長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè).考試結(jié)束后，將答題卡交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷(選擇題)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線(xiàn)的傾斜角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將直線(xiàn)方程化成斜截式，再根據(jù)斜率得到傾斜角.化成斜截式為，所以直線(xiàn)斜率，直線(xiàn)傾斜角，且，則.故選：D.2.已知圓，直線(xiàn)，則圓上到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出與直線(xiàn)平行且與直線(xiàn)的距離為的直線(xiàn)的方程，判斷出圓與兩平行線(xiàn)間的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.設(shè)與直線(xiàn)平行且與直線(xiàn)的距離為的直線(xiàn)的方程為，由平行線(xiàn)間的距離公式可得，解得或，圓的圓心為，半徑為，顯然直線(xiàn)過(guò)圓心，圓心到直線(xiàn)的距離為，所以，直線(xiàn)與圓相交，直線(xiàn)與圓相切，所以，圓上到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：C.3.平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，，為，的交點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求模長(zhǎng).由題意可知：，則，所以.故選：C.4.若方程表示圓，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將方程變形為，根據(jù)方程表示圓，從而得出，即可求出的取值范圍.解：因?yàn)榉匠?，可變形為，因?yàn)榉匠瘫硎緢A，則，解得：或，所以的取值范圍是.故選：C.5.曲線(xiàn)與曲線(xiàn)一定成立的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.焦距相等 C.離心率相等 D.短軸長(zhǎng)相等【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出兩個(gè)橢圓的a、b、c即可判斷求解．曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其中，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)，焦距為，離心率，因?yàn)?，所以，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其中，，，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)，焦距為，離心率故長(zhǎng)軸長(zhǎng)不相等，焦距相等，離心率不相等，短軸長(zhǎng)不相等，故ABD錯(cuò)，B對(duì)；故選：B6.已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，若，則與的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩直線(xiàn)平行，得到的方程，再利用平行直線(xiàn)間的距離公式即可得解.由，所以，則，所以可得，根據(jù)兩平行直線(xiàn)距離公式.故選：B7.已知為直線(xiàn)上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】記點(diǎn)、，可得出，求出點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由對(duì)稱(chēng)性可得，由、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取最小值，即可得解.記點(diǎn)、，則，如下圖所示：設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且直線(xiàn)的斜率為，由題意可得，解得，故原點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由對(duì)稱(chēng)性可知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為線(xiàn)段與直線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：D.8.1970年4月24日，我國(guó)發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國(guó)開(kāi)始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線(xiàn)）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是B.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D.衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小【答案】C【解析】【分析】由題意可得衛(wèi)星向徑是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，可得向徑的最大值最小值，即可判斷A，運(yùn)行速度的意義又是服從面積守恒規(guī)律，即可判斷BD，根據(jù)即可判斷C.由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，所以最小值為，最大值為，所以A正確；根據(jù)在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，故B正確；衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值為越大，則越小，橢圓越圓，故C錯(cuò)誤．因?yàn)檫\(yùn)行速度是變化的，速度的變化，所以衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)向徑越小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑越大，衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線(xiàn)）在相同的時(shí)間，內(nèi)掃過(guò)的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小，故D正確；故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于直線(xiàn)：，下列說(shuō)法正確的是（）A.直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)B.直線(xiàn)斜率可以不存在C.時(shí)直線(xiàn)的傾斜角為D.時(shí)直線(xiàn)在軸上的截距為【答案】AB【解析】【分析】求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷A；當(dāng)時(shí)斜率不存在，即可判斷B；求出直線(xiàn)的斜率，從而得到傾斜角，即可判斷C；求出直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，即可判斷D.對(duì)于A，直線(xiàn)，令，則，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，斜率不存在，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，即，所以直線(xiàn)的斜率為，傾斜角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，令，得，即直線(xiàn)在軸上的截距為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知圓：與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.兩圓的相交弦所在直線(xiàn)方程為B.兩圓的公共弦長(zhǎng)為C.經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)圓的方程為D.P為上任意一點(diǎn)，Q為上任意一點(diǎn)，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，聯(lián)立兩圓方程，求出兩圓的相交弦所在直線(xiàn)方程判斷；對(duì)B，求出圓心到直線(xiàn)的距離，進(jìn)而求得兩圓的公共弦長(zhǎng)判斷；對(duì)C，設(shè)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為，求出代回求得方程判斷；對(duì)D，的最大值為，求出判斷選項(xiàng)D.對(duì)于A，由，得，所以?xún)蓤A的相交弦所在直線(xiàn)方程為，故A正確；對(duì)于B，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，則兩圓公共弦長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為，即，因?yàn)榇藞A過(guò)原點(diǎn)，，解得，所以經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心為，半徑為，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.11.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)就是一條形狀優(yōu)美的曲線(xiàn)，對(duì)于此曲線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的有（）A.曲線(xiàn)圍成的圖形有4條對(duì)稱(chēng)軸B.曲線(xiàn)C圍成的圖形的周長(zhǎng)是C.曲線(xiàn)C上的任意兩點(diǎn)間的距離最大值是D.若是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值可得曲線(xiàn)的四段關(guān)系式，從而作出曲線(xiàn)的圖象，由曲線(xiàn)圖象判斷各選項(xiàng)即可.當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為，所以曲線(xiàn)的圖象如圖所示，對(duì)于A，由圖可知曲線(xiàn)圍成的圖形有4條對(duì)稱(chēng)軸，故A正確；對(duì)于B，曲線(xiàn)由4個(gè)半圓組成，其周長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間最大距離為，故C正確；對(duì)于D，到直線(xiàn)的距離，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，由圓的性質(zhì)得曲線(xiàn)上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小為，故的最小值為，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量垂直坐標(biāo)表示，列式求解作答.由題，，，解得.故答案為：7.13.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線(xiàn)l的一般方程是______.【答案】或【解析】【分析】分截距為0和不為0兩種情況，設(shè)出直線(xiàn)方程，代入得到直線(xiàn)方程.當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，將代入得，解得，故，即；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，將代入得，解得，故直線(xiàn)方程為，即.故答案為：或14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線(xiàn)段為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點(diǎn)A，B，若，則C的離心率的最大值是______．【答案】【解析】【分析】作出輔助線(xiàn)，設(shè)，得到，由橢圓定義和勾股定理得到方程，得到，故，設(shè)，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到，求出離心率的取值范圍，得到最大值.連接，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，由對(duì)稱(chēng)性可知，因?yàn)椋?，即，由橢圓定義可得，由圓的性質(zhì)得⊥，由勾股定理得，所以，即，因?yàn)椋O(shè)，，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)時(shí)，解得，即，解得當(dāng)時(shí)，解得，即，解得，綜上，所以C的離心率的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且；（2）焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)橢圓定義求出，將點(diǎn)代入方程求出得解；（2）待定系數(shù)法去求解即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)橢圓，，，即，將點(diǎn)代入方程，可得，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)橢圓的一般方程為，將點(diǎn)，代入橢圓的方程，得，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線(xiàn)相切.(1)求圓A的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓A相交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)l方程．【答案】（1）（2）或【解析】（1）由題意知到直線(xiàn)的距離為圓半徑，且,所以圓的方程為.（2）記MN中點(diǎn)為Q，則由垂徑定理可知且，在中由勾股定理易知，，設(shè)動(dòng)直線(xiàn)方程為：或，顯然合題意.由到距離為1知，解得,∴或?yàn)樗蠓匠?17.在平面直角坐標(biāo)系中，圓為過(guò)點(diǎn)，，的圓．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀.【答案】（1）；（2），軌跡是以為圓心，半徑為的圓．【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)三點(diǎn)都在圓上，列出方程組，求得的值，即可得到圓的一般方程，然后化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）設(shè)，點(diǎn)，由，求得，根據(jù)圓上運(yùn)動(dòng)，得到，代入，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A為過(guò)點(diǎn)，，，所以，解得滿(mǎn)足，所以，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為.小問(wèn)2詳解】設(shè)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，因?yàn)榈淖鴺?biāo)是，且，所以，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足圓的方程，即，代入得，整理得，點(diǎn)的軌跡方程是，軌跡是以為圓心，半徑為的圓．18.如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)面為長(zhǎng)方形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值；（3）在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線(xiàn)的距離是，若存在求的長(zhǎng)，不存在說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，【解析】【小問(wèn)1詳解】由于，所以，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)N是的中點(diǎn)，連接，則，MA，MB，MN，兩兩相互垂直.以M為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)直線(xiàn)和平面所成角為，則；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，則，過(guò)T作，則，∵，∴，∴，∴或（舍）∴.19.已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓E相交于的P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為.（1）求橢圓E的方程；（2）點(diǎn)M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若，求證：的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）離心率提供一個(gè)等式，是橢圓通徑，通徑長(zhǎng)為，這樣的面積又提供一個(gè)等式，兩者聯(lián)立方程組結(jié)合，可求得得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)，由得，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程并整理，得.應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入可得的關(guān)系，注意，然后由圓錐曲線(xiàn)中的弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng)，求出到直線(xiàn)的距離，求得的面積，化簡(jiǎn)可得為定值，同樣直線(xiàn)的不斜率存在時(shí)，也求得的面積和剛才一樣，即得結(jié)論．（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則①過(guò)橢圓左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線(xiàn)方程為，與橢圓方程聯(lián)立解得，所以，所以②把①代入②，解得又，解得所以E的方程為：（2）設(shè)，因?yàn)椋?，所以，即，即（i）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程并整理，得.則，③所以，整理得，代入③，