高二數(shù)學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊)直線和圓的方程專題強化訓練四：直線和圓的方程解答題必刷題（25道）1．（2021·撫松縣第一中學高二開學考試）已知中，，，．（1）求中平行于邊的中位線所在直線的一般式方程；（2）求邊的中線所在直線的一般式方程．2．（2021·全國高二課時練習）在平面直角坐標系中，設直線，直線，.（1）求證：直線過定點，并求出點的坐標；（2）當時，設直線，的交點為，過作軸的垂線，垂足為，求點到直線的距離，并求的面積.3．（2020·云南省下關第一中學高二月考（理））已知圓：，直線：.（1）證明直線總與圓相交；（2）當直線被圓所截得的弦長為時，求直線的方程.4．（2020·安徽桐城市第八中學高二月考）已知圓C：，直線l：（1）求證：對，直線l與圓C總有兩個交點；（2）設直線l與圓C交于點A，B，若，求直線l的傾斜角；（3）設直線l與圓C交于點A，若定點滿足，求此時直線l的方程．5．（2020·河北武強中學高二月考）已知圓內有一點，過點作直線交圓于、兩點．（1）當經過圓心時，求直線的方程；（2）當弦的長為時，求直線的方程．6．（2021·全國高二單元測試）已知圓，是直線上的動點，過點作圓的切線，切點為.(1)當切線的長度為時，求點的坐標.(2)若的外接圓為圓，試問：當點運動時，圓是否過定點？若過定點，求出所有的定點的坐標；若不過定點，請說明理由.7．（2021·梅河口市第五中學高二開學考試）已知平面直角坐標系上一動點到點的距離是點到點的距離的倍．（1）求點的軌跡方程：（2）若點與點關于點對稱，求、兩點間距離的最大值；（3）若過點的直線與點的軌跡相交于、兩點，，則是否存在直線，使取得最大值，若存在，求出此時的方程，若不存在，請說明理由．8．（2021·江蘇高二專題練習）已知的三個頂點分別為，，．（1）若過的直線將分割為面積相等的兩部分，求b的值；（2）一束光線從點出發(fā)射到BC上的D點，經BC反射后，再經AC反射到x軸上的F點，最后再經x軸反射，反射光線所在直線為l，證明直線l經過一定點，并求出此定點的坐標．9．（2021·江蘇高二專題練習）設直線l的方程為（）（1）求證：不論a為何值，直線l必過一定點；（2）若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點，，當面積為12時，求的周長；（3）已知a為整數(shù)且直線l在兩坐標軸上的截距也均為整數(shù)，求此時直線l的方程．10．（2021·安徽高二期中（文））已知圓：.（1）若圓的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；（2）從圓外一點向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且有，求使最小的點P的坐標.11．（2021·江西新余四中）已知點在圓：上運動，點．（1）若點是線段的中點，求點的軌跡的方程；（2）過原點且不與軸重合的直線與曲線交于，兩點，是否為定值？若是定值，求出該值；否則，請說明理由．12．（2021·山東菏澤·高二期末）已知以點為圓心的圓與______，過點的動直線與圓相交于，兩點、從①直線相切；②與圓關于直線對稱；③圓的公切線長這3個條件中任選一個，補充在上面問題的橫線上并回答下列問題．（1）求圓的方程；（2）當時，求直線的方程．注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.13．（2021·全國高二課時練習）如圖，已知的邊所在直線的方程為，滿足，點在邊所在直線上且滿足.（1）求邊所在直線的方程；（2）求外接圓的方程；14．（2021·江西景德鎮(zhèn)一中高二期末（文））已知直線，的方程為.（1）求證：與相交；（2）若與的交點為、兩點，求的面積最大值.（為坐標原點）15．（2021·北京八中高二期末）已知中，在軸上，點是邊上一動點，點關于的對稱點為.（1）求邊所在直線的方程；（2）當與不重合時，求四邊形的面積；（3）直接寫出的取值范圍.16．（2021·全國高二專題練習）已知圓C與y軸相切，圓心C在射線上，且截直線所得弦長為．（1）求圓C的方程；（2）已知點，直線與圓C交于A、B兩點，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．17．（2021·全國高二專題練習）已知曲線C：表示圓，圓心為C.（1）求圓C的面積的取值范圍；（2）若曲線C與直線交于M?N兩點，且，求實數(shù)m的值.18．（2020·浙江高二期中）已知圓M過，，且圓心M在直線上.（1）求圓M的標準方程；（2）過點的直線m截圓M所得弦長為，求直線m的方程；（3）過直線l:x+y+4=0上任意一點P向圓M作兩條切線，切點分別為C，D.記線段CD的中點為Q，求點Q到直線l的距離的取值范圍.19．（2021·全國高二專題練習）已知直線與圓交于兩點．（1）求出直線恒過定點的坐標（2）求直線的斜率的取值范圍（3）若為坐標原點，直線的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．20．（2020·安徽立人中學高二期中（文））已知圓過點，且與圓關于直線對稱．（1）求圓、圓的方程；（2）過點Q向圓和圓各引一條切線，切點分別為C，D，且，則是否存在一定點M，使得Q到M的距離為定值？若存在，求出M的坐標，并求出的值；若不存在，請說明理由．21．（2021·全國高二課時練習）在平面直角坐標系xOy中，圓O：x2+y2＝64，以O1（9，0）為圓心的圓記為圓O1，已知圓O1上的點與圓O上的點之間距離的最大值為21.（1）求圓O1的標準方程；（2）求過點M（5，5）且與圓O1相切的直線的方程；（3）已知直線l與x軸不垂直，且與圓O，圓O1都相交，記直線l被圓O，圓O1截得的弦長分別為d，d1.若，求證：直線l過定點.22．（2021·全國高二課時練習）（1）已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值．（2）已知實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值與最小值．23．（2020·遼寧高二期中）已知圓與軸負半軸的交點為A，點在直線上，過點作圓的切線，切點為.（1）若，切點，求直線；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.24．（2021·內蒙古包頭·高二期末）已知圓：，是圓內一點，是圓外一點．（1）是圓中過點最長的弦，是圓中過點最短的弦，求四邊形的面積；（2）過點作直線交圓于、兩點，求面積的最大值，并求此時直線的方程．25．（2020·安徽桐城市第八中學高二月考）已知直線l：與圓C：交于A，B兩點，過點的直線m與圓C交于M，N兩點．（1）若直線m垂直平分弦AB，求實數(shù)a的值；（2）若，求以MN為直徑的圓的方程；（3）已知點，在直線SC上為圓心，存在定點異于點，滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點T的坐標及該常數(shù)．參考答案1．（1）；（2）．（1）因為，，，由中點坐標公式可知，線段的中點為，線段的中點為，所以BC邊的中位線所在直線方程為：，整理得：．（2）因為線段的中點為，所以邊的中線所在直線的方程為：，整理得：．2．【詳解】解：（1）∵直線，∴，由，得，∴直線過定點.（2）當時，直線，直線，由，得，即，∴.所以直線的方程為，即，∴點到直線的距離.∵點到直線的距離為32=1，，∴的面積.3．【詳解】解：（1）證明：∵圓：，∴圓心，半徑，∵直線：，整理得：，令，解得：，∴直線過定點，∴，∴定點在圓內，∴直線總與圓相交.（2）∵直線被圓所截得的弦長為，∴圓心到直線的距離，∵直線：，∴，∴，解得或，將或，代入直線：，∴直線的方程：或.4．【詳解】（1）由直線可得：，故直線過定點.因為，故在圓內，所以直線與圓總有兩個不同的交點；（2）因為，故到直線的距離，又圓心到直線的距離為，所以，解得，故直線的斜率為，所以其傾斜角為或；（3）由（1）可得在圓內.設，則，故.設的中點為，則且.設，因為，故，解得，所以，所以，故直線或.5．（1）；（2）或．【詳解】（1）圓心坐標為（1，0），，，整理得．（2）圓的半徑為3，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，整理得，圓心到直線的距離為，解得，代入整理得．當直線的斜率不存在時，直線的方程為，經檢驗符合題意．∴直線的方程為或．6．(1)或；(2)過定點，定點和.【詳解】(1)由題可知圓的圓心為，半徑.設，因為是圓的一條切線，所以.在中，，故.又，所以，解得或.所以點的坐標為或.(2)因為，所以的外接圓圓是以為直徑的圓，且的中點坐標為，所以圓的方程為，即.由，解得或，所以圓過定點和.7．（1）；（2）14；（3）存在；或．【詳解】解：（1）由已知，．，即，（2）設，因為點與點關于點對稱，則點坐標為，點在圓上運動，點的軌跡方程為，即：，；（3）由題意知的斜率一定存在，設直線的斜率為，且，，則：，聯(lián)立方程：，，又直線不點，．點到直線的距離，，，，，當時，取得最大值，此時，，直線得方程為或．8．【詳解】（1）直線BC的方程為：，直線只能與BC、AB相交，其與BC的交點為Q點，由得，，直線與x軸交點為，，由，即，化簡得：，又，，解得：，而，．（2）設，直線AC的方程為：，直線BC的方程為：，設關于直線AC的對稱點為，則，解得，同理可得關于直線BC的對稱點為，則在直線ED上，所以直線ED的斜率為，的斜率為，l方程為，即，過定點．9．【詳解】（1）直線l的方程為（），整理可得：，當時不論a為何值，，即，，可證當不論a為何值，直線恒過定點；（2）時，，即，因為時，直線與x軸無交點，所以，令時，，即，，因為這兩個點分別在x軸正半軸，y軸正半軸，所以，且，所以，所以，當且僅當，即時，面積最小，此時，，所以這時周長為；（3）因為直線l在兩坐標軸上的截距均為整數(shù)，即，都是整數(shù)，而，所以，，0，2，又當，直線過原點也符合題意，所以直線方程分別為：，，，，．10．（1），，；（2）.【詳解】（1）圓：的標準方程為，所以圓心，.設圓的切線在x軸和y軸上的截距分別為a，b，①當時，切線方程可設為，即，由點到直線的距離公式，得.所以切線方程為.②當時，切線方程為，即.由點到直線的距離公式，得，.所以切線方程為，.綜上，所求切線方程為，，.（2）由圓的切線性質可知：，∵，∴.即.整理得.∴.當時，最小，此時，∴.11．（1）；（2）是定值．【詳解】（1）圓的圓心，半徑為4，設的中點為，則，依題意，，所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，即的軌跡的方程為；（2）因過原點且不與軸重合，則可設直線的方程為．由消去并整理得，依題意知，是上述關于x的一元二次方程的兩根，則，，于是有，所以是定值.12．（1）選①②③均有：；（2）或．【詳解】解：選①（1）由直線與圓相切知圓的半徑為點到直線的距離即，所以圓的方程為．（2）記線段的中點為，依據(jù)可得且，，則即點到直線的距離為1，若直線的斜率存在設為，直線：即，所以，解得，直線的方程為．若直線的斜率不存在，直線的方程為，符合題意．綜上直線的方程為或．選②由與圓關于直線對稱知圓的半徑，所以圓的方程為．（2）同上.選③（1）圓的公切線長，設圓的半徑為則，解得，或，舍去．所以圓的方程為．（2）同上．13．（1）；（2）.【詳解】（1）由，可得，又由在上，所以，所以為，因為邊所在直線的方程為，斜率為,所以直線的斜率為，又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為，即.（2）由（1）邊所在直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，因為，所以為斜邊上的中點，即為外接圓的圓心，又由，所以外接圓的方程為.14．解：（1）由題知直線，的標準方程為，所以直線過定點，為圓的圓心，所以直線過的圓心，故與相交；（2）由（1）知直線過圓的圓心，的半徑為，所以，所以當?shù)街本€的距離最大時，的面積取最大值，故當直線與直線垂直時，到直線的距離最大，最大值為，所以的面積最大值為15．（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）設，因為，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以邊所在直線的方程為：，即；（2）因為點關于的對稱點為，且在上，所以到所在直線的距離等于到所在直線的距離，又因為有公共底邊，所以四邊形，又因為到所在直線的距離為，，所以；（3）的取值范圍是.(理由供參考：設，因為關于的對稱點為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以16．（1）；（2）．【詳解】（1）設圓C的方程為圓心C在射線上，所以圓C與y軸相切，則點到直線的距離，由于截直線所得弦長為，所以則得，又所以(舍去)，故圓C的方程為；（2）由（1）得，因為，所以在線段的中垂線上，則，因為，所以解得17．（1）（2）【詳解】（1）因為曲線C：表示圓，所以，解得，所以圓的半徑，所以圓C的面積.（2）因為圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，因為，所以，所以，解得，滿足.18．【詳解】（1）圓心在直線上，設圓的標準方程為：，圓過點，，，解得圓的標準方程為.（2）①當斜率不存在時，直線m的方程為：，直線m截圓M所得弦長為，符合題意；②當斜率存在時，設直線m：，圓心M到直線m的距離為根據(jù)垂徑定理可得，，，解得．直線m的方程為，或.（3）設，則切點弦所在的直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，根據(jù)點到直線距離公式可得，．19．（1）；（2）；（3）為定值.【詳解】（1）將直線方程整理為：，令，解得：，直線恒過定點；（2）設直線斜率為，由（1）可知：直線方程可設為：，即；圓方程可整理為，則其圓心，半徑，直線與圓交于兩點，圓心到直線距離，即，解得：，即直線斜率的取值范圍為；（3）設，當時，與圓僅有一個交點，不合題意，，則直線，可設直線方程為，由得：，由（2）知：；，，，為定值.20．【詳解】（1）設圓的圓心，因為圓與圓關于直線對稱，可得，解得，設圓的方程為，將點，代入可得，所以圓的方程為，圓的方程為．（2）由，根據(jù)切線長公式，可得，設，則，化簡得，所以存在定點使得Q到M的距離為定值．21．【詳解】解：（1）由題設得圓O1的半徑為4，∴圓O1的標準方程為（x﹣9）2+y2＝16；（2）①當切線的斜率不存在時，直線方程為x＝5符合題意；②當切線的斜率存在時，設直線方程為y﹣5＝k（x﹣5），即kx﹣y+（5﹣5k）＝0，∵直線和圓相切，∴，解得，從而切線方程為y.故切線方程為y或x＝5；證明：（3）設直線l的方程為y＝kx+m，則圓心O，圓心O1到直線l的距離分別為：h，，從而d，.由2，得，整理得m2＝4（9k+m）2，故m＝±2（9k+m），即18k+m＝0或6k+m＝0，∴直線l為y＝kx﹣18k或y＝kx﹣6k，因此直線l過點定點（18，0）或直線l過定點（6，0）.22．（1）最小值為11，最大值為51；（2）最大值是－2＋，最小值為－2－.【詳解】解：(1)圓方程化為(x－3)2＋(y－3)2＝4，圓心C(3，3)，半徑r＝2.x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示圓上點P(x，