一

、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性二

、

函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三

、

正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四

、周期為2

l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)傅里葉級數(shù)第四章一

、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運(yùn)動(dòng)

:

(諧波函數(shù))(A為振幅,

為角頻率為初相)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)

:令

得函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束

(諧波迭加)定理1.組成三角級數(shù)的函數(shù)系1sinx,cos2x,sic,simw--正交,即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在 上的積分等于0.證:cosnxdxsic=0(n=1,2,…)=J2[cos(k+n)x+cos(k-n)xdx=0

(k≠n)同理可證

:(k≠n)目錄上頁下頁返回結(jié)束但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在上的積分不等于0.且有(n=1,2,…)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理2.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且證

:

由定理?xiàng)l件,對①在逐項(xiàng)積分,得右端級數(shù)可逐項(xiàng)積分,則有①②目錄上頁下頁返回結(jié)束 (利用正交性).(k=1,2,…)類似地,用sinkx乘①式兩邊,再逐項(xiàng)積分可得目錄上頁下頁返回結(jié)束由公式②確定的

稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)

;

以f(x)

的傅里

葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為f(x)

的傅里葉級數(shù).①②目錄上頁下頁返回結(jié)束簡介定理3

(收斂定理,展開定理)設(shè)f(x)是周期為2

的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件

:1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)

;2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有注意

:

函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)

的條件低得多.其中

為f(x)的傅里葉系數(shù)(.證明略

)簡介目錄上頁x為連續(xù)點(diǎn)x為間斷點(diǎn)下頁返回結(jié)束=0(n=0,1,2,…)目錄上頁下頁返回結(jié)束將f(x)展成傅里葉級數(shù).解

:先求傅里葉系數(shù)例1.設(shè)f(x)是周期為2上的表達(dá)式為的周期函

當(dāng)n=2,4,6,…目錄上頁下頁返回結(jié)束時(shí),級數(shù)收斂于

2)

傅氏級數(shù)的部分和逼近f

(x)的情況見右圖.說明

:1)

根據(jù)收斂定理可知,目錄上頁下頁返回結(jié)束上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).的周期函

例2.設(shè)f(x)是周期為2目錄上頁下頁返回結(jié)束解

:f(x)=

sin

+(

cos3x+

sin3x)+(cos5x+

sin5x)說明

:

當(dāng)時(shí),級數(shù)收斂于目錄上頁下頁返回結(jié)束(n=1,2…)定義在[–,

]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法

上的傅里葉級數(shù)傅里葉展開周期延拓f(x-2kπ)

其它F(x)=目錄上頁下頁返回結(jié)束解

:將f(x)延拓成以2

為周期的函數(shù)F(x

,例3.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).目錄上頁下頁返回結(jié)束說明

:

利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級數(shù)的和.當(dāng)x=

0時(shí),

f(0)=0,得0,n=2k(k=1,2,…)目錄上頁下頁返回結(jié)束an已知上頁下頁返回結(jié)束又設(shè)目錄三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理4.對周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)正級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為周期為2

的偶函數(shù)f

(x)

,

其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在的表達(dá)式為f(x),f(x)展成傅里葉級數(shù).解:若不計(jì)x=(2k+)rk=0,±I,±2…),則f(x)是周期為2

的奇函數(shù),因此目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)收斂定理可得

f

(x)的正弦級數(shù)

:f(x)=

—級數(shù)的部分和

n=

逼近

f

(x)的情況見右圖.目錄上頁下頁返回結(jié)束F(x)=

周期延拓F

(x)f

(x)

在

[0,

]上展成正弦級數(shù)F(x)=

周期延拓F

(x)f

(x)

在

[0,

]上展成余弦級數(shù)2.定義在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)f(x),x∈(0,]偶延拓奇延拓目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解:先求正弦級數(shù).去掉端點(diǎn),將f(x)作奇周期延拓,(k=1,2,…)n＝

2kn＝

2k-1目錄上頁下頁返回結(jié)束注意

:

在端點(diǎn)

x=0,

,級數(shù)的和為0與,給定函數(shù)f

(x)=

x+1的值不同.bn=

因此得(k=1,2,…)目錄上頁下頁返回結(jié)束再求余弦級數(shù).將O0=an＝作偶周期延拓,則有0,n=2k(k=1,2,…)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明

:令

x=0可得目錄上頁下頁返回結(jié)束即四

、周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)周期為2l的函數(shù)

f

(x)變量代換"周期為2

的函數(shù)F(z)將F(z)作傅氏展開f

(x)的傅氏展開式目錄上頁下頁返回結(jié)束定理.設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件則它的傅里葉級數(shù)展開式為(在

f

(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中(n=0,1,2,…)(n=1,2,…)目錄上頁下頁返回結(jié)束an

＝說明

:

如果

f

(x)為奇函數(shù),

則有

(在

f

(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中

如果

f

(x)為偶函數(shù),

則有

(在

f

(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中

3》注

:無論哪種情況,在

f

(x)的間斷點(diǎn)

x處,傅里葉級

都收斂于

數(shù)

目錄上頁下頁返回結(jié)束0例6.把展開成數(shù)收斂于何值?解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有an=0(n=0,1,2,…)(1)

正弦級數(shù)

;

(2)

余弦級數(shù)在

x=

2

k處級(0<x<

2)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)將

作偶周期延拓,

則有

=2bn=0(n=1,2,…)n＝

2k-1目錄上頁下頁返回結(jié)束傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性文獻(xiàn),書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.目錄上頁下頁返回結(jié)束狄