函數(shù)與極限

§1.5極限存在準則與兩個重要極限§1.6無窮小的比較§1.7函數(shù)的連續(xù)與間斷§1.1函數(shù)§1.2數(shù)列的極限§1.3函數(shù)的極限

§1.4極限的運算法則

函數(shù)

1.1.1函數(shù)的概念1.1.2函數(shù)的幾種屬性1.1.3反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1.1.4初等函數(shù)1.1.5建立函數(shù)關(guān)系式舉例1.1.1函數(shù)的概念有限區(qū)間有如下幾種情形：1.區(qū)間

開區(qū)間閉區(qū)間區(qū)間分有限區(qū)間和無限區(qū)間半開半閉區(qū)間以上均為有限區(qū)間，無限區(qū)間有以下幾種情形：其中表示的就是全體實數(shù)集R，

注意分別讀作負無窮大、正無窮大，它們不是數(shù)，僅僅是記號.

記作即：這個鄰域的中心，δ叫做這一鄰域的半徑.，記作點的去心的鄰域2.鄰域設(shè)是一個給定的實數(shù)，δ是某一正數(shù)，稱數(shù)集：

稱為點的鄰域，點叫做記作：

以點為中心的任何開區(qū)間，稱為點的鄰域,點

的右鄰域：點

的左鄰域：3.函數(shù)的概念如果按照一定定義1.1

設(shè)

和

是兩個非空實數(shù)集，的對應(yīng)法則使得對于集合

中的任何一個數(shù)

，在集合中都有唯一確定的數(shù)

與之對應(yīng)，那么就稱記作為定義在上的一個函數(shù)，（1）即定義域和對應(yīng)法則.因確定函數(shù)有兩個基本要素，就看它們的定義域和對應(yīng)法則是否此兩個函數(shù)是否相同，一樣.幾點說明：數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，記為

，當(dāng)D時，稱為函數(shù)在點處的函數(shù)值.函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域，記為：即：（2）函數(shù)的表示法有公式法（解析法）、列表法、圖像法等..我們用得最多的是公式法，即用數(shù)學(xué)運算式子表示函數(shù).例如，例如，解不等式得

所以函數(shù)的定義域為：

有時一個函數(shù)在其定義域的不同子集上要用不同的表達式來表示對應(yīng)法則，稱這種函數(shù)為分段函數(shù).解例1.1.1

求函數(shù)的定義域.解要使函數(shù)有意義，必有且xyO-1112

(1)絕對值函數(shù)如圖所示下面給出一些今后常用的分段函數(shù)。值域為的定義域為(2)符號函數(shù)1-1xyo

定義域為值域為如圖所示12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo(3)取整函數(shù)該函數(shù)的定義域值等等，域如圖所示

，其中表示不超過的最大整數(shù)。如：(4)最大最小值函數(shù)yxoyxo1.1.2函數(shù)的幾種屬性函數(shù)的性質(zhì)主要有奇偶性、單調(diào)性、有界性和周期性等.1.奇偶性，恒有，則稱為奇函數(shù)；如果對于任一恒有，則稱為偶函數(shù).注意在上既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，這樣的函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù).設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，如果對于任一在平面直角坐標(biāo)系中，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點中心對稱；偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱.

例1.1.2討論函數(shù)的奇偶性.解函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為所以，

是奇函數(shù).2.單調(diào)性都有單調(diào)增加區(qū)間和單調(diào)減少區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.都有設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間

，如果對于區(qū)間

內(nèi)的任意兩點，，當(dāng)時，則稱函數(shù)在上單調(diào)增加，此時，區(qū)間稱為單調(diào)增加區(qū)間；

如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩點，，當(dāng)時，則稱函數(shù)在上單調(diào)減少，此時，區(qū)間稱為單調(diào)減少區(qū)間。3.有界性M-Myxoy=f(x)XM-MyxoX有界圖示無界圖示設(shè)函數(shù)的定義域為，

數(shù)集.如果存

在正數(shù)，使對任一，有,則稱函數(shù)在

上是有界的.

如函數(shù)在開區(qū)間(0

1)上是無界的.使所以函數(shù)在(0

1)上無界.如果這樣的不存在，則稱函數(shù)

在上是無界的，即如果對任何正數(shù)，總存在則函數(shù)在

上是無界的.這是因為，對于任一>1總有4.周期性則稱為周期函數(shù)，稱為的周期.

從定義看周期函數(shù)的周期不唯一.通常我們說的周期指的是最小正周期.

使得對于任一，，有注意是最小正周期為如余弦函數(shù)的周期函數(shù)；正切函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù).設(shè)函

的定義域為,如果存在一個正數(shù)1.反函數(shù)1.1.3反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)記為：

函數(shù)的自變量與因變量的關(guān)系往往是相對的.在關(guān)系式中，我們不僅要研究隨的變化情況，有時也要研究隨的變化情況.定義設(shè)函數(shù)對于值域中的每一個值,

有且僅有一個值,則按此對應(yīng)法則得到一個定義在我們稱此函數(shù)為的反函數(shù).上的函數(shù)，

反函數(shù)定義的直觀解釋：

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線

對稱.習(xí)慣用

表示自變量，

表示函數(shù)，反函數(shù)可表示為：2.函數(shù)的反函數(shù)按習(xí)慣記法可改為：有反函數(shù)意味著是與之間的一

一映射.注意

1.從定義可知，并非任何函數(shù)都有反函數(shù).函數(shù)如

求

的反函數(shù).由

得所以,的反函數(shù)是

定理1.1

(反函數(shù)存在定理)單調(diào)函數(shù)必存在單調(diào)的反函數(shù)，且具有相同的單調(diào)性.例如在單調(diào)遞增，其反函數(shù)在也是單調(diào)遞增；函數(shù)在單調(diào)遞減，其反函數(shù)也是單調(diào)遞減.

的反函數(shù).其定義域為：

xyO-11-11

值域為：正弦函數(shù)與反正弦函數(shù)圖像如圖所示：是正弦函數(shù)又例如反正弦函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)的定義域而函數(shù)在D上有定義，且則由上式確定的函數(shù)記作：它的定義域為D，變量u稱為中間變量.設(shè)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).我們稱之為由函數(shù)與函數(shù)兩個函數(shù)的復(fù)合也可推廣到多個函數(shù)復(fù)合的情形.例如，可看成由復(fù)合而成.在以后的學(xué)習(xí)中需要把復(fù)合函數(shù)分解為簡單函數(shù)，即分到不能再分為止.將下列函數(shù)分解為幾個簡單函數(shù)．例1.1.3(1)；(2)解將復(fù)合函數(shù)層層分解(1)可以分解為(2)可以分解為1.基本初等函數(shù)在中學(xué)我們已學(xué)過以下幾類函數(shù)：1.1.4初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：特別當(dāng)時

記為三角函數(shù)：常數(shù)函數(shù)：冪函數(shù)：(是常數(shù))反三角函數(shù)：

我們把以上函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).上述把復(fù)合函數(shù)分解成為簡單函數(shù)，即分解為基本初等函數(shù)，或常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算后所成的函數(shù).可以分解為例如2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等是初等函數(shù).

函數(shù).絕對值函數(shù)也可以表示是為了更加明確函數(shù)關(guān)系而已.例如，對應(yīng)關(guān)系的，有些分段函數(shù)也可以不分段而表示出來，

分段只分段函數(shù)是按照定義域的不同子集用不同表達式來表示1.1.5建立函數(shù)關(guān)系式舉例解當(dāng)時，所以函數(shù)關(guān)系式為：

某火車站收取行李費的規(guī)定如下：當(dāng)行李不超過30千克時，按基本運費每千克以1元計算，當(dāng)超過30千克時，超重部分按每千克2元收費。試確定行李費y(元)與重量x(千克)之間的函數(shù)關(guān)