專題06矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定壓軸題九種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用矩形的性質(zhì)求角度】 1【考點二利用矩形的性質(zhì)求線段長】 3【考點三矩形的性質(zhì)與判定綜合問題】 6【考點四利用菱形的性質(zhì)求角度】 10【考點五利用菱形的性質(zhì)求線段長】 11【考點六菱形的性質(zhì)與判定綜合問題】 14【考點七利用正方形的性質(zhì)求角度】 18【考點八利用正方形的性質(zhì)求線段長】 20【考點九正方形的性質(zhì)與判定綜合問題】 23【過關(guān)檢測】 31【典型例題】【考點一利用矩形的性質(zhì)求角度】例題：（2023上·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，交于點O，于點E，∠AOD=125°，則的度數(shù)為【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山西運城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，平分，則的度數(shù)為．

2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）矩形的對角線，相交于點，點在矩形邊上，連接．若，，則．【考點二利用矩形的性質(zhì)求線段長】例題：（2023上·四川成都·九年級校考階段練習(xí)）如圖，矩形中，對角線相交于點，過點作交于點，已知，的面積為5，則的長為．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·江西鷹潭·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，對角線，相交于O，E，F(xiàn)分別是，的中點．若，求的長．2．（2023上·陜西榆林·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，邊上有一點E，連接，，．

(1)求的長；(2)求的度數(shù)．【考點三矩形的性質(zhì)與判定綜合問題】例題：（2023上·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，點在邊的延長線上，且，，，相交于點O，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的對角線相交于點，且．(1)求證：四邊形是矩形；(2)點在上，連接，若，求的面積．2．（2023上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，是的平分線，是外角的平分線，，垂足為點E．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，求的長．【考點四利用菱形的性質(zhì)求角度】例題：（2023上·福建三明·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是菱形的對角線，若，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形中，交于點，于點，連接，若，則．2．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┰诹庑沃?，對角線相交于點O，點P是上一點，連接，若，，則°．【考點五利用菱形的性質(zhì)求線段長】例題：（2024上·四川成都·九年級四川省成都市玉林中學(xué)?？计谀┤鐖D，四邊形是菱形，連接，交于點，過點作，交于點，若，，則的長度為．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如下圖，在菱形中，對角線，相交于點，點為的中點．若菱形的周長為20，則的長為．2．（2023上·江西吉安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為的菱形中，，連接，P為圖中任意線段上一點，若，則的長為．【考點六菱形的性質(zhì)與判定綜合問題】例題：（2024上·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在平行四邊形中，平分交于點E，點F在上，，連接交于點O，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長；(3)在（2）的條件下，已知點M是線段上一點，且，則的長為_______．2．（2023下·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形為矩形，為中點，過點作的垂線分別交、于點、，連接、．

(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長．【考點七利用正方形的性質(zhì)求角度】例題：（2024上·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的對角線，交于點O，P為邊上一點，且，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川成都·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則的度數(shù)是．2．（2023上·陜西渭南·九年級校考期末）如圖，在正方形中，連接為邊上一點，連接交于點，連接，若，則的度數(shù)為．【考點八利用正方形的性質(zhì)求線段長】例題：（2023下·廣東廣州·八年級廣州市第八十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形的兩條對角線相交于點O，，則．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·山西太原·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點是邊的中點，的垂直平分線分別交，邊于點，，垂足為點．若，則的長為．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習(xí)）在正方形中，邊長為6，點為的中點，點在正方形的一邊上，且，連接，則的長為．【考點九正方形的性質(zhì)與判定綜合問題】例題：（2023上·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐【問題情境】如圖1，正方形中，點E為其內(nèi)一點，以點E為直角頂點，以為斜邊構(gòu)造直角三角形，使得，將繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△（點A的對應(yīng)點為C），延長交于點F，連接．【解決問題】請根據(jù)圖1完成下列問題：（1）若，則∠=度；（2）試判斷四邊形的形狀，并給予證明；【拓展探究】（3）如圖2，若，請寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，正方形的邊長為5，點E為正方形邊上一動點，過點B作于點P，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，延長BP交于點F，連接．(1)判斷四邊形的的形狀，并說明理由；(2)若，求的長度；(3)在（2）的條件下，求．2．（2023上·山東·九年級專題練習(xí)）在正方形中，點為射線上一點，連接，過點作交射線于點，以為鄰邊作矩形，連接．(1)如圖，當點在線段上時．求證：矩形是正方形；求證：；(2)如圖，當點在線段的延長線上時，正方形的邊長為，，請直接寫出的長．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2024上·廣東清遠·九年級統(tǒng)考期末）菱形的面積為，一條對角線長是，那么菱形的另一條對角線長為（

）A． B． C． D．2．（2024上·廣東佛山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形對角線上取點，使得，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）如圖，菱形的對角線，相交于點O，E，F(xiàn)分別是，邊上的中點，連接．若，，則菱形的面積為（

）．A． B． C． D．4．（2024上·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，對角線、相交于點，過點作交于點，已知，的面積為，則的長為()A．5 B．6 C．7 D．5．（2023上·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，E、F是對角線上的兩點（不與點A、C重合），且，分別連接，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．四邊形是平行四邊形B．若四邊形是菱形，那么四邊形也是菱形C．若四邊形是正方形，那么四邊形是菱形D．若四邊形是矩形，那么四邊形也是矩形二、填空題6．（2023上·河南周口·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形的對角線與交于點O，請你添加一個條件使它是矩形，你添加的條件是．7．（2023·廣東東莞·三模）如圖，正方形的兩條對角線，相交于點，點在上，且．則的度數(shù)為．8．（2024上·內(nèi)蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，交于點O，于點E，連接，若，則的度數(shù)是．

9．（2023上·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）己知在中，，則．如圖，在菱形中，，則菱形較長對角線的長為．

10．（2023上·山東臨沂·九年級沂水縣實驗中學(xué)?？计谀┤鐖D，矩形紙片．如果點P在邊上，將紙片沿折疊，使點B落在點E處，連接當是直角三角形時，那么的長為．三、解答題11．（2023上·新疆喀什·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在菱形中，對角線，交延長線于E，交延長線于點F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求線段的長．12．（2024上·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，點是邊上一個動點，過作直線．設(shè)交的平分線于點，交的外角平分線于點．(1)求證：；(2)若，，求的長；(3)當點在邊上運動到什么位置時，四邊形是矩形？并說明理由．13．（2023上·河南駐馬店·九年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖在中，點D、E分別是邊的中點，過點A作交的延長線于點F，連接，過點D作于點G；(1)求證：四邊形是平行四邊形(2)若．①當______時，四邊形是矩形②若四邊形是菱形，則______14．（2023上·山東棗莊·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的一點，點是的中點，過點作的平行線交的延長線于點，且，連接．(1)求證：；(2)當滿足什么條件時四邊形為矩形?證明你的結(jié)論；(3)若為直角三角形，且時，判斷四邊形的形狀，并說明理由．15．（2023上·山東·九年級