二重積分的概念及性質一、二重積分的定義二、二重積分的性質

一、二重積分的概念解分三步解決這個問題.例1

質量問題.已知平面薄板D的面密度(即單位面積的質量)

隨點(x,y)的變化而連續(xù)變化,求D的質量.分割將D用兩組曲線任意分割成n個小塊:其中任意兩小塊和除邊界外無公共點.與一元函數(shù)的情況類似，我們用符號既表示第i個小塊，也表示第i個小塊的面.(i=1,2,…,n).故所要求的質量m的近似值為近似、求和若記為的直徑(即表示中任意兩點間距離的最大值)，將任意一點處的密度近似看作為整個小塊的面密度.得取極限記，則定義為所求薄板D的質量m.例2

曲頂柱體的體積.

若有一個柱體，它的底是Oxy平面上的閉區(qū)域D，它的側面是以D的邊界曲線為準線，且母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y)，設f(x,y)≥0為D上的連續(xù)函數(shù).我們稱這個柱體為曲頂柱體.現(xiàn)在來求這個曲頂柱體的體積.解也分三步解決這個問題.分割區(qū)域D用兩組曲線任意分割成n個小塊:其中任意兩小塊和除邊界外無公共點.其中既表示第i個小塊，也表示第i個小塊的面積.近似、求和記為的直徑(即表示中任意兩點間距離的最大值)，在中任取一點,以為高而底為的平頂柱體體積為此為小曲頂柱體體積的近似值，故曲頂柱體的近似值可以取為取極限若記，則定義為所討論的曲頂柱體的體積.定義1

設f(x,y)在閉區(qū)域D上有定義且有界.分割用任意兩組曲線分割D成n個小塊其中任意兩小塊和除邊界外無公共點，既表示第i小塊，也表示第i小塊的面積.近似、求和對任意點，作和式取極限若為的直徑，記,若極限存在，且它不依賴于區(qū)域D的分法，也不依賴于點的取法，稱此極限為f(x,y)在D上的二重積分.記為(2)稱f(x,y)為被積函數(shù)，D為積分區(qū)域，x，y為積分變元，為面積微元(或面積元素).

由這個定義可知，質量非均勻分布的薄板D的質量等于其面密度在D上的二重積分.因此二重積分的物理意義可以解釋為：二重積分的值等于面密度為f(x,y)的平面薄板D的質量.二重積分的幾何意義：(二重積分的1)若在D上f(x,y)≥0，則表示以區(qū)域D為底，以f(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積.(2)若在D上f(x,y)≤0，則上述曲頂柱體在Oxy面的下方，二重積分的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積.(3)若f(x,y)在D的某些子區(qū)域上為正的，在D的另一些子區(qū)域上為負的，則表示在這些子區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和(即在Oxy平面之上的曲頂柱體體積減去Oxy平面之下的曲頂柱體的體積).二重積分的存在定理若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上的二重積分必存在(即f(x,y)在D上必可積).

二、二重積分的性質

二重積分有與定積分類似的性質.假設下面各性質中所涉及的函數(shù)f(x,y)，g(x,y)在區(qū)域D上都是可積的.

性質1

有限個可積函數(shù)的代數(shù)和必定可積，且函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即性質2

被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號前面，即

性質3

若D可以分為兩個區(qū)域D1，D2，它們除邊界外無公共點，則性質4

若在積分區(qū)域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示區(qū)域D的面積，則性質5

若在D上處處有f(x,y)≤g(x,y)，則有推論性質6(估值定理)

若在D上處處有m≤f(x,y)≤M，且S(D)為區(qū)域D的面積，則(3)

性質7(二重積分中值定理)

設f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上存在一點，使(4)證由f(x,y)在D上連續(xù)知，f(x,y)在D上能達到其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有成立.再由有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在，使(5)(5)式的等號右邊的式子稱為函數(shù)f(x,y)在D上平均值.因而，積分中值定理又可以這樣說：“對有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)f(x,y)，必在D上存在一個點使取f(x,y)在D上的平均值”.故積分中值定理也是連續(xù)函數(shù)的平均值