第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市寶山中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中，，、、所對的邊分別為a、b、c，下列等式成立的是(

)A. B. C. D.2.已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且，那么下列等式不成立的是(

)A. B. C. D.3.在中，點(diǎn)D、E分別在邊BA、CA的延長線上如圖，下列四個(gè)選項(xiàng)中，能判定的是(

)A.

B.

C.

D.4.下列說法中，錯(cuò)誤的是(

)A.長度為1的向量叫做單位向量

B.如果，且，那么的方向與的方向相同

C.如果是一個(gè)單位向量，是非零向量，

D.如果，其中是非零向量，那么5.已知一次函數(shù)和二次函數(shù)部分自變量與對應(yīng)的函數(shù)值如下表x……0245…………01356…………0059……當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是(

)A. B. C.或 D.或6.如圖，在中，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PM、PN、MN、以下是甲、乙兩位同學(xué)得到的研究結(jié)果：

甲當(dāng)M為AC中點(diǎn)時(shí)，為等邊三角形；

乙為等邊三角形.

對于甲、乙兩位同學(xué)的結(jié)論，下列判斷正確的是(

)A.甲正確乙錯(cuò)誤 B.甲錯(cuò)誤乙正確 C.甲、乙皆正確 D.甲、乙皆錯(cuò)誤二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。7.已知線段，，如果b是a、c的比例中項(xiàng)，那么線段c等于______8.如果兩個(gè)相似三角形的周長比為1：2，那么它們的對應(yīng)中線的比為______.9.在銳角中，銳角A的正切值是，如果將這個(gè)三角形三邊的長都擴(kuò)大為原來的2倍，那么銳角A的余弦值是______.10.如圖，，它們依次交直線、于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、如果，，那么的值是______.

11.已知一斜坡的坡度為1：，則斜坡的坡角為______度．12.如果拋物線在對稱軸的左側(cè)，y的值隨x的增大而增大，那么a的取值范圍是______.13.如圖，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，且若的面積是，那么的面積是______

14.如果拋物線向右平移一個(gè)單位后，頂點(diǎn)落在拋物線上，那么a的值等于______.15.如圖，中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE與CD交于點(diǎn)若，那么CD：BC的值是______.16.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在小正方形頂點(diǎn)的位置上，我們稱這樣的四邊形叫做“格點(diǎn)四邊形”.聯(lián)結(jié)AC、BD相交于點(diǎn)O，那么的面積等于______.

17.梯形ABCD中，，，，AC、BD相交于點(diǎn)O，，過點(diǎn)D作，交AC于點(diǎn)若是直角三角形，那么______.18.如圖，中，，，把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角小于點(diǎn)A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是、，射線與交于點(diǎn)E，若，則______.

三、解答題：本題共7小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題10分

計(jì)算：20.本小題10分

如圖，在梯形ABCD中，，E是CD的中點(diǎn)，且與BE交于點(diǎn)

若，請用來表示、；

在原圖中直接在圖中作出在方向上的分向量不要求寫作法，但要寫出所作圖中表示結(jié)論的向量21.本小題10分

如圖，已知在梯形ABCD中，，，，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，，

求AO：CO的值；

求的正切值.22.本小題10分

如圖是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖，燈柱BC的高為米，燈柱BC與燈桿AB的夾角為，路燈采用錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域DE的長為米，從D、E兩處測得路燈A的仰角分別為和，且，求燈桿AB的長度.23.本小題12分

如圖，中，，D是斜邊AB上的中點(diǎn)，E是邊BC上的點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，且

求證：；

聯(lián)結(jié)BF，如果點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，求證：24.本小題12分

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)在B左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)聯(lián)結(jié)CB交對稱軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

聯(lián)結(jié)AC、CD，若

①求拋物線解析式；

②線段BC上一點(diǎn)F，，聯(lián)結(jié)FD，求

平移拋物線，使新拋物線頂點(diǎn)在射線CD上，新拋物線與y軸交于點(diǎn)若平分，且，求新拋物線的解析式.25.本小題14分

中，，D、E分別在AB、AC上，，聯(lián)結(jié)DC，作交DC于M，交BC于N，EN交DC于

如圖1，，，

①求的正弦值；

②若DM：：18，求DM；

如圖2，，聯(lián)結(jié)MN，若四邊形MNCE為梯形，請直接寫出DM的長.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：在中，，、、所對的邊分別為a、b、c，

，，，，

即，，，，

故選：

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．

本題考查銳角三角函數(shù)，理解銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．2.【答案】B

【解析】解：點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且，

，

，

故A，C，D都不符合題意；

，

故B符合題意；

故選：

根據(jù)黃金分割的定義，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．

本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．3.【答案】A

【解析】解：當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)正確；

時(shí)，，B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

時(shí)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：

根據(jù)平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理判斷即可．

本題考查的是平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理，掌握相關(guān)的判定定理是解題的關(guān)鍵．4.【答案】C

【解析】解：A、長度為1的向量叫做單位向量，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)且時(shí)，那么的方向與的方向相同，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、如果是一個(gè)單位向量，是非零向量，或，故本選項(xiàng)符合題意；

D、如果，，其中是非零向量，那么向量a與向量b共線，即，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：

由平面向量的性質(zhì)來判斷選項(xiàng)的正誤．

此題考查了平面向量的性質(zhì)．題目比較簡單，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．5.【答案】D

【解析】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

直線與拋物線的交點(diǎn)為和，

而時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是或

故選：

利用表中數(shù)據(jù)得到直線與拋物線的交點(diǎn)為和，時(shí)，，從而得到當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍．

本題考查了二次函數(shù)與不等式：對于二次函數(shù)、b、c是常數(shù)，與不等式的關(guān)系，利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．6.【答案】C

【解析】解：當(dāng)M為AC中點(diǎn)時(shí)，

于點(diǎn)M，

垂直平分AC，

，

，

為等邊三角形，

故甲正確，符合題意；

，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，

，

在中，，

點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，，，

，

，，

，

，

是等邊三角形，

故乙正確，符合題意；

故選：

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出，再根據(jù)“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”可判斷甲；

先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出，從而得到，又由①得，根據(jù)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形可判斷乙．

本題主要考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識(shí)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.【答案】3

【解析】解：線段，，線段c是a、b的比例中項(xiàng)，

，

，

故答案為：

根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可求解．

此題考查了比例線段；理解比例中項(xiàng)的概念，這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．8.【答案】1：2

【解析】解：兩個(gè)相似三角形的周長比為1：2，

兩個(gè)相似三角形的相似比為1：2，

對應(yīng)中線的比為1：2，

故答案為：1：

根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比可求得其相似比，再根據(jù)對應(yīng)中線的比等于相似比可得到答案．

本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比、對應(yīng)中線比等于相似比是解題的關(guān)鍵．9.【答案】

【解析】解：將這個(gè)三角形三邊的長都擴(kuò)大為原來的2倍，

變化后的三角形與原來的三角形相似，

變化前后的是相等的，

設(shè)銳角A所對的直角邊為3a，鄰邊為4a，

則銳角A所在直角三角形的斜邊為，

銳角A的余弦值是，

故答案為：

根據(jù)題意可知，變化前后的三角形相似，然后可以得到的度數(shù)不變，從可以求得銳角A的余弦值．

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確變化前后的大小不變．10.【答案】

【解析】解：，，

，

，

，

故答案為：

根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算得到答案．

本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11.【答案】30

【解析】解：設(shè)坡角為，由題意知：，

即斜坡的坡角為

坡度=坡角的正切值，以此求出坡角的度數(shù)．

此題考查的是坡度和坡角的關(guān)系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．12.【答案】

【解析】解：在拋物線的對稱軸的左側(cè)，y的值隨x的增大而增大，

拋物線對稱軸左側(cè)的圖象呈上升趨勢，

拋物線的開口向下，

，

，

故答案為：

由拋物線開口向下時(shí)，對稱軸左側(cè)y的值隨x的增大而增大，可得，進(jìn)而求解得到結(jié)果．

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．13.【答案】4

【解析】解：，，

，

∽，

，

的面積是，

，

同理，，

，

，

，

，

的面積，

故答案為：

根據(jù)平行線分線段成比例定理逆定理求出，則∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，同理求出，根據(jù)等高的三角形面積比等于對應(yīng)底的比求出，再根據(jù)的面積求解即可．

此題考查了三角形面積、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.【答案】2

【解析】解：由題意，拋物線：向右平移一個(gè)單位，

新拋物線為

其頂點(diǎn)為

又新拋物線的頂點(diǎn)落在拋物線上，

故答案為：

依據(jù)題意，由拋物線：向右平移一個(gè)單位可得，新拋物線為，進(jìn)而頂點(diǎn)為，再代入到拋物線的解析式上，進(jìn)而計(jì)算可以得解．

本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)要熟練掌握并能將求出平移后拋物線的頂點(diǎn)是關(guān)鍵．15.【答案】

【解析】解：如圖所示，連接DE，

點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

為的中位線，

，，

∽

設(shè)，則，，

，，

又，

，

又，

∽

，

，

即，

，

，

故答案為：

連接DE，可得DE為的中位線，從而，再證明∽，設(shè)，則，，證明∽，

，即，，，從而可得結(jié)果．

本題考查了三角形中位線性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．16.【答案】

【解析】解：如圖所示，取格點(diǎn)E，連接CE，

可得，，

∽，

則，故BO為的中線，

由中線性質(zhì)可得：

故答案為：

取格點(diǎn)E，連接CE，證明∽，進(jìn)而可得BO為的中線，即可由中線性質(zhì)求解面積．

此題考查了網(wǎng)線中求三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，中線的性質(zhì)，熟練掌握以上內(nèi)容是解題關(guān)鍵．17.【答案】8

【解析】解：作于N，如圖所示：

，

，

為等腰直角三角形，

，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

，

，

在中，由勾股定理得，

在中，，

，，

，

，

，

，，

當(dāng)為直角三角形時(shí)，只有，

，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

，

∽，

：：OC，

：：，

故答案為：

作于N，證明為等腰直角三角形得根據(jù)得，則，進(jìn)而得，由此得，，再由勾股定理分別求出，，由此可根據(jù)勾股定理逆定理判定，則，，因此當(dāng)為直角三角形時(shí)，只有，再由三角形的面積公式求出，則，，然后證明∽，利用相似三角形性質(zhì)可得出AD的長．

此題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，理解梯形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．18.【答案】

【解析】解：在中，，，，

由勾股定理得：，

設(shè)旋轉(zhuǎn)角，

，且，

點(diǎn)，均在BC的上方，如圖所示：

則，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，，，

，

，

，

，

，

，

，

四邊形為平行四邊形，，

，，，，

在和中，

，

≌，

，，

，

，，

∽，

：：BC，

：：6，

，

故答案為：

先求出，設(shè)旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)，且得點(diǎn)，均在BC的上方，，再由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，證明四邊形為平行四邊形得，，，再證明和全等得，，則，然后證明和相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而可得出的長度．

此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．19.【答案】解：

【解析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：，，

是CD的中點(diǎn)，

，

，

，

，

如圖，過點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)T，

則，即為所求．

【解析】利用平行向量的性質(zhì)以及三角形法則求解即可．

利用平行四邊形法則畫出圖形即可．

本題考查作圖-復(fù)雜作圖、梯形、平面向量，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則、平行四邊形法則，屬于中考?？碱}型．21.【答案】解：如圖，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，則四邊形ABED為矩形，

，，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

∽，

，

故AO：：

過點(diǎn)A作CD垂線，垂足為F，

在中，由勾股定理得：

，

在中，由勾股定理得：，

【解析】過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，則四邊形ABED為矩形，利用相似三角形可得結(jié)果；

過點(diǎn)A作CD垂線，垂足為F，利用面積法求出垂線段AF的長，再求出CF長，即可得到的正切值．

本題考查解直角三角形，構(gòu)造出合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：過點(diǎn)A作，交CE于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作，交AF于點(diǎn)G，則米．

由題意得，

設(shè)米．

，

米．

在中，，

，

米，

，

米

，

米，

答：燈桿AB的長度為米．

【解析】過點(diǎn)A作，交CE于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作，交AF于點(diǎn)G，則設(shè)米，知米、米，由米求得，據(jù)此知米，再求得可得米．

本題主要考查解直角三角形-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意構(gòu)建直角三角形并熟練掌握三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用能力．23.【答案】證明：，

又，

∽，

點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

，

，

，

，

；

如圖，

，

，

又，

∽，

，

點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

，

，

∽，

，

，

，

，

【解析】先根據(jù)題意得出∽，再由直角三角形的性質(zhì)得出，由可得出，進(jìn)而可得出；

根據(jù)可得出，，故可得出∽，再由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)可知，故，根據(jù)得出∽，推導(dǎo)出，利用，推導(dǎo)出即可．

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．24.【答案】解：①令，則，

，

軸，

，

又，

，

點(diǎn)，

把點(diǎn)代入中，

得：，

，

拋物線的解析式為：

②令，則，解得：，，

點(diǎn)，，

如圖1所示，

在中，

，，

∽，

，

則

過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，則為等腰直角三角形，

，

，

，對稱軸為直線，

，

如圖1，作FM垂直于直線于點(diǎn)M，

，

如圖2所示，

平分，

，

軸，

，

，

又，

為的中點(diǎn)，

對拋物線配方得：，

可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，

設(shè)，因?yàn)?，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

，，

故

新拋物線解析式為：

，

令，則

，則

，

又，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式有：

，

即

，

，

，，

，解得：，

新拋物線解析式為：

【解析】①根據(jù)拋物線，可求出點(diǎn)，再得到，利用待定系數(shù)法即可求解；

②先求出點(diǎn)，，再求得BC的長，證明∽，得到

，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，作對稱軸于點(diǎn)M，求得

，即可求解；

先得到D為中點(diǎn)，則

，設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得

，則新拋物線解析式為：，令，則

，求得

，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式得，根效

，即可示解．

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)的平移，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．25.【答案】解：如圖，分別過D、E作BC的垂線，垂足為G、F，