(hào)

模擬信號(hào)

時(shí)域離散信號(hào)

數(shù)字信號(hào)系統(tǒng)分類：時(shí)域連續(xù)系統(tǒng)模擬系統(tǒng)時(shí)域離散系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)一．單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)的定義為延時(shí)的單位階躍信號(hào)二．單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)的狄拉克(Dirac)定義從下面三點(diǎn)來(lái)理解沖激信號(hào)(1)除了之外取值處處為零；(2)在處為無(wú)窮大；(3)在包含出現(xiàn)的位置的任意區(qū)間范圍內(nèi)面積為1。二．單位沖激信號(hào)延時(shí)的單位沖激信號(hào)沖激信號(hào)可以由滿足下面條件的一些脈沖信號(hào)極限得到脈沖信號(hào)是偶函數(shù)；脈沖寬度逐漸變小，直至無(wú)窮小；脈沖高度逐漸變大，直至無(wú)窮大；脈沖面積一直保持為1。二、沖激函數(shù)的性質(zhì)（1）抽樣性（2）奇偶性

（3）比例性（4）卷積性質(zhì)三、抽樣信號(hào)(SamplingSignal)

性質(zhì)：①②③④⑤偶函數(shù)四．沖激響應(yīng)1．定義

系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。說(shuō)明:在時(shí)域，對(duì)于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的

激勵(lì)看響應(yīng)，不同，說(shuō)明其系統(tǒng)特性

不同，沖激響應(yīng)可以衡量系統(tǒng)的特性。稱為的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積，記為設(shè)有兩個(gè)函數(shù)，積分五、卷積（Convolution）主要利用卷積來(lái)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。1.2時(shí)域離散信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)（序列）只在離散時(shí)刻給出函數(shù)值，是時(shí)間上不連續(xù)的序列。實(shí)際中遇到的信號(hào)一般是模擬信號(hào)，對(duì)它進(jìn)行等間隔采樣便可以得到時(shí)域離散信號(hào)。假設(shè)模擬信號(hào)為xa(t)，以采樣間隔T對(duì)它進(jìn)行等間隔采樣，得到：注意：n為整數(shù)思考：序列的表示方法有哪些？一、典型序列1．單位采樣序列δ(n)單位采樣序列的作用：表示任意序列例1.寫(xiě)出圖示序列的表達(dá)式2、單位階躍序列u(n)令n-k=m3．矩形序列RN(n)

4．實(shí)指數(shù)序列5．正弦序列6．復(fù)指數(shù)序列7．周期序列定義： 如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N。特殊情況：正弦信號(hào)的周期例2、求下列周期二、序列的運(yùn)算1．加法和乘法

序列之間的加法和乘法，是指同一時(shí)刻的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加和相乘。2．移位

移位序列x(n－n0)，當(dāng)n0>0時(shí),稱為x(n)的延時(shí)序列；當(dāng)n0<0時(shí)，稱為x(n)的超前序列。例3已知x(n)波形，畫(huà)出x(n-2)及x(n+2)波形圖。3.翻轉(zhuǎn)以縱軸為對(duì)稱翻轉(zhuǎn)。例4、已知x(n)波形，畫(huà)出x(-n)的波形圖。4.尺度變換（抽取和零值插入） 抽?。簒(Dn)是x(n)序列每連續(xù)D點(diǎn)取一點(diǎn)形成的序列，D為正整數(shù)。 零值插入：x[(1/C)n]表示把序列的兩個(gè)相鄰抽樣值之間插入C-1個(gè)零值，C為正整數(shù)。例5、已知x(n)波形，畫(huà)出x(2n)及x(n/2)波形圖。思考：x(3n)及x(n/3)呢？5.卷積和定義：計(jì)算方法：（1）圖示法（圖解法）：換元->反轉(zhuǎn)->平移->相乘->求和（2）列表法（3）解析法卷積和性質(zhì)：代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（交換律、結(jié)合律、分配律）延遲性質(zhì)典型信號(hào)的卷積例：求解：1.翻褶.以m=0為對(duì)稱軸，折迭h(m)

得到h(-m)，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘，相加得y(0)；2.位移一個(gè)單元，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘，相加得y(1)；3.重復(fù)步驟2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

x(m)01231/213/2m以m為自變量畫(huà)出x(m),h(m)012m1h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1對(duì)應(yīng)相乘，逐個(gè)相加。-1012345y(n)n1/23/235/23/21.3時(shí)域離散系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)

系統(tǒng)的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即例7、判斷y(n)=ax(n)+b(a和b是常數(shù)）所代表系統(tǒng)的線性性質(zhì)。二、時(shí)不變系統(tǒng)

如果系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的運(yùn)算關(guān)系T［·］在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中不隨時(shí)間變化，或者說(shuō)系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)的響應(yīng)與信號(hào)加于系統(tǒng)的時(shí)間無(wú)關(guān)，則這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)，用公式表示如下：例8、判斷y(n)=nx(n)代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。三、LTI系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系單位脈沖響應(yīng)LTI系統(tǒng)的輸出解釋：LTI系統(tǒng)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)：系統(tǒng)的并聯(lián)：四、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性：當(dāng)且僅當(dāng)信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)時(shí)，才產(chǎn)生響應(yīng)的系統(tǒng)，也稱為不超前響應(yīng)系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件：判斷一個(gè)系統(tǒng)是否為因果，有兩種方法。定義法和充要條件，后者只對(duì)LTI系統(tǒng)有效。

穩(wěn)定性：有界輸入（指幅度有界）

，有界輸出LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和，即例9、設(shè)LTI系統(tǒng)的單位系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。1.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法——線性常系數(shù)差分方程

N階線性常系數(shù)差分方程表示：式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ai和bj均為常數(shù).

線性常系數(shù)差分方程的求解經(jīng)典解法（實(shí)際中很少采用）遞推解法（方法簡(jiǎn)單，但只能得到數(shù)值解，不易直接得到公式解）變換域法（Z域求解，方法簡(jiǎn)便有效）遞推解法例10、設(shè)因果系統(tǒng)用差分方程

y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，輸入x(n)=δ(n)若初始條件y(-1)=0，求輸出序列y(n)。若初始條件改為y(-1)=1，求y(n)例11、設(shè)差分方程如下，求輸出序列y(n)。

非因果系統(tǒng)結(jié)論差分方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進(jìn)行限制。一個(gè)線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性時(shí)不變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。課堂練習(xí)1、以下序列是LTI系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(n)，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。答案（1）非因果、穩(wěn)定（2）非因果、不穩(wěn)定。課堂練習(xí)課堂練習(xí)3、判斷題：一個(gè)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是，單位序列響應(yīng)h(n)是因果序列。答案：錯(cuò)課堂練習(xí)4、將序列x(n)用一組幅度加權(quán)和延遲的沖激序列的和來(lái)表示。

5、判斷下面的序列是否是周期的;若是周期的，確定其周期。

(1)(2)解：（1）因?yàn)棣?

π,所以,這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期T=14。（2）因?yàn)棣?

,所以=16π,這是無(wú)理數(shù)，因此是非周期序列。課堂練習(xí)

6、設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下幾種情況，分別求輸出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)

解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}

（2）{2，2，0，0，-2，-2}課堂練習(xí)頻譜分析：把信號(hào)表示為不同頻率正弦分量或復(fù)指數(shù)分量的加權(quán)和，簡(jiǎn)稱信號(hào)的譜分析。傅立葉分析：用頻譜分析的觀點(diǎn)來(lái)分析系統(tǒng)，或稱為系統(tǒng)的頻域分析。頻域分析法在系統(tǒng)分析中極其重要，主要是因?yàn)椋?1)頻域分析法易推廣到復(fù)頻域分析法，同時(shí)可以將兩者統(tǒng)一起來(lái)；(2)利用信號(hào)頻譜的概念便于說(shuō)明和分析信號(hào)失真、濾波、調(diào)制等許多實(shí)際問(wèn)題，并可獲得清晰的物理概念；(3)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析為離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

(4)簡(jiǎn)化了求解微分方程的過(guò)程傅立葉分析周期信號(hào)，周期為，角頻率該信號(hào)可以展開(kāi)為下式復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)。復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)其中(一)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)式中稱為傅立葉系數(shù)，是復(fù)數(shù)。例：

將圖示周期矩形脈沖信號(hào)展成指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)解：直接代入公式有所以(一)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)1.周期信號(hào)的頻譜為了能既方便又明白地表示一個(gè)信號(hào)中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。(二)周期信號(hào)的頻譜在傅立葉分析中，把各個(gè)分量的幅度隨頻率或角頻率的變化稱為信號(hào)的幅度譜。而把各個(gè)分量的相位隨頻率或角頻率的變化稱為信號(hào)的相位譜。幅度譜和相位譜通稱為信號(hào)的頻譜。三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)頻率為非負(fù)的，對(duì)應(yīng)的頻譜一般稱為單邊譜，指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)頻率為整個(gè)實(shí)軸，所以稱為雙邊譜。頻譜圖：若把相位為零的分量的幅度看作正值，把相位為±π的分量的幅度看作負(fù)值，那么幅度譜和相位譜可合二為一。幅度譜相位譜(二)周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的傅立葉系數(shù)為

對(duì)周期信號(hào)，如果令T趨于無(wú)窮大，則周期信號(hào)將經(jīng)過(guò)無(wú)窮大的間隔才重復(fù)出現(xiàn)，周期信號(hào)因此變?yōu)榉侵芷谛盘?hào).從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換

當(dāng)T增加時(shí)，基波頻率變小、離散譜線變密，頻譜幅度變小，但頻譜的形狀保持不變。在極限情況下，周期T為無(wú)窮大，其譜線間隔與幅度將會(huì)趨于無(wú)窮小。這樣，原來(lái)由許多譜線組成的周期信號(hào)的離散頻譜就會(huì)聯(lián)成一片，形成非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。上兩式稱為傅立葉變換對(duì)，采用下列記號(hào)：傅立葉正變換傅立葉反變換(三)傅立葉變換矩形脈沖信號(hào)典型信號(hào)的傅立葉變換時(shí)域卷積性質(zhì)若則頻域卷積性質(zhì)（四）傅里葉變換的性質(zhì)1.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法采樣定理；采樣前的模擬信號(hào)和采樣后得到的采樣信號(hào)之間的頻譜關(guān)系；

如何由采樣信號(hào)恢復(fù)成原來(lái)的模擬信號(hào)；

實(shí)際中如何將時(shí)域離散信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)。什么是信號(hào)抽樣為什么進(jìn)行信號(hào)抽樣(1)信號(hào)穩(wěn)定性好:

數(shù)據(jù)用二進(jìn)制表示，受外界影響小。(4)系統(tǒng)精度高:

可通過(guò)增加字長(zhǎng)提高系統(tǒng)的精度。(5)系統(tǒng)靈活性強(qiáng):

改變系統(tǒng)的系數(shù)使系統(tǒng)完成不同功能。(2)信號(hào)可靠性高:

存儲(chǔ)無(wú)損耗，傳輸抗干擾。離散信號(hào)與系統(tǒng)的主要優(yōu)點(diǎn)：(3)信號(hào)處理簡(jiǎn)便:

信號(hào)壓縮，信號(hào)編碼，信號(hào)加密等對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣可以看做一個(gè)模擬信號(hào)通過(guò)一個(gè)電子開(kāi)關(guān)S。實(shí)際抽樣電子開(kāi)關(guān)合上時(shí)間τ→0，則形成理想采樣理想抽樣理想采樣設(shè)

對(duì)進(jìn)行傅里葉變換，得到

的傅里葉變換......0Tt理想采樣采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜以Ωs為周期，進(jìn)行周期性延拓而成的，且頻譜幅度為1/T。信號(hào)時(shí)域的離散化導(dǎo)致其頻域的周期化采樣信號(hào)頻譜頻譜混疊采樣信號(hào)的恢復(fù)采樣信號(hào)的恢復(fù)采樣信號(hào)的恢復(fù)

低通濾波器G(jΩ）的單位沖激響應(yīng)g(t)為：采樣信號(hào)的恢復(fù)采樣信號(hào)的恢復(fù)奈奎斯特采樣定理對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號(hào)，采樣信號(hào)的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以采樣頻率Ωs為周期進(jìn)行周期性延拓形成的。設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)屬帶限信號(hào)，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)xa(t)。否則,Ωs<2Ωc會(huì)造成采樣信號(hào)的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無(wú)失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。抽樣定理的工程應(yīng)用許多實(shí)際工程信號(hào)不滿足帶限條件抗混低通濾波器混疊誤差與截?cái)嗾`差比較抽樣定理的工程應(yīng)用重要公式課堂練習(xí)7、設(shè)LTI系統(tǒng)由下面差分方程描述：設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。解：令x(n)=δ(n),則n=0時(shí)，n=1時(shí)，n=2時(shí)，

n=3時(shí)，所以8、數(shù)字信號(hào)是指__________的信號(hào)。

時(shí)間幅度都離散的

9、若用單位序列及其移位加權(quán)和表示x(n)=___________________