內(nèi)蒙古呼市二中2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．42．復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A． B．的共軛復(fù)數(shù)為C．的實部與虛部之和為1 D．在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第一象限3．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．104．已知雙曲線：（，）的焦距為.點為雙曲線的右頂點，若點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．35．復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i6．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．7．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．8．若（），，則（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．19．已知實數(shù)，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．810．從集合中隨機選取一個數(shù)記為，從集合中隨機選取一個數(shù)記為，則在方程表示雙曲線的條件下，方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率為（）A． B． C． D．11．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點為陰數(shù)．如圖，若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù)，則其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．12．若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D．函數(shù)在上最大值是1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的極大值為________.14．一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則容器體積的最小值為_________.15．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的前n項和______．16．設(shè)雙曲線的左焦點為，過點且傾斜角為45°的直線與雙曲線的兩條漸近線順次交于，兩點若，則的離心率為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分別是AB，A1C的中點.（1）求證：直線MN⊥平面ACB1；（2）求點C1到平面B1MC的距離.18．（12分）在中，，是邊上一點，且，.（1）求的長；（2）若的面積為14，求的長.19．（12分）如圖，內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，平面ABC，，．（1）求證：平面ACD；（2）設(shè)，表示三棱錐B-ACE的體積，求函數(shù)的解析式及最大值．20．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角CBFD的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．21．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．22．（10分）已知定點，，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線。（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，是否存在定點，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標；若不存在，請說明理由。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.2、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算，求得，在根據(jù)復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，則，的共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第一象限，故選D．【點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為．3、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為，所以，，故選：C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.4、A【解析】

由點到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎(chǔ)．5、B【解析】分析：化簡已知復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得．詳解：化簡可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B．點睛：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題．6、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為，所以為上的偶函數(shù)，因為函數(shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為，所以，且，解得.故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，排除B和C；當時，，排除A.故選：D.【點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.8、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的模的運算列方程，解方程求得的值.【詳解】由于（），，所以，解得或.故選：A【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”，分別計算出，再利用公式計算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”，由題意，，，則所求的概率為.故選：A.【點睛】本題考查利用定義計算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.11、A【解析】

基本事件總數(shù)，利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個，由此能求出其和等于11的概率．【詳解】解：從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù)，基本事件總數(shù)，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4個，其和等于的概率．故選：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點對稱，錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當時，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當時，，關(guān)于點對稱，錯誤；當時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，得.所以當時，；當時，.所以當時，函數(shù)有極大值.故答案為：.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長方體的體對角線的長,長方體的體對角線的長為,所以容器體積的最小值為.15、【解析】

,求得的通項，進而求得,得通項公式，利用等比數(shù)列求和即可.【詳解】由題為等差數(shù)列，∴,∴,∴,∴,故答案為【點睛】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項，等比數(shù)列求和，熟記等差等比性質(zhì)，熟練運算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得到A點坐標，由得，，代入可得，即得解.【詳解】由題意，直線的方程為，與聯(lián)立得，，由得，，從而，即，從而離心率．故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析.（2）【解析】

（1）連接AC1，BC1，結(jié)合中位線定理可證MN∥BC1，再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求證直線MN⊥平面ACB1；（2）作交于點，通過等體積法，設(shè)C1到平面B1CM的距離為h，則有，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】（1）證明：連接AC1，BC1，則N∈AC1且N為AC1的中點；∵M是AB的中點.所以：MN∥BC1；∵A1A⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴A1A⊥AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，∴AC⊥CC1，∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC?平面BB1C1C，CC1?平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，∴AC⊥BC1；又MN∥BC1∴AC⊥MN，∵CB＝C1C＝1，∴四邊形BB1C1C正方形，∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C，而AC∩B1C＝C，且AC?平面ACB1，CB1?平面ACB1，∴MN⊥平面ACB1，（2）作交于點，設(shè)C1到平面B1CM的距離為h，因為MP，所以?MP，因為CM，B1C；B1M，所以所以：CM?B1M.因為，所以，解得所以點，到平面的距離為【點睛】本題主要考查面面垂直的證明以及點到平面的距離，一般證明面面垂直都用線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，而點到面的距離常用體積轉(zhuǎn)化來求，屬于中檔題18、（1）1；（2）5.【解析】

（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構(gòu)建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理構(gòu)建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC，最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】（1）據(jù)題意，，且，所以.所以.在中，據(jù)正弦定理可知，，所以.（2）在中，據(jù)正弦定理可知，所以.因為的面積為14，所以，即，得.在中，據(jù)余弦定理可知，，所以.【點睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形，還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡求值，屬于簡單題.19、（1）見解析（2），最大值．【解析】

（1）先證明，，故平面ADC．由，即得證；（2）可證明平面ABC，結(jié)合條件表示出，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴，．∵平面ABC，平面ABC，∴．∵AB是圓O的直徑，∴，且，平面ADC，∴平面ADC．∵，∴平面ADC．（2）解∵平面ABC，，∴平面ABC．在中，，．在中，∵，∴，∴，∴．∵，當且僅當，即時取等號，∴當時，體積有最大值．【點睛】本題考查了線面垂直的證明和三棱錐的體積，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）【解析】分析：(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應(yīng)用常規(guī)法，作出線面角，放在三角形當中來求解.詳解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根據(jù)勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.又因為DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.又因為BDDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，∴平面ADE⊥平面BDEF，（Ⅱ）方法一：如圖，由已知可得，，則，則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.則.過點C做，交DB、AB于點G，H，則點G為點F在面ABCD上的投影.連接FG，則，DE⊥平面ABCD，則平面.過G做于點I，則BF平面，即角為二面角CBFD的平面角，則60°.則，，則.在直角梯形BDEF中，G為BD中點，，，，設(shè)，則，，則.，則，即CF與平面ABCD所成角的正弦值為．（Ⅱ）方法二：可知DA、DB、DE兩兩垂直，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.設(shè)DE＝h，則D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.設(shè)平面BCF的法向量為m＝(x，y，z)，則所以取x=