第16講三角形的概念及性質(zhì)

錄

題型過關(guān)練

題型01三角形的穩(wěn)定性

題型02畫三角形的高、中線、角平分線

題型03等面積法求三角形的高

題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積

題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算

題型06根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度

題型07根據(jù)三角形的中線求面積

題型08與重心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算

題型09應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長(zhǎng)或取值范圍

題型10應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子

題型11三角形內(nèi)角和定理的證明

題型12應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度

題型13三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用

題型14三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用

題型15三角形折疊中的角度問題

題型16應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題

題型17應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系

題型18三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合

題型19應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)求角度

題型20三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合

題型21三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合

題型22應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題

題型23三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合

真題實(shí)戰(zhàn)練

題型過關(guān)練

題型01三角形的穩(wěn)定性

I.（2020.山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，沒有利用三角形的穩(wěn)定性的是（）

A.人字,C.拉閘門D.自行車三腳架

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可.

【詳解】解：選項(xiàng)C中閘門，沒有三角形，其余A、B、D選項(xiàng)中都含有三角形，

由三角形的穩(wěn)定性可知，選項(xiàng)C中沒有利用三角形的穩(wěn)定性，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細(xì)木

條的數(shù)量至少為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性及多邊形對(duì)角線的條數(shù)即可得答案.

【詳解】,?,三角形具有穩(wěn)定性,

???要使五邊形不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，

???過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可作對(duì)角線的條數(shù)為5-3=2（條），

???要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細(xì)木條的數(shù)量至少為2條，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性及多邊形的對(duì)角線，熟記三箱形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵.

題型02畫三角形的高、中線、角平分線

3.（2023?吉林長(zhǎng)春?校聯(lián)考二模）圖①、圖②、圖③均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為

格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1,在給定的網(wǎng)格中,按照要求作圖（保留作圖痕跡）.

（I）在圖①中作△4BC的中線BD.

（2）在圖②中作△ABC的高BE.

（3）在圖③中作△A4C的角平分線BF.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

（3）見解析

【分析】（1）找出對(duì)角線為4c的矩形，連接另一條對(duì)稱線，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)就是連接BD即可；

（2）找出與線段4c相等的線段8幾4c與B7交于點(diǎn)E,連接BE即可；

（3）延長(zhǎng)8C到H,使C4的長(zhǎng)為小方格的正方形的邊長(zhǎng)，則==連接4,交外圍大正方形的邊于

點(diǎn)W,則W是線段4”的中點(diǎn)，連接8W即可.

【詳解】（1）如圖①中，線段8。即為所求；

（2）如圖②中，線段BE即為所求;

【點(diǎn)睛】本題考查了用網(wǎng)格作圖，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的三線合一，全等三角形的判定和

性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?吉根三模）圖①、圖②都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，aABC為格點(diǎn)三角形.請(qǐng)僅

用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列作圖，不寫作法

/\\/\//\?\/'?\?

L_________乂________X_____M_____0t_________乂__________k._________y

圖①圖②

（1）在圖①中，畫出△ABC中A8邊上的中線CM；

（2）在圖②中，畫出△ABC中AC邊上的高8N,并直接寫出△ABC的面積.

【答案】（1）見解析

（2）圖見解析，當(dāng)

【分析】（1）連接。石，交AB與點(diǎn)、M,由菱形的判定與性質(zhì)可知M是A8的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中線的定義

即可得到結(jié)論；

（2）連接PQ,交AO于點(diǎn)M由菱形的判定與性質(zhì)可知N是4。的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可知

BN1AO,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）如圖，線段CM即為所求;

圖①

（2）如圖，線段BN即為所求.

如圖可知△4B0為邊長(zhǎng)是3的等邊三角形，N為A。的中點(diǎn).

??.8"遺/1。二%

22

???SM8c=）C?BN=：X2X^=竽.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與女計(jì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

題型03等面積法求三角形的高

5.在Rt△力BC中，乙4c8=90。，AC=8,BC=6,AB=10,則力B邊上的高的長(zhǎng)度是（）.

A.5B.5.6C.4.8D.4.6

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形面積及三角形的高.過點(diǎn)。作。。上力8于點(diǎn)。，根據(jù)三角形的面積公式求得CD

即可.

【詳解】解:過點(diǎn)C作CD148于點(diǎn)D,

c

S&ARC=TxACxBC=xABxCD,

...|x8x6=ixl0xCD,

CD=Y=4.8,

故48邊上的高長(zhǎng)為4.8.

故選：C.

6.（2022?陜西西安??？既＃┤鐖D，△A8C的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

則Z?C邊上的高為.

【答案】2V5

【分析】設(shè)8C邊上的高為江先艱據(jù)△ABC的面積等于其所在的正方形面積減去周圍三個(gè)三角形的面積求

出AA8C的面積，根據(jù)勾股定理求出8c的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式即可求出/?.

【詳解】解：設(shè)8c邊上的高為力，

由題意得S—BC=4x4-ix3x4-ixlx2-1x2x4=5,

VBC=V12+22=V5,-BC-h=5,

2

.*./i={=2V5>

BC

故答案為：2>/5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積公式，勾股定理與網(wǎng)格問題，正確求出aABC的面積是解題的關(guān)鍵.

7.（2023上?陜西延安?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，△A8C在平面直角坐標(biāo)系中，力，B,C三點(diǎn)在方格線

的交點(diǎn)上.

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中作出△/8C中邊上的高.

（2）求的面積.

⑶點(diǎn)8到江邊所在直線的距離為個(gè)，求力。的長(zhǎng)度.

【答案】（1）見解析

（2）8

（3MC=5

【分析】（1）根據(jù)高線的定義結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)作圖即可;

（2）利用三角形的面積公式計(jì)算即可；

（3）根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：如圖，邊上的高CO即為所作；

(2)如圖，S^ABC=^AB-CD=1x4x4=8；

(3)???點(diǎn)B到力。邊所在直線的距離為藍(lán)，

:*S&ABC=Xy=8,

AC=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線，三角形的面積計(jì)算，熟練掌握網(wǎng)格特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積

8.（2022?廣東深圳?深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考三模）在正方形的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單

位長(zhǎng)度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)（正方形網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)）.現(xiàn)將△ABC平移.使點(diǎn)A

平移到點(diǎn)。，點(diǎn)E、尸分別是8、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

（I）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出平移后的^DEF；

（2）分別連接A。，BE,則與比:的數(shù)量關(guān)系為位置關(guān)系為

（3）求^QEF的面積.

【答案】（1）見解析

（2）AD=BE,ADIIBE

（3）7

【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)作出8,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,尸即可；

（2）根據(jù)平移變換的性質(zhì)解決問題即可；

（3）利用利用正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積，即可求解.

【詳解】（1）解：???點(diǎn)A平移到點(diǎn)。，

???△A3C先向右平移6個(gè)單位，耳向下平移2個(gè)單位得到△DEF,

（2）解：:△ABC先向右平移6個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到△OEE

???點(diǎn)A到點(diǎn)D與點(diǎn)B到點(diǎn)E的平移方向和平移距離相同，

：.AD\\BE,AD=BE；

故答案為：AD=BE,ADIIBE；

（3）解：S^DEF=4x4-2x4x1-2x3x1-lx4x1=7.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一平移變換，平移的性質(zhì)，網(wǎng)格二角形的面積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握平移變換的

性質(zhì).

9.（2023?上海楊浦?統(tǒng)考一模）新定義：由邊長(zhǎng)為I的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱

為格點(diǎn).如圖，已知在5x5的網(wǎng)格圖形中，△力BC的頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上.請(qǐng)按要求完成下列問題:

⑴“A8C=:sin乙4BC=；

（2）請(qǐng)僅用無刻度的直尺在線段A月上求作一點(diǎn)P,使SMCP=[SM8c?（不要求寫作法，但保留作圖痕跡，

寫出結(jié)論）

【答案】（1）4,:

⑵作圖見解析

【分析】（1）由正方形面積減去三個(gè)小三角形面積即可求出SMBC；過點(diǎn)A作ADJ.BC于點(diǎn)。.根據(jù)勾股定

理可求出AB=8C=4U.再根據(jù)三角形面積公式可求出4。=等，最后由正弦的定義求解即可；

（2）如圖，取格點(diǎn)M和N,連接MN交48于點(diǎn)P,連接力M、BN,則4M||BN,即可證△力MP?△BNP,

得出喘二警=：.再根據(jù)A/CP和ABCP同高，即得出SMCP：SA"P=；，進(jìn)而得出5MCP=：5“BC，即說明

orDN445

點(diǎn)P即為所作.

【詳解】（1）S^ABC=3x3-1x3xl-|x3xl-|x2x2

=4；

如圖，過點(diǎn)A作40_LBC于點(diǎn)。.

由圖可知48=BC="+32=./To.

-SAABC=IADBC=4,

：.^ADx710=4

.?.4。=”

5

4yT0

故答案為：4,點(diǎn)

（2）如圖，點(diǎn)尸即為所作.

【點(diǎn)睛】本題考查利用網(wǎng)格求三角形的面積，求角的正弦值，三角形相似的判定和性質(zhì)等知識(shí).利用數(shù)形

結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算

10.（2020下?江西贛卅九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知銳角三角形48c的頂點(diǎn)4到垂心”的距離等于它

的外接圓半徑，則iBHC的度數(shù)為（）

A

小C

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】利用直徑所對(duì)的圓周角的性質(zhì)和垂心的性質(zhì)判斷出力川ICD,CHWAD,進(jìn)而判斷出CD=R,再判斷

出ACOD是等邊三角形，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R,

連接8。，并延長(zhǎng)3。交圓。于點(diǎn)O,連接。配AD,CD,CH,

???點(diǎn)。是△4BC的外心，

???B。是。。的直徑，

zfiCD=90°,

:,CD1BC,

???〃是ZUBC的垂心，

同理：CHWAD,

「?四邊形AHCO是平行四邊形，

：.CD=AH=R,

???點(diǎn)。是△ABC的外接圓的圓心,

：.0C=0D=R,

：,0C=0D=CD=R,

???A0CD是等邊三角形,

AzFDC=60°,

???48AC=48OC=60°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外心和垂心，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，判

斷出CD=R是解本題的關(guān)鍵.

11.(2020?浙江杭州?九年級(jí)期末)如圖,H、0分別為AABC的五心、外心,Z.BAC=45°,若A(BC外接圓

的半徑為2,則力H=()

A.2V3B.2V2C.4D.V3+1

【答案】B

【分析】連接BO并延長(zhǎng)交O0于點(diǎn)D,連接HC,CD,DA,由圓周角定理的推論，可得DCXBC,DA1AB,

由三角形的垂心的定義得AH_LBC,CH_LAB,從而得四邊形AHCD是平行四邊形，結(jié)合NB4C=45°^ABC

外接圓的半徑為2,即可求解.

【詳解】連接BO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)D,連接HC,CD,DA.

???點(diǎn)O是△ABC的外心，

???BD是。0的直徑，

ADC1BC,DA1AB,

又二點(diǎn)H是AA8C的垂心,

AAH1BC,CH1AB,

，AH〃DC,CH〃DA,

:.四邊形AHCD是平行四邊形，

AAH=DC,

■:乙BAC=45°,△ABC外接圓的半徑為2,

/.ZBDC=ZBAC=45°,BD=4,

AH=DC=BD4-72=44-V2=2V2.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外心與垂心的定義，圓周角定理及其推論，平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，

掌握三角形外心與垂心的定義，添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形和等腰直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

題型06根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度

12.（2022.陜西西安.高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，△/WC中，A8=IO,AC=8,點(diǎn)。是8C邊上的中點(diǎn),

連接AQ,若的周長(zhǎng)為20,則△A8O的周長(zhǎng)是（）

A

A.16B.18C.20D.22

【答案】D

【分析】利用三角形的周長(zhǎng)公式先求解40+CD=12,再證明=CD,再利用周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：???AC=8,△ACO的周長(zhǎng)為2（）,

:.AD+CD=20-8=12,

?.?點(diǎn)。是8c邊上的中點(diǎn)，

???BD=CD,

■:48=10,

力BD的周長(zhǎng)為：AB+BD+AD=10+AD+CD=10+12=22.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算，三角形的邊的中點(diǎn)的應(yīng)用，掌握“三角形的周長(zhǎng)公式及中點(diǎn)的

含義”是解本題的關(guān)鍵.

13.（2023?安徽?校聯(lián)考一模）己知：△ABC中,4。是中線，點(diǎn)E在4。上,且CE=CD,LBAD=^ACE.則

郭值為（）

A.2B.在C.匹二D.上更

3222

【答案】B

【分析】根據(jù)已知得出△4。8s△CEA,則/8=iC4E,進(jìn)而證明△84C?△4DC,得出力（？=遮。。，即可

求解.

【洋解】解：.??△ABC中，40是中線,

：.BD=CD,

'：CE=CD,

工乙CED=LCDE,BD=CE,

：,LADB=Z.CEA,

又丁/B/。=AACE,

:.AADBCEA?

.*.zU=Z.CAE,

'：LBCA=/-ACD,

:.LBACADC>

.BC_AC

**~AC-"CD'

：.AC2=BCxCD=2CD2,

即=\f2CD,

CECDBCV2

二元二就=松=3'

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形

的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

14.（2020?浙江?模擬預(yù)測(cè)）在△48。中,48邊上的中線CD=3,AB=6,BC+AC=8,則△力BC的面積為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】本題考查三角形的中線定義，根據(jù)條件先確定ABC為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求得2AC?BC=

28,最后根據(jù)=TAC-8C求解即可.

【詳解】解：如圖，在△力8C中，力A邊上的中線，

VCD=3,AB=6,

???CD=3,AB=6,

ACD=AD=DB,

:.Z1=z2,z3=Z4,

Vzl+z2+z3+z4=180°,

/.zl+z3=90°,

???zMBC是直角三角形，

：,AC2+BC2=AB2=36,

又,,"+BC=8,

：.AC2+2AC-BC+BC2=64,

:.2ACBC=64-(AC2+BC2)=64-36=28,

又；AABC=^AC-BC,

***^ABC=2X~2=

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的應(yīng)用，熟練運(yùn)用三角形的中線定義以及綜合分析、解答問題的能力，關(guān)

鍵要懂得：在一個(gè)三角形中，如果獲知一條邊上的中線等于這一邊的一半，那么就可考慮它是一個(gè)直角三

角形，通過等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)角和定理來證明一個(gè)三是直角三角形.

15.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考i模）如圖，4。是AABC的中線，若48=6,AC=5,則△48。與△力CD的周長(zhǎng)

之差為__________

【答案】1

【分析】利用三角形的中線的定義可知80=CD,所以兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差即為48-4C.

【詳解】解：^ChABD=AB+BD+AD,C^ACD=AC+CD+AD,

CMBD-金/ICD=48+BD+AD-AC-CD-AD=AB+BD—AC-CD.

又???AD是△ABC中線，

：.BD=CD,

'：AB=6,AC=5,

,,^^ABD—^AACD=AB—AC=6—5=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的定義：三角形的中線是連接三角形頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段.

16.（2022?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，A/WC中，AQ是中線，點(diǎn)石在A。上，且CE=CD=\,ZBAD=ZACE,

則AC的長(zhǎng)為

【分析】先根據(jù)中線的定義和已知求得8C的長(zhǎng)，然后利用等邊對(duì)等角證得NCOE=4CED,進(jìn)而得到"1EC=

^BDA,證得A/18D~ASE,由此再證得△力8C?△D4C,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AC的

長(zhǎng).

【詳解】解：???AA3C中，A。是中線，。。=1,

：.BC=2CD=2,

，：CE=CD,

*.LCDE=乙CED,

'：z.AEC+LCED=180°,乙BDA+LCDE=180°,

:,乙AEC=Z.BDA,

又,?,N8AO=NACE,

:,RABDsMAE,

.\z.CAE=乙B,

XVz/lCS=乙DCA,

：.LABC~A￡MC,

**CD~AC'

即心=BC-CD,

TBC=2,CD=\,

：.AC2=BC-CD=2,

:.AC=a,

故答案為：V2

【點(diǎn)睛】本題考杳了相似三角形的判定和性質(zhì)，能發(fā)現(xiàn)A4BC?4c是解題的關(guān)鍵.

題型07根據(jù)三角形的中線求面積

17.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）在RSA8C中，"=90。，分別以點(diǎn)8,C為圓心，大于鄰C長(zhǎng)為半徑畫

弧，交于E,F兩點(diǎn)、,連接EF,交BC于點(diǎn)、D,連接40.AD=原,CD=2,則△力BO的面積是（）

A.2B.3C.V13D.詈

【答案】B

【分析】由題意可得EO為的垂直平分線，故可得SM8D=S“CD，利用勾股定理求得4c的長(zhǎng)，即可算出

Sue。?

【詳解】解：由題意可得￡0為8C的垂直平分線,

BD=CD,

???/W是內(nèi)△ABC的中線，

???S^ABD=SMC。，

根據(jù)勾股定理，可得AC=VW-CD2=3,

'S&ABD=SpcD=QCD,AC—3>

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，中線的性質(zhì)，熟知垂直平分線的畫法，得到ED為BC的

垂直平分線是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?陜西西安?統(tǒng)考三模）如圖，在△A8C中，AB=AC=5,8C=6,4。18aHe邊上中線BE交于

點(diǎn)。，則4BCE的面積為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得8。=3,根據(jù)勾股定理求得力。=4,進(jìn)而根據(jù)三角形面枳公式求

得SMBC，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得aBCE的面積為［S“8C，即可求解.

【詳解】解：'：AB=AC=5,BC=6,ADLBC,

：.BD=DC=3,

RtAABD中，AD=>JAB2-BD2=V52-32=4,

11

:?SxABC=-BC-AD=&x6x4=12，

vBE是力。邊上的中線，

???△BCE的面積日SAABC=|xl2=6.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中線的性質(zhì)，求得SMBC是解題的關(guān)鍵?

19.（2023?陜西榆林??？级＃┤鐖D，AD,BE分別為的中線和高線，△/WD的面積為5,AC=4,

則8E的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】首先利用中線的性質(zhì)可以求出△ABC的面積，然后利用三角形的面積公式即可求解.

【詳解】解：??NO為△48C的中線，

???△43。的面積為5,

ABC=2S^ABD=10，

TBE為AABC的高線，AC=4,

?“△ABC=xBE=：x4xBE=10，

:?BE=5.

故選:A.

【點(diǎn)睛】題主要考查了三角形的面積，同時(shí)也利用了三角形的中線的性質(zhì)，有一定的綜合性.

20.（2023.浙江寧波.模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△A8C的面積為10cm2,8P為448C的角平分線，AP垂直8P于

點(diǎn)P,則aPBC的面積為（）

A.6cm2B.5cm2C.4cm2D.3cm2

【答案】B

【分析】取AB的中點(diǎn)Q,連接PQ,CQ,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及平行線的判定得PQI8C,進(jìn)而得

到SAPBC=Sg“，再根據(jù)等底同高三角形面積相等即可得到解答?

t詳解】解；取4B的中點(diǎn)Q,連接。Q,CQ,

FAP1BP,

:.PQ=BQ,

：.^ABP=乙QPB,

HP垂直N8的平分線BP于P,

:.乙ABP=LCBP,

:?乙QPB=乙CBP,

：.PQ\\BC,

??SAPBC=S&BCQ，

f：AQ=BQ=\AB,△48C的面積為10cm2,

:，SABCQ=J^^ABC=~x10=5(cm2)>

,,SAPHC=5(cm2),

故選:B.

【點(diǎn)睛】考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等底同高證明兩三角形面

積相等，掌握△PBC的面枳和原三角形的面枳之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

題型08與重心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算

21.(2()23?陜西西安?統(tǒng)考三模)在△48C中，點(diǎn)。為△ABU的重心，連接力。并延長(zhǎng)交BC邊于點(diǎn)。，若有力。=

”C,則△NBC為()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】首先利用重心的性質(zhì)可以得到力D為△48c的中線，然后利用已知條件和等腰三角形的性質(zhì)即可判

斷.

【詳解】解：如圖，?.?點(diǎn)。為AABC的重心,

O

BDC

??.4。為△ABC的中線，

vAD=-2BC,

:.AD=BD=CD,

:./.BAD=ABD,Z.DAC=Z.DCA,

而ZB力。+Z.ABD+LDAC+（DCA=180°,

:.Z.BAD4-LCAD=90°,

：?^DAC=90°,

??.△ABC為直角三角形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，同時(shí)也利用了等腰三角形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單.

22.（2023?陜西西安?西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在等腰ZM8C中，AB=AC,D、E分別是BC,AC的中

點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APCE的周長(zhǎng)最小時(shí)，P點(diǎn)的位置在（）

A.△ABC的重心處B.力。的中點(diǎn)處C.4點(diǎn)處D.D點(diǎn)處

【答案】A

【分析】連接P8,BE,首先證明PC+PE=P8+PE,由PB+PENBE,推出當(dāng)B,P,E共線時(shí)，PC+PE

的值最小，此時(shí)8E是△ABC的中線，由此即可判斷.

【詳解】解：如圖，連接P8,BE.

A

?：AB=AC,BD=CD,

AD1BC,

:.PB=PC,

APC+PE=PB+PE,

???PB+PE>BE,

.??當(dāng)b,P,E共線時(shí),PC十PE的值最小,此時(shí)BE是△/IBC的中線,

???4）也是中線，

???點(diǎn)P是△A8C的重心，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱線段和最短問題，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助

線，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題.

23.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)G為△48C的重心，連接CG,AG并延長(zhǎng)分別交/W,BC于點(diǎn)E,

F,連接EF,若AC=3.4,則￡尸的長(zhǎng)度為（）

A.1.7B.1.8C.2.2D.3.4

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)G為△48C的重心，可知點(diǎn)E為48的中點(diǎn)，點(diǎn)”為8c的中點(diǎn)，即可求解.

【詳解】解：???點(diǎn)G為△力8c的重心，

???點(diǎn)E為43的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),

???EF為△48。的中位線,

'：AC=3.4,

:.EF=1.7

故選:A.

【由,睛】本題考查了二角形重心的概念，知道重心是中線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

24.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，四邊形力EGD與△48C面積的比值是（）

2

D.

5

【答案】B

【分析】連接DE,根據(jù)三角形中位線定理以及中線的性質(zhì)可得。EIIBC,DE=/（：，SAABD=燈.BC，S&BDE=

片“皿，從而得到△ADE…ACB,進(jìn)而得到黑=母=：,#=（案）2=6）2=：,繼而得到Sa%=

乙HDGc5、AABCXOC/\Z/4

]S&BDE，SgDE=【Suge，可得又。"=&x^SMBC=石5-8「再由S四邊形4EGD=，即可?

【詳解】解：如圖，連接

???點(diǎn)G是△48c的重心，

???點(diǎn)。，E分別為AC,4B的中點(diǎn),

DE||BC,DE=-BC,ShABD=~S^ABC,S^BDE=-S^ABD,

:.AADE^△ACB?

.DGEGDE

BGCGBC2

￡￡_￡￡_!SAAED_/絲,_/1\2_1

BD~CE~3'S&ABC~\BC)~\2)-4,

??SADEG=QSABDE，S^ADE=

??SADEG=3x3sMBD=%SAABD，

:?S&DEG=%X3s“BC—石SAAUC，

'S四邊物IEGD=SMDE+S&DEG=\+~^^^ABC=3sMBC，

即四邊形AEG。四。面積的比值是;.

故迄B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握三角形

的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

題型09應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長(zhǎng)或取值范圍

25.（2023?福建福州??？级＃┮阎切蝺蛇呴L(zhǎng)分別為3和5,則第三邊的長(zhǎng)可能是（

A.2B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于三邊”，求得第三邊的取

值范圍，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

故第三邊的長(zhǎng)度5-3VxV5+3,即2<%<8,

???這個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)可以是6.

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式，然后解不等式，確定取值

范圍即可.

26.（2023?河北廊坊??？既＃┤鐖D，AB=3,AD=2,BC=1,CD=5,則線段80的長(zhǎng)度可能是（）

D

3

A.3.5C.4.5

【答案】C

【分析】由三角形48。可得1<80<5,由三角形BCD可得4<BD<6,從而可得答案.

【詳解】解：由三角形480可得IV80V5,

由三角形BCD可得4<BD<6,

A4<BD<5,

???A,B,D不符合題意，C符合題意；

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系是應(yīng)用，熟記三角形的三邊關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

27.（2023?浙江杭州??？级＃┤鐖D，在RtUBC中BCJL4C,27128,28=5,CD=3,則4C的長(zhǎng)的

取值范圍是（）

A

A.AC<5B.AC>3C.3<Z1C<5D.3<AC<5

【答案】D

【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊逐步分析即可.

【詳解】解：在Rta/IBC中,

???BC14C,

：.AC<AB,即ACV5,

*：CDLAB,

：.AC>CD,即4c>3,

.*.3<AC<5f

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的斜邊大于直角邊.

28.（2023?河北滄州?統(tǒng)考三模）有四根長(zhǎng)度分別為2,4,5,x（%為正整數(shù)）的木棒，從中任取三根，首尾

順次相接都能圍成一個(gè)三角形，則圍成的三角形的周長(zhǎng)（）

A.最小值是8B.最小值是9C.最大值是13D.最大值是14

【答案】D

【分析】首先寫出所有的組合情況，再進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊

之差小于第三邊“，進(jìn)行分析即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：2、4、x,4、5、x,2、4、5,2、5、%都能組成三角形，

???4—2<x<4+2,5—4V%<5+4,5—2<冗<5十2,

即2Vxe6,1<x<9,3<x<7,

3<x<6,

???K為正整數(shù)，

二無取4或5,

要組成的三角形的周長(zhǎng)最小，即x=4時(shí)，三邊為2,4,4,其最小周長(zhǎng)為2+4+4=10,

要組成的三角形周長(zhǎng)最大，即工=5時(shí)，三邊為4,5,5,其最大周長(zhǎng)為4+5+5=14

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，利用分類討論的思想，掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，

任意兩邊之差小于第三邊，是解答本題的關(guān)鍵.

題型10應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子

29.（2023?山東德州?統(tǒng)考二模）已知a,b,c是三角形的三條邊，則|c一a-匕|+|c+b-a|的化簡(jiǎn)結(jié)果為

（）

A.0B.2a+2bC.2bD.2a+2b—2c

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到c-a-b<0,c+b-a>0t由此化簡(jiǎn)絕對(duì)值再合并同類項(xiàng)即可得到

答案.

【詳解】解：???〃，b,C是三角形的三條邊,

+b>c,h+c>a,

/.c—a—b<0,c+b—a>0,

/.|c-a—b\+|c+b—a|

=一(c-a—b)+(c+b—a)

=a+b-c+c+b-a

=2b,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，化簡(jiǎn)絕對(duì)值和合并同類項(xiàng)，熟知三角形中任意兩邊之和大丁

第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵.

30.(2023?河北滄州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若448c三條邊長(zhǎng)為a,b,c化簡(jiǎn):\a-b-c\-\a+c-b\=.

t答案】2b—2a/—2a+2b

【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊得到a-b-c<0,c^a-b>0,

再根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：a-b-c<0,c+a-b>0,

???\a-b—c\-\a+c—b\

=-(a-b-c)-(a-I-c-b)

=-a+b+c—a—c+b

=2b-2a.

故答案為：2b-2a.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)和三角形三條邊的關(guān)系，熟練掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任

意兩邊之差小于第三邊；一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值等于它的本身，零的絕對(duì)值還是零，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它

的相反數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵.

31.(2022上?湖北咸寧?八年級(jí)校考階段練習(xí))已知〃，〃，c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：\a-b-c\+\b-c+

a|+|c-a-b\=.

【答案】a+3b-c

【分析】根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得出如尻。之間的大小關(guān)系，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn).

【詳解】解：???〃、仄c是三角形的三邊長(zhǎng)，

a+b>c,b+c>a,a+b>c,

?*?Q—b—c<ZOtb—c+a>0,c-a—bvO,

-b-c\+\b—c+a\+\c-a—b\=-a+b+c+b—ca—c+a+b=a+3b—c,

故答案為：a+3b-c.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三角形三

邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之利大于第三邊.

題型11三角形內(nèi)角和定理的證明

32.（2023?河北衡水?校聯(lián)考二模）定理：三角形的內(nèi)角和是180。.

已知：MED、乙C、乙。是△CED的三個(gè)內(nèi)角.

求正：zC+zD4-zCFD=180°.

有如下四個(gè)說法：①*表示內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②④表示NBEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳

角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形.其中正確的是（）

證明：如圖，過點(diǎn)七作直線4氏

使得ABIICD,

.\z2=zD（*）,

.?.zl+z@=180°,

???乙C+4O+4CEO=180°.

A.①②B.②③C.②④D.①③

【答案】C

【分析】將證明過程補(bǔ)充完整，由此可得出結(jié)論①不正確，結(jié)論②正確，結(jié)合得到的結(jié)論適用于任何三角

形，可得出結(jié)論④正確.

【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)七作直線48,

使得48||CD,

??.，2=4。（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），故①不符合題意；

：.L1+Z-BEC=180°,

：.LC+ZD4-LCED=180°.故②符合題怠;

上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形.

故③不符合題意；④符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，將證明三角形的內(nèi)角和是180。的過程補(bǔ)充完整

是解題的關(guān)鍵.

33.（2023?河北滄州?統(tǒng)考二模）下圖是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號(hào)代表的內(nèi)容.下列P1

答不正確的是（）

定理：三角形的內(nèi)角和為180。.

已知：AABC.

求證：乙4++乙ACB=180°.

證明：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)。，過點(diǎn)C作CE||@,

，“=◎（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

￡B=▲

???Z.ACB+Z-ACE+乙ECD=180°（平角定義），

:./4+48+Z.ACB=180。（等量代換）.

A.@代表ABB.◎代表乙4G?C.▲代表NEG）D.※代表兩直線平行，同位角相等

【答案】B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明判斷即可.

【詳解】證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)0,過點(diǎn)C作CEII4氏

???乙4=4CE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

乙B=LECD（兩直線平行，同位角相等）.

???Z.ACB+Z.ACE+乙ECD=180°（平角定義），

???/A++乙ACB=180°（等量代換）.

???四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

34.（2023?河南關(guān)B州?統(tǒng)考二模）下面是小穎同學(xué)要借助無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，來證明三角形內(nèi)角和等

于180。這一命題，請(qǐng)你幫她補(bǔ)充完整.

命題：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180。.

己知：如圖，AABC.

求證：//+/8+/O180。.

證明：如圖1,延K&4到D,以為邊，在其右側(cè)尺規(guī)

作NDAE=NB,

V/DAE=/B,

請(qǐng)你幫她完成作圖（只保留作圖痕跡，不寫作法），

并完善證明過程.

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖方法作圖，然后根據(jù)證明AEII8C,得到=由平

角的定義可得NBAC+乙EAC+WAE=180°,則484c+NC+乙8=180°.

【詳解】證明：如圖，

：.AE||BC,

/./.EAC=乙c,

?：Z.BAC+Z.EAC+4DAE=180%

：./.BAC+Z.C+Z.B=180°,

即三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的證明，平行線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖一作與已知角相等的角，靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

題型12應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度

35.（2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，乙4=35。，ZF=55°,BC=5,

則邊的長(zhǎng)是（）

A.」一B.5cos55。C.5tan55°D.5sin55°

cos550

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，ZC=90°,再根據(jù)三角函數(shù)的定義，求解即可.

【詳解】解：由題意可得：NC=180。一44-48=90。，

???A48C為直角三角形，如下圖：

B

CA

由三角函數(shù)的定義可得，sinA=cosB=—,BPsin350=cos550=—

A選項(xiàng)符合題意，B、C、D選項(xiàng)不符合題意，

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義.

36.（2023?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）在A4BC中,數(shù)據(jù)如圖所示,若41比0小2。,則42比“（）

A.大2。B.小2。C.大4。D.小4。

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得乙4++乙C=+△2,得到乙8+4C=乙1+42,乙B一Z1

42-”1結(jié)合已知判斷即可.

【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得乙4+48+〃？=△4+乙1+匕2,

???乙8+zC=zl+z.2,

/.—zl=z2—zC,

??21比匕B小2°,

.\z2-zC=2°,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

37.（2022?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，AB=AC=CD,Z.BAC=40°,則匕。的度數(shù)

為.

【答案】35。/35度

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出=70。，乙D=匕CAD,根據(jù)三角形的外角得出4。+

/.CAD=/.ACB,求出/。的度數(shù)即可.

【詳解】解:9：AB=AC,AC=CD,

:?乙D+Z.CAD=Z-ACB,

：.LACB=NB=2zD=70°,

AzD=35°.

故答案為:35。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊對(duì)等角.

38.（2022?福建福州?校考模擬預(yù)測(cè)）在△力8c中，乙1:4&4C=1:2:3,^AC-.AB=.

【答案】

【分析】先由在△ABC中，NANBZC=1:2:3得出乙1、乙8和，C的度數(shù)，再分別利用勾股定理、30。角所對(duì)

的直角邊等于斜邊的一半得出答窠.

【詳解】解：在△力8c中，乙4:46:4C=1:2:3,

/.zC=3z.A,Z.B=2/.A,

vZ.A+Z.B+Z.C=180°,

，乙4+2-1+341=180°,

LA=30°,

:.Z.B=60°,ZC=90°.

/.BC=-AB,

2

：.AC=7AB2-BC2=更AB,

2

???AC:AB=—.

2

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型13三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用

39.（2023?湖北黃岡?三模）如圖為兩直線八m與△ABC相交的情形,其中八m分別與BC、4B平行.根據(jù)圖

中標(biāo)示的角度，則乙3的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】A

【分析】由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得出乙4、乙C的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得;l"B的度數(shù).

【詳解】解：???，、瓶分別與BC、48平行，

???ZC4-120°=180°,LA+115°=180°,

ZC=60°,乙4=65°,

LB=180°-^-Z.C=55°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得出乙4、LC

的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

40.(2023?河南安陽(yáng)?統(tǒng)考二模)如圖，在△48C中，40是乙84C的平分線，過點(diǎn)C的射線CE與4D平行，若

乙B=60°,LACB=30°,則44CE的度數(shù)為()

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ZB4C,再根據(jù)角平分線的定義可得NBAD=N￡MC=45C,最后利用

平行線的性質(zhì)可得乙4CE=Z.DAC.

【詳解】解：；乙B=60°,Z.ACE=30°,

/.BAC=180°-60°-30°=90。，

???4。是。的平分線，

:.LBAD=Z.DAC=45°,

???ADWCE,

???LACE=Z.DAC=45°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì).熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

41.(2021?寧夏銀川?統(tǒng)考一模)如圖，4c是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在4C上，40=4E=8從ZD=

102°,則乙BAC的大小是()

DC

E

AB

A.24°B.26°C.28°D,30°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到乙48。=/。=102。"又BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/EA8=/￡84

4BEC=/ECB,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到NAC8=2NC48,由三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：:四邊形48C。是平行四邊形，

???N4BC=ND=102。，AD=BC,

'：AD=AE=BEf

BC=AE=BE,

；?NEAB=NEBA,NBEC=NECB,

ZBEC=ZEAB+ZEBA=2ZEAB,

，ZACB=2ZCAB,

???ZCAB+ZAC3=3ZCAB=\8O°-/ABC=18O°-l02°,

，N8AG26。，

故答案為：26。.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形找到

角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

題型14三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用

42.(2022?江蘇無錫?校考一模)如圖，BE、C尸都是△力BC的角平分線，且NBDC=110°,則/力=.

【答案】40740?

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，列出算式計(jì)算即可.

【詳解】解：??'BE、C”都是△ABC的角平分線，

AZA=I8O°-(N4BC+N4CB)：

=180°-2(NDBC+NBCD)

VZBDC=ISO0-（NDBC+4BCD）,

：.ZA=180°-2（180°-ZBDC）

AZBDC=90°+-ZA,

2

???NA=2（110?！?0。）=40°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，用已知角表示出所求的角是解題的關(guān)鍵.

43.（2U2U?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）△48C中，4〃是N84C的角、卜分線，AE是△A8C的高.

（1）如圖1,若48=40。，LC=60°,請(qǐng)說明NZME的度數(shù)；

（2）如圖2QBV乙C）,試說明4AE、乙B、乙C的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）ND4E=10°

（2）WAE理由見解析

【分析】（1）根據(jù)三角